ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ КОСТНОЙ ТКАНИ 4
Тензор структуры 4
Математическая формулировка закона Вольфа 6
Связь тензора структуры и тензора упругих констант 8
ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 10
Допущения модели 11
ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17
Список литературы 18
На сегодняшний день кость является интересным для изучения биологическим материалом. Это сложный неравномерный анизотропный материл, имеющий неоднородное строение и особую структуру. При решении задач биомеханики в разделе опорно-двигательной системы человека необходимо описать напряженно-деформированное состояние(НДС) костной ткани, учитывая изменение её структуры со временем. Поэтому появляется необходимость получения метода, благодаря которому будет количественно описываться изменение структуры костной ткани под воздействием постоянной нагрузки.
Все свойства костей неразрывно связаны с функциями. При появлении новых функциональных условий, изменяющих нагрузку на костную ткань, возникает физиологическая перестройка костной структуры. Есть несколько причин, по которым это происходит: травмы, ампутации, нахождение в невесомости, профессиональная деятельность. Если костные балки прекращают принимать участие в функции, то происходит образование новых костных балок, которые расположены в соответствии с текущими силовыми линиями.
Выдвигается гипотеза: если долгое время костная ткань подвергается периодической нагрузке, то она перестанет реагировать на изменения и наступит гомеостаз.
Целью работы является моделирование перестройки костной ткани и оценка распределения ее свойств по объему. Для этого были сформулированы следующие задачи: изучить литературу по биомеханике, выбрать метод описания костной структуры, а также модель физических и эволюционных соотношений, реализовать алгоритм решения задачи о перестройке костной ткани под действием внешних сил и провести численные эксперименты.
В ходе работы была изучена литература по биомеханике, произведено ознакомление с методами описания структуры костной ткани и моделями физических и эволюционных соотношений, на основе выбранной математической модели реализован алгоритм решения поставленной задачи о перестройке костной структуры под действием давления, произведен численный эксперимент и получены результаты.
На первых итерациях после приложения нагрузки направления собственных векторов тензора структуры и тензора напряжений значительно отличаются, однако по истечении времени перестройки наблюдается стремление к нулю угла между ними. Напряжения по Мизесу стремятся к некоторому асимптотическому значению.
Рассматривая полученную картину распределения напряжений можно заключить, что максимальные нормальные напряжения при достижении состояния гомеостатического равновесия концентрируются на нижней поверхности модели ближе к углам.
Основываясь на полученных результатах, можно сделать вывод, что костная структура приходит в состояние гомеостатического равновесия приблизительно через 5 суток.
