Введение 4
1 Формализм аксионно-эфирной теории Эйнштейна 7
1.1 Функционал действия 7
1.2 Основные уравнения для псевдоскалярного, единичного векторного и гравитационного полей 9
1.2.1 Основное уравнение для аксионного поля 9
1.2.2 Уравнения для единичного динамического векторного поля 10
1.2.3 Уравнения для гравитационного поля 11
2 Приложение: Пространственно изотропная и однородная космологическая модель с динамическим эфиром и аксионной темной материей 12
2.1 Редуцированные основные уравнения 12
2.1.1 Редуцированные уравнения для единичного векторного поля 13
2.1.2 Редуцированное уравнение для псевдоскалярного (аксионного) поля 13
2.1.3 Редуцированные уравнения для гравитационного поля . 14
2.1.4 Ключевое уравнение для гравитационного поля 14
2.2 Точное решение, описывающее основное состояние аксионного
поля, для случая Л = 0 15
2.2.1 Анализ геометрических характеристик модели 15
2.2.2 Анализ решения для псевдоскалярного поля 16
2.2.3 Анализ компонент тензора энергии-импульса 17
2.2.4 Асимптотическое поведение модельных функций 18
2.3 Точное решение, описывающее основное состояние аксионного
поля, для случая Л = 0 19
2.4 Устойчивость модели с Л = 0 20
3 Заключение 22
Список литературы 25
Аксионно-эфирная теория Эйнштейна - пример псевдоскалярно-векторнотензорной теории гравитации. Первый (тензорный) элемент этой теории - это гравитацонное поле, описываемое лагранжианом Гильберта-Эйнштейна 2К с космологической постоянной Л или без нее. Второй элемент теории - единичное времениподобное векторное поле Uг, ассоциированное со скоростью некоторого космического субстрата, названного эфиром в [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Это единичное векторное поле реализует идею выделенной системы координат (см., например, [10, 11, 12, 13]), наличие которой нарушает принцип Лоренц-инвариантности [14, 15]. Третий элемент - псевдоскалярное (аксион- ное) поле ф, которому соответствует аксионная темная материя (см., например, [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] для обзора и справок об исторических и математических деталях). Модель с псевдоскалярным полем во многом схожа с моделью со скалярным полем в качестве третьего компонента (см., например, [29, 30, 31, 32, 33]); однако, есть и ряд отличий [34]. Главное отличие между моделями со скалярным и псевдоскалярным (аксионным) полями заключается в том, что во втором случае только четные функции поля ф могут быть представлены в лагранжиане модели. В частности, это означает, что потенциал аксионного поля может быть записан в виде V(ф2); как следствие этого, нельзя использовать линейную функцию аф, экспоненциальные потенциалы вХф (однако, конечно, могут присутствовать такие функции, как cosh Аф, cos дф, ф2т и так далее). Другое отличие появляется, когда мы включаем в лагранжиан модели члены, содержащие псевдо-тензор Леви-Чивиты eikmn [34]. В этом случае, свертка градиента четыре-вектора псевдоскалярного поля V гф с псевдо-четыре-вектором угловой скорости шг дает истинный скаляр (шг = 2etkmnUkVmUn). Если в модели с псевдоскалярным (аксионным) полем добавляется электромагнитное поле, появляется новый инвариант в общем лагранжиане: ф^mnFmn, где Fmn = 2emnpqFpq - тензор, дуальный тензору Максвелла Fmn [19]. Эфир и аксионная темная материя, изменяющиеся по-разному, могут взаимодействовать тремя способами. Первый и второй каналы взаимодействия являются косвенными; первый из них обычно реализуется посредством гравитационного поля; второй - посредством электромагнитного поля [35, 37, 36, 38, 39]. Третий канал взаимодействия - прямой. Он включает в себя множество подканалов, каждый - со своими константами связи (в [34] можно найти классификацию выражений до второго порядка включительно в терминах Эффективной теории поля [40, 41]). На основе таких моделей в [42] было показано, что аксионное поле может управлять поведением эфира с помощью управляющих функций, включенных в расширенный конституционный тензор Джекобсона Kabmn(gik,Up) ^ Kabmn(gik, Up, ф2). Для случая скалярного поля такая идея была сформулирована в [29]: вместо констант Джекобсона C,C2,C3,C4 авторами [29] были введены функции в(ф), в2(ф), в3(ф), в4(ф). Также в [42] получено, что потенциал псевдоскалярного поля V(ф2), являясь потенциалом Хиггсовского типа V = 2у (ф2-Ф^ , где значения ±Ф* соответствуют паре устойчивых основных состояний аксионного поля, является константой. Данный потенциал появляется в ряде моделей, которые могут быть определены, как модели с ф4-типом самодействия; подобный потенциал широко используется в космологии для описания аксионной темной материи (см., например, [24, 43]). В [42] показано, что влияние аксионной темной материи на динамический эфир может включать или выключать плоско-волновые моды. Сейчас мы сосредоточены на обратном эффекте, когда динамический эфир регулирует поведение аксионной темной материи через динамический скаляр ^2, введенный в потенциал псевдоскалярного поля V(ф2, ^2). Для случая скалярного поля эта идея была использована, например, в [8, 32, 33]. Что касается конституционного тензора Джекобсона, то он представляет собой классическую структуру Kabmn(gik,Up) [1]. В контексте космологии, новая переменная в потенциале скалярного поля представлена также скаляром растяжения 0 = VkUk (изотропные модели Фридмановского типа) или парой 0 и а2 (последний скаляр представляет собой квадрат бесследового тензора сдвига атп, который присутствует, например, в модели Бианки-1).
В нашей работе динамический скаляр ^2 представляет собой квадрат кова- риантной производной векторного поля: ^2 = VmUnVmUn. Конечно, можно было бы ввести четыре новых параметра: квадрат ускорения четыре-вектора эфира d2 = UmVmUkUnVnUk, квадрат тензора сдвига а2 = атпатп, квадрат тензора вращения ш2 = wmnwmn и скаляр растяжения 0. Тем не менее, мы вводим параметр ^2 = VmUnVmUn, руководствуясь соображениями, изложенными в работе [44]. Мы снова рассматриваем потенциал Хиггсовского типа V(ф2, ^2), но теперь значение Ф* зависит от динамического скаляра ^2. Формально говоря, это означает, что мы должны выйти за рамки второго порядка Эффективной теории поля, однако, в данной работе мы не преследуем такую цель.
Работа построена следующим образом. В разделе 2 напоминаются основные элементы формализма и выводятся основные уравнения для псевдоскалярного (аксионного) поля, единичного векторного поля эфира и для гравитационного поля. В разделе 3 мы рассматриваем приложения аксионно- эфирного расширения теории Эйнштейна к космологии и получаем новые точные решения для пространственно изотропной и однородной Вселенной с космологической константой и без нее. Раздел 4 содержит обсуждение полученных результатов и выводы.
В ходе написания данной работы, мы опирались на две модели жесткого регулирования в динамических физических системах. Первая модель описывает плотную плазму, движущуюся во внешних полях (гравитационном и/или электромагнитном); в этой модели частые столкновения частиц приводят к тому, что функция распределения плазмы соответствует определенной равновесной функции, зависящей от параметров внешних полей, в которой интеграл столкновений обращается в нуль [47]. Вторая модель относится к динамике больших гранул в потоке вязкой жидкости; под действием силы Стокса в такой модели, гранулы приобретают скорость, совпадающую с неоднородной макроскопической скоростью потока жидкости [48]. Мы пытались понять, как динамический эфир может осуществлять жесткое регулирование поведения аксионной темной материи. Эти две аналогии подсказали нам, что регулирование такого рода возможно через специфический потенциал Хиггса V(ф2, Q2) = 1 Y [ф2—Ф^(^2)]2, описывающий нелинейное самодействие псевдоскалярного (аксионного) поля. Когда потенциал Хиггса обращается в ноль, мы получаем аналог равновесной аксионной системы в эфирном потоке. Если основное состояние Ф* (^2) не является константой и зависит от управляющей функции эфира ^2 = gmngpqVmUpVnUq, мы сталкиваемся с тем, что эфир управляет состоянием темной материи. Подходящим инструментом для такой цели является модель аксионно-эфирного расширения теории Эйнштейна; соответствующее расширение связано с тем, что теперь потенциал V(ф2, ^2) включает в себя не только квадрат псевдоскалярного поля ф2, но также векторное поле, четыре-вектор скорости эфира, метрику и символы Кристоффеля. Вариационная процедура дает соответствующие дополнительные слагаемые в основные уравнения для векторного поля (1.12), (1.14) и для гравитационного поля (см., например, (1.18) с (1.15)).
Поскольку космология является естественным приложением этой модели, мы редуцировали полученные основные уравнения для случая симметрии однородной изотропной модели Фридмановского типа. В этой модели управляющая функция ^2 пропорциональна квадрату функции Хаббла ^2 = 3Н2, поэтому только скорость космологического расширения предопределяет эволюцию основного состояния псевдоскалярного поля. Мы нашли точные решения редуцированной системы основных уравнений для случая жесткого регулирования, то есть для случая, когда значение псевдоскалярного поля ф(Ь) в любой момент времени t совпадает с функцией основного состояния Ф*(Н(t)). В случае, когда космологическая постоянная отлична от нуля, Л = 0, функция Хаббла определяется выражением (2.17)), а масштабный фактор - выражением (2.18); если Л = 0 мы имеем дело, соответственно, с формулами (2.33)) и (2.34). Величина Ф* как функция космологического времени определяется, соответственно, выражениями (2.22) и (2.35); восстановление функции Ф*(Н) дает, соответственно, (2.23) и (2.36).
Наконец, мы должны сформулировать следующие выводы относительно модели, в рамках которой показано, что динамический эфир обеспечивает жесткое регулирование поведения аксионной темной материи.
1. Аксионно-эфирная модель Эйнштейна с космологической постоянной Л = 0 гарантирует существование одной переходной точки в истории Вселенной в момент времени t = tr (2.20), которая отделяет эпоху замедленного расширения от более поздней эпохи ускоренного расширения; кроме того, она гарантирует, что асимптотический режим расширения имеет тип квази-де Сит- тера (Pseudo-Rip) с постоянной Хаббла Нто= ^3Г, где Г—1+1 (CI+3C2+C3) - параметр, содержащий три константы связи Джекобсона C,C2,C3.
2. Скаляры, которые описывают эффективную плотность энергии и давление эфира (2.26), имеют четыре интересных свойства: во-первых, плотность энергии эфира W(U) положительна, когда эффективный параметр Джекобсона Ci+3C2+C3 отрицателен и удовлетворяет неравенству —2 < С1+ЗС2+С3 < 0; во-вторых, эффективное давление эфира Р(и) меняет свой знак и становится отрицательным в момент времени t = td (см. (2.27)); в-третьих, функция W(U)+3P(U) становится отрицательной, когда t > tT > td; в-четвертых, эффективная энтальпия эфира W(U)+P(U) стремится к нулю в пределе t ^ ж (см. (2.29)). Другими словами, эфир ведет себя как темная энергия, начиная с момента времени tr, и в пределе становится темной энергией типа Л. Если Л=0, модель не может объяснить позднее ускоренное расширение, поскольку параметр ускорения отрицательный для любого момента времени.
3. Скаляры плотности энергии и давления аксионной темной материи (2.25) показывают нам, что соответствующее эффективное уравнение состояния, W(A)=P(A) > 0, может быть определено, как уравнение жесткого типа; данный факт предоставляет интерес к изучению так называемых "жестких"эпох, появляющихся в рамках Модифицированной Гравитации (см., например, [49] и ссылки в нем).
4. В случае, когда Л = 0, однородные возмущения псевдоскалярного (аксионного) поля, функции Хаббла и масштабного фактора постепенно ослабевают с течением космологического времени, то есть, мы имеем дело с устойчивой моделью жесткого регулирования поведения аксионной темной материи динамическим эфиром.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
