Введение 2
2 Математическая модель американского call-опциона 3
2.1 Задача об американских опционах 3
2.2 Модель с дробными производными 6
3 Аппроксимация задачи об американских опционах 8
3.1 Метод конечных элементов для оценки американских опционов 8
3.2 Неявная и полуявная схема 10
4 Итерационный метод и результаты численных экспериментов 13
4.1 Метод релаксации с проектированием 13
4.2 Алгоритм и расчетные формулы метода релаксации с проектированием в неявной схеме 14
4.3 Результаты программной реализации модели 15
5 Математическая модель с дробной производной по времени 17
5.1 Формулировка задачи и ее аппроксимация 17
5.2 Метод релаксации с проектированием в неявной схеме 18
5.3 Результаты программной реализации модели 20
6 Заключение 22
Список литературы 23
Приложение
Рынок опционов является одним из самых быстро растущих и развивающихся финансовых рынков. Ввиду этого задача справедливой оценки стоимости опциона является одной из наиболее актуальных, хотя и весьма сложной задачей финансовой математики.
Большая часть недавней литературы, касающейся моделирования финансовых активов, предполагает, что базовая динамика цен на акции следует за процессом скачка или процессом Леви. Это сделано, чтобы включить редкие или экстремальные события, не зафиксированные гауссовыми моделями. Все это отражает некоторые из наиболее важных характеристик динамики цен на акции.
Задачи с дробной производной по времени (в определении Капуто, как и в данной работе) рассматривались в многочисленных работах, опубликованных в последнее десятилетие. В этих работах были исследованы сеточные аппроксимации уравнений, в основном линейных, в то время как задача об американских опционах формулируется в виде вариационного неравенства.
Теория и методология уравнения в частных производных начали становиться популярными для изучения проблем ценообразования опционов после того, как было предложено классическое уравнение Блэка-Шоулза. Результаты исследований включают в основном два аспекта: один состоит в том, чтобы дать значения параметров, используя более мощные численные и аналитические методы; другой способ заключается в создании новой модели ценообразования, которая более точно отражает реальный финансовый рынок.
Уравнение Блэка-Шоулза в последние два десятилетия вызывает все больший интерес, поскольку оно эффективно обеспечивает ценность опционов. Классическое уравнение Блэка-Шоулза было выведено при некоторых строгих предположениях.
Поэтому были предложены некоторые улучшенные модели, чтобы ослабить эти предположения, такие как модель стохастического интереса, модель скачкообразной диффузии, модель стохастической волатильности и модели с трансакционными издержками. С открытием фрактальной структуры для финансового рынка, дробные модели Блэка-Шоулза[4 — 7] получены путем замены стандартного броуновского движения, включенного в классическую модель, с дробным броуновским движением.
В качестве обобщения дифференциального уравнения целого порядка дифференциальное уравнение дробного порядка используется для моделирования важных явлений в различных областях, таких как течение жидкости, электромагнитное излучение, акустика, электрохимия, космология и материаловедение. В последнее время дробное уравнение с частными производными было введено в финансовую теорию. Висс[8] дал дробное уравнение Блэка- Шоулза с дробно-временной производной для задачи об европейских опционах. Cartea и del-Castillo-Negrete [9] вывели несколько дробно-диффузионных моделей цен опционов на рынках с ценовым барьером с использованием дробного уравнения в частных производных. Жумари[10 — 11] вывел дробновременные уравнения Блэка-Шоулса и дал оптимальное дробное портфолио Мертона.
Нами будут рассмотрены некоторые классические аппроксимации и итерационные методы решения задачи об оценки американских опционов. В качестве приложения мы используем численные методы для решения уравнений Блэка-Шоулза и оценки стоимости опционов, в частности, метод конечных элементов и итерационный метод релаксации с проектированием.
Так же, в качестве усложненного метода, будет рассмотрена параболическая задача, удовлетворяющая уравнению в частных дробных производных. В качестве приложения мы используем численные методы для оценки стоимости опционов, путем решения соответствующих производных.
Будет произведен анализ численных результатов двух моделей и их последующее сравнение, оценена степень полезности модели с дробными производными, относительно классических методов, на примере американских put-опционов.
В работе решалась актуальная задача в области финансовой математики - задача оценки стоимости американских опционов. Было построено решение для классической модели Блэка - Шоулза, а также для улучшенной модели, использующей частные дробные производные.
К данным моделям была применена аппроксимация методом конечных элементов с использованием так называемой неявной сеточной схемы МКЭ, в качестве дополнительной аппроксимации по времени. А для решения поставленной таким образом задачи, был использован один из итерационных методов - метод релаксации с проектированием.
Из исследования различных моделей задачи можно сделать вывод, что для модели с дробными производными скорость сходимости итерационного метода выше, чем для классической модели.
В модели с дробными производными, при значениях параметра а £ [0,1], отвечающем за порядок производной, близком к 1, скорость сходимости итерационного метода значительно понижается. При а =1 модель идентична классической модели, имеет такую же скорость сходимости метода релаксации с проектированием.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
