Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 7
1.1. Теоретические и экспериментальные исследования тлеющих разрядов 7
1.2. Обзор работ по математическому моделированию явлений в
электрических разрядах (гидродинамическое, статистическое, гибридное моделирование) 19
1.3. Выводы по первой главе 29
Глава 2. Постановка задачи и описание численного метода 30
2.1. Описание общей математической модели 30
2.2. Математическая модель тлеющего разряда в нелокальном приближении 33
2.3. Описание численного метода расчета параметров тлеющего разряда 35
2.4. Метод прогонки 37
2.5. Алгоритм решения задачи 43
Глава 3. Проведение тестовых экспериментов 48
Глава 4. Результаты численных расчетов с реальными физическими параметрами 52
Заключение 59
Список литературы
Актуальность работы. Построение теоретических моделей в современной физике процессов различного рода является одним из более важных инструментов изучения нашего мира. Наиболее главенствующим из направлений теоретических исследований стоит выделить моделирование непростых процессов в сложных средах, таких как, например, плазма. Многие теоретические модели не имеют точных решений, но даже несмотря на это, они позволяют не только приблизительно предсказать характер протекания какого-либо сложного процесса, но и помогают в целом делать выводы о физическом явлении. Это особенно необходимо, когда экспериментальных данных просто нехватает для выявления общих закономерностей, свойственных рассматриваемому явлению. Также это актуально, когда эксперименты относительно дорогостоящие, более масштабны и их крайне трудно проводить в лабораторных условиях. Даже если многие опыты на сегодняшний день были успешно проведены и хорошо изучены, данные наблюдения не позволяют предсказывать дальнейшее течение процесса из-за того, что отсутствует некая общая база, теория для их описания.
Абсолютно все математические модели имеют, так или иначе, обобщенный характер и дают только приближенные вычисления. Непосредственно уровень приближения определяется точностью расчетов и предсказательной силой, которые требуются в конечном счёте. Также следует отметить следующий факт, что сформулировать ту строгую математическую модель нестационарных, имеющих ощутимые нелинейности и прочих физических явлений обычно не представляется возможным. В этих случаях более предпочтительны более упрощённые теоретические модели. Даже невзирая на то, что данные модели существенно упрощены, они обладают конструктивной простотой, также предоставляют широкие возможности для построения дальнейших обобщений и требуемых уточнений.
Актуальна задача расчета тлеющего разряда с учетом больших градиентов в приэлектродных областях, ввиду использования этого типа разряда в ионных двигателях и для модификации материалов различной физической природы с целью улучшения их качественных свойств. Также математическое моделирование и численные расчеты характеристик плазмы позволяют детальнее изучить физические процессы в разряде, снизив издержки при проведении натурных экспериментов.
Цель работы и задачи. Целью работы является расчет распределения основных характеристик электрического поля, температуры электронов и концентрации заряженных частиц в тлеющем разряде, создаваемом в газоразрядной трубке при пониженных давлениях в локальном приближении.
Поставленная цель требовала решения следующих задач:
- изучить предметную область тлеющего разряда;
- постановка математической модели решения задачи расчета параметров тлеющего разряда;
- разработать алгоритм решения задачи;
- написать код программы;
- провести тестовые расчеты;
- провести расчеты с реальными физическими параметрами;
- подвести итоги по полученным результатам, сравнить с известными экспериментальными данными.
Научная новизна.
1. Построены самосогласованные математические модели тлеющего разряда пониженного давления в аргоне, в которых учитывается изменение газовой температуры.
2. Разработан численный метод, основанный на использовании монотонной схемы Дугласа-Рекфорда.
3. Разработан программный комплекс, позволяющий рассчитывать характеристики тлеющего разряда постоянного тока.
Достоверность. Достоверность и обоснованность полученных в данной работе результатов обеспечивается анализом физической постановки модели и корректным применением численных алгоритмов, соответствием полученных результатов физической картине тлеющего разряда пониженного давления, а также хорошим согласованием определенных численных решений ряда задач с известными данными натурных экспериментов и с результатами других авторов.
Теоретическая и практическая значимость. Практическая ценность состоит в возможности применения разработанного программного обеспечения для расчета распределения основных характеристик электрического поля и концентрации заряженных частиц в тлеющем разряде, создаваемом в газоразрядной трубке при пониженных давлениях.
Теоретическая ценность состоит в возможности применения разработанных численных алгоритмов и математических моделей для анализа механизмов процессов в тлеющем разряде постоянного тока пониженного давления.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на следующих конферениях: итоговая научно-образовательная конференция студентов Института Физики, секция: атмосферные и ионосферные исследования (Казань, 2017 г.); Международная конференция "XVIII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам"(КРОМШ- 2017) (Ласпи-Батилиман, 2017); Итоговая научная конференция сотрудников Казанского университета (Казань, 2018 г.) и опубликованы в работах [76,87,89,90].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 69 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего 91 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в диссертации вопросов, определена цель работы, научная новизна, достоверность и обоснованность полученных результатов, теоретическая и практическая значимость, представлена апробация работы, изложено краткое содержание работы по главам.
В первой главе разобраны работы, посвященные тлеющим разрядам. Приведены результаты экспериментальных и теоретических исследований тлеющих разрядов постоянного тока, их характеристик в различных газовых средах, с разнородными материалами электродов и расстояниями между ними. Подробно рассмотрены работы, использующие математические модели тлеющего разряда постоянного тока. Значительное внимание уделено трем базовым моделям, которые описывают эволюцию заряженных частиц в плазменных разрядах: гидродинамическая, кинетическая и гибридная. Дан также обзор работ, изучающих двумерные и трехмерные модели. Не исключены и статьи носящий обзорный характер, рассматривающие фундаментальные исследования и методы моделирования. Обзор литературы показал, что, несмотря на большое число опубликованных работ, многие вопросы моделирования тлеющего разряда еще мало изучены.
Во второй главе магистерской работы описан численный метод решения уравнений неразрывности, уравнения теплопроводности и уравнения Пуассона. В качестве метода выбраны монотонная схема Дугласа- Рекфорда и метод прогонки. Подробно изучена устойчивость численной схемы, использован динамический выбор шага по времени из диагонального преобладания матрицы.
В третьей главе работы проведены тестовые численные эксперименты для уравнения неразрывности и уравнения теплопроводности. Тестовое решения в допустимых пределах совпадают с теоретическими.
В последней главе проведены расчеты с реальными физическими параметрами для получения концентраций заряженных частиц, температуры электронов, потенциала и напряженности электрического поля, проведено качественное сравнение с известными экспериментальными данными, выявлены зоны положительного и отрицательного столбов.
В данной магистерской работе будут составлены алгоритм, программа на языке С++ и будут проведены расчеты напряженности и потенциала электрического поля, температуры электронов и концентрации заряженных частиц по всей длине газоразрядной трубки. Полученные результаты вносят вклад в область теоретического описания разряда и могут быть полезны для получения оптимальных параметров работы устройств.
Автор признателен своему руководителю кандидату физико-математических наук Шемахину А. Ю. за постановку задачи, внимание и помощь при выполнении работы.
Таким образом, изучена предметная область тлеющего разряда, построен алгоритм и разработана программа расчета концентрации заряженных частиц, температуры электронов, потенциала и напряженности электрического поля.
В ходе работы составлена математическая модель решения задачи расчета параметров тлеющего разряда, составлена система уравнений (21) и поставлены граничные условия (24).
Разработан алгоритм и программа на языке С++ для расчета вышеперечисленных характеристик. Проведены тестовые численные эксперименты монотонной схемы Дугласа-Рекфорда для расчета концентрации и температуры электронов. Проведен расчет концентрации электронов и ионов, температуры электронов, потенциала и напряженности электрического поля. Выявлены зоны положительного и отрицательного столбов. Результаты расчетов качественно согласуются с известными экспериментальными данными, что показано в главе 4.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
