Заключение

Математическая логика в течение всего периода развития имела применение как в математике, так и вне ее. Из наиболее значительных применений в математике отметим два. Использование методов математической логики для анализа алгебраических структур привело к возникновению теории моделей − области математики, лежащей на стыке алгебры и математической логики. Применение логики в математическом анализе привело к появлению новой научной дисциплины нестандартный анализ.
Весьма значительны и “нематематические” применения математической логики в кибернетике и информатике.
Логика не имеет содержания в том смысле, что в аксиоматической теории она не вводит «с черного хода» в математическую теорию никаких дополнительных предположений, чем достигается полная ясность относительно того, какие именно объекты принимаются данной аксиоматической теорией.
Логика первого порядка не имеет содержания, по крайней мере, в том смысле, что она служит лишь обеспечению правильного перехода от посылки к заключению в математическом размышлении, и этот переход осуществляется по вполне ясным правилам, относящимся к использованию логических констант. В этом отношении логика второго порядка гораздо менее ясна, потому что нет такого множества правил, которые бы дали все ее правильные результаты.
Другими словами, логика первого порядка обладает полнотой, в то время как логика второго порядка неполна. С другой стороны, выразительные возможности логики второго порядка в качестве оснований математики намного богаче выразительных возможностей логики первого порядка. Тем не менее, по существующим ныне канонам, основания математики представляют собой логику первого порядка плюс аксиоматическая теория множеств.
В ходе исследования были рассмотрены основные понятия логики первого порядка и изучены доказательства неразрешимости логики первого порядка. Для этого было разобрано понятие машины Тьюринга, доказана неразрешимость проблемы ее остановки. На основе полученного выведена неразрешимость логики первого порядка. Так же разобрано доказательство неразрешимости логики первого порядка методом Геделя.


Купить