ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………… 5
ГЛАВА 1. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ИССЛЕДУЕМЫХ ЗАДАЧ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ В КОНТЕКСТЕ 2-УРОВНЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ …… 25
1.1. Актуальность 2-уровневого моделирования ……………………… 25
1.1.1. Фундаментальная научная проблема ………………………… 25
1.1.2. Предлагаемые методы и подходы …………………………….. 26
1.1.3. Современное состояние науки в данной области исследования……………………………………………………………… 28
1.2. Содержательное описание проблемы моделирования задач
землепользования …………………………………………………… 29
1.3. Необходимость многокритериального подхода …………………… 32
ГЛАВА 2. КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНАЯ ПРОГНОЗНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ НИЖНЕГО УРОВНЯ ………………...…… 38
2.1. Необходимость разработки новых методов прогнозирования …… 38
2.2. Алгоритм R/S- анализа………………………………………………. 40
2.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов работы алгоритма R/S- анализа …………………………………………. 41
2.4. Фрактальный анализ временного ряда озимой пшеницы по КБР
за период с 1952 по 2002 г………………………………………… 45
2.5. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда и уточнения прогноза ……………………….……… 49
2.6. Математический инструментарий линейных клеточных автоматов…………………………………………………………………….. 55
2.7. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и
нечетких множеств, на примере анализа и прогнозирования урожайности озимой пшеницы по КБР на 2003 год …………………. 57
2.7.1. Преобразование числового временного ряда в лингвисти-3
ческий временной ряд ……………………………………. 57
2.7.2. Частотный анализ памяти лингвистического временного
ряда …………………………………………………………… 61
2.7.3. Получение лингвистических прогнозных значений урожайности, верификация и валидация прогнозной модели…………………………………………………………….. 72
2.7.4. Получение числового прогноза, и оценка его точности……. 76
ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ДАННЫМИ ……… 79
3.1. Общая постановка дискретной многокритериальной задачи в условиях неопределенности………………………….…………….…. 79
3.2. Математическая постановка векторной задачи покрытия графа 4-
циклами (паросочетаниями, звездами)……………………………. 81
3.3. Анализ арифметических операций и отношения предпочтения
для задач с нечеткими данными…………………….………………
83
3.4. Новые определения операции суммирования и сравнения, адекватные математической модели задачи землепользования с нечеткими данными……………………………………………………….. 87
3.4.1. Математическая постановка задачи…………………………. 87
3.4.2. Новая операция суммирования ⊕ нечетких весов………… 89
3.4.3. Операция сравнения нечетких весов……………………….. 95
ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ ВЕРХНЕГО УРОВНЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ
ВЫЧИСИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ, РАЗРЕШИМОСТИ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМОВ ЛИНЕЙНОЙ СВЕРТКИ И АЛГОРТИМЫ ЛИНЕЙНОЙ
СВЕРТКИ ДЛЯ ЗАДАЧ ПОКРЫТИЯ ГРАФА 4-
ЦИКЛАМИ ………………………………………………..
100
4.1. Формулировка интервальной экстремальной задачи……….……... 101
4.2. Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами
векторной задачей……………………………………………………
103
4.3. Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной
свертки критериев задачи с интервальными данными и крите4
свертки критериев задачи с интервальными данными и критериями вида MAXSUM ……………………………………………… 105
4.4. Обоснование свойства полноты задачи покрытия графа 4-
циклами ……………………………………………………………..
117
4.5. Исследование вычислительной сложности ………………………... 119
4.6. Оценки точности приближенных алгоритмов …………………….. 126
4.7. Приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами…………… 127
4.8. Обоснование достаточных условий статистической эффективности алгоритма α .. ……….……..……………………………………
129
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………. 134
ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………………… 136
ПРИЛОЖЕНИЯ
Купить

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработке методов математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов, для которых характерны множественность критериев,
стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных.
Дальнейшее развитие каждого такого процесса существенным образом зависит от его состояния на предыдущих этапах эволюционирования.
Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различные постановки задачи землепользования и предлагается двухуровневый
подход к их моделированию. Классический подход к моделированию таких
задач оказывается недостаточным по той причине, что представление параметров этих задач четкими числовыми значениями оказывается в принципе
неадекватным в силу их слабой структурированности, изменчивости во времени и неопределенности. Например, для выращиваемой в зоне рискового
земледелия конкретной культуры можно отнести к неадекватному такое
представление ее урожайности, как усреднение ее значения за определенный
отрезок времени.
Авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования состоит в том, что исходные данные для многокритериальных задач
верхнего уровня должны базироваться на прогнозных данных, получаемых
на нижнем уровне моделирования. В свою очередь исходными данными для
нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных
показателей рассматриваемых процессов. Однако к настоящему времени математическое моделирование на нижнем уровне исходных данных (т.е. численных значений параметров, коэффициентов и т.п.) для классических оптимизационных моделей верхнего уровня находится еще в зачаточном состоянии. Вместе с тем уже появилась ясность того, что наиболее подходящим
математическим аппаратом для моделирования задач верхнего уровня является инструментарий теории графов. При этом заслуживает внимания тот
факт, что к настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные,
имеющие полиномиальную трудоемкость, алгоритмы практически для всех
дискретных экстремальных задач. Поэтому актуальной является разработка
малотрудоемких приближенных алгоритмов, которые всегда или почти всегда гарантируют нахождение приемлемых решений.6
Цель и задачи диссертационного исследования. Основной целью настоящей работы является разработка (на содержательном примере задач землепользования) двухуровневого подхода к математическому моделированию
дискретных эволюционных процессов, числовые параметры которых являются слабо структурированными. Поставленная цель требует решения следующих задач:
- разработка общей структурной схемы двухуровневого моделирования и
численных методов его реализации;
- разработка в качестве основной составляющей модели нижнего уровня
новых методов прогнозирования эволюционных процессов на базе линейных клеточных автоматов, математического аппарата теории нечетких множеств и инструментария теории детерминированного хаоса;
- осуществление анализа известных теоретико-множественных определений операции суммирования нечетких множеств и вместе с тем представление нового обоснованного определения операций суммирования и
сравнения нечетких весов для исследуемой задачи землепользования;
- исследование вычислительной сложности рассматриваемых задач на
графах с нечеткими или интервально заданными весами ребер, представляющими урожайность;
- исследование разрешимости с помощью классических подходов (в частности, алгоритмов линейной свертки критериев) рассматриваемых экстремальных задач на графах с интервальными весами;
- разработка малотрудоемких алгоритмов для экстремальных задач покрытия графа типовыми подграфами (паросочетаниями, звездами, 4-
циклами) и обоснование достаточных условий статистической эффективности предлагаемых алгоритмов.
Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных
задач использованы методы теории алгоритмов с оценками, теории графов,
многокритериальной оптимизации, теории вероятностей и математической
статистики, теории нечетких множеств и интервального исчисления, методы
прогнозирования временных рядов.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается корректным
применением аппарата теории графов, математического программирования и
теории вычислительной сложности алгоритмов, математической статистики,7
математического аппарата нечеткой и интервальной математики, методов
теории детерминированного хаоса. Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстата России, в
частности по Ставропольскому краю и Кабардино-Балкарской республике
(КБР). Эффективность предложенных методов подтверждается верификацией и валидацией результатов, полученных путем проведения численных расчетов.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Концепция двухуровневого моделирования эволюционных дискретных
процессов в условиях многокритериальности и неопределенности данных.
2. Конкретный алгоритм реализации фрактального анализа временных
рядов урожайности с целью выявления в них наличия долговременной
памяти как предпосылки для построения прогнозной модели.
3. Построенная для нижнего уровня на базе инструментария клеточных
автоматов и теории нечетких множеств математическая модель и метод
прогнозирования урожайности основных культур, выращиваемых в зонах рискового земледелия.
4. Разработанные для верхнего уровня специальные подходы к моделированию задач землепользования с нечеткими весами, включая обоснование операций суммирования и сравнения, адекватных реальному содержанию задач землепользования.
5. Результаты анализа применимости классических подходов, в частности, алгоритмов линейной свертки критериев к конкретной задаче землепользования, сформулированной как задача покрытия графа 4-
циклами с интервальными весами.
6. Разработанный для верхнего уровня моделирования задачи землепользования алгоритм отыскания оптимального покрытия графа 4-циклами,
включая обоснование достаточных условий его статистической эффективности.
Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования
содержат следующие положения:
1. Предложен двухуровневый подход к моделированию эволюционных
задач землепользования в условиях многокритериальности и неопределенности данных.8
2. На базе R/S-анализа разработан и реализован метод фрактального анализа временных рядов с целью выявления в них долговременной памяти и оценки степени применимости инструментария клеточных автоматов и нечетких множеств для построения прогнозной модели.
3. В качестве реализации модели нижнего уровня построена прогнозная
модель на базе клеточных автоматов, а также разработаны алгоритмы
прогнозирования, валидации и вычисления оценки погрешности результатов.
4. С учетом принципиальной нечеткости исходных данных, получаемых
на нижнем уровне, оценена степень пригодности известных теоретикомножественных определений арифметических операций для нечетких
множеств и предложены новые способы операций сложения и сравнения, отвечающие содержательному смыслу рассматриваемых задач
землепользования.
5. В качестве математической модели для верхнего уровня сформулирована и исследована векторная задача покрытия графа 4-циклами и паросочетаниями. Первая из этих задач исследована для случая интервальных данных: осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и
установлена ее неразрешимость с помощью алгоритмов линейной
свертки критериев (АЛСК).
6. В качестве базы для использования АЛСК разработан малотрудоемкий
оптимизационный алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны
достаточные условия, при которых он является статистически эффективным.
Практическая ценность полученных результатов и их реализация.
Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что
предложенные подходы, математические модели и алгоритмы универсальны
и позволяют решать широкий круг агроэкономических задач. Построенные
на базе клеточных автоматов модель и метод прогнозирования временных
рядов урожайности могут быть использованы всюду, где поведение рассматриваемого эволюционного процесса с памятью не подчиняется нормальному
закону.
Предложенные методы, методики и алгоритмы моделирования на нижнем уровне были погружены в модельные и реальные экономические процессы и оправдали себя. Их корректность подтверждается расчетами на кон-9
кретных материалах прогнозирования; оценки точности прогнозирования
вычислены в процессе валидации по заказу Министерства сельского хозяйства Ставропольского края; прогнозное значение урожайности озимой пшеницы за период с 1952 г. по 2002 год уклонялось от реального временного ряда
в среднем не более, чем на 10%.
Разработанная модель и математический аппарат их количественного
анализа и прогнозирования включены в лекционные курсы следующих дисциплин: «Теория рисков», «Дискретное программирование с нечеткими данными», читаемых на факультете прикладной математики и информатики
КЧГТА, а также использованы при выполнении курсовых и дипломных проектов.
Апробация работы. Результаты исследования и основные его положения докладывались и обсуждались на заседаниях научно-методического семинара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2001-2003 гг.)
и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими
учебными заведениями России:
– на IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и
компьютерные технологии» (Кисловодск, 2001);
– на Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива–2001» (Нальчик, 2001);
– на II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»
(Нальчик, 2001);
– на IV научно-практической конференции аспирантов и студентов «Региональная экономика управления и права» (Черкесск, 2002);
– на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.
Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета
«Лиманчик», 2002);
– на Х Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и
образовании» (Пенза, Приволжский Дом знаний, 2002);
– на III Международной конференции «Новые технологии в управлении,
бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003г.);10
– на VIII Международной конференции серии «Нелинейный мир» (Астрахань, 2003).
Теоретические и практические результаты диссертационной работы
использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-01-00652
«Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем
в условиях неопределенности».
Купить