Помощь студентам в учебе
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ
|
ВВЕДЕНИЕ 11
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 29
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 62
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ 92
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС) 131
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ 193
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ 233
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 267
ЛИТЕРАТУРА 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 294
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА 304
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 29
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 62
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ 92
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС) 131
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ 193
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ 233
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 267
ЛИТЕРАТУРА 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 294
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА 304
Актуальность темы и обзор литературы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.
Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях.
Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину.
Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными.
Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существен¬но зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др.
Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса, А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе¬симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории p-аналитических функций описывается также нелинейная фильтрация с законом вида Ф(^ V Vo, которая в плоскости годографа вектора vrприводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положего [108].
Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость k, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35, 224, 225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью k, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.
В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости k, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, не-ограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов.
Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно¬постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоёв), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах.
На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой, О.В. Голубевой в [41, 42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М. Радыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно¬линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к много-
Диссертантом в [208] построено общее решение задачи сопряжения для n концентрических окружностей, когда произвольные особые точки потенциала поля располагаются во внешней зоне, а проницаемости в слоистой среде чередуются. Кроме того, автор этой работы в [165] показывает, как с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных полей можно строить серии точных решений задач фильтрации в n-слойных средах с кусочно-постоянной проницаемостью.
Ещё один метод решения задач сопряжения в кусочно-однородных зонах основан на представлении потенциалов в виде интегралов по линиям сопряжения с сингулярными ядрами и неизвестной плотностью. Это приводит к системе интегральных уравнений или к задаче Римана [102, 110]. В [37, 38] задачи сопряжения для течения от источника решены для произвольного числа однородных зон, разделенных концентрическими окружностями, софокусными эллипсами или лучами. Конкретные краевые задачи сопряжения для двух, трех и четырех однородных зон, разделенных прямыми, приведены в [243].
Подчеркнём, что перечисленные методы становятся непригодными в случае неоднородных слоев с различными функциями проницаемости в них, так как полученные выше решения строились исходя из того, что потенциалы во всех слоях удовлетворяли одному уравнению (уравнению Лапласа). Для слоистой кусочно-неоднородной прямоугольной области, границы раздела n слоёв в которой параллельны одной из сторон прямоугольника, автором этой работы в [151, 162, 164, 167] развит метод точного решения задач сопряжения.
Задачи фильтрации в кусочно-неоднородных средах с двумя зонами и с криволинейной границей их раздела решались в [110], где с помощью известной функции Грина для каждой зоны задача сопряжения сводилась к обобщённой задаче Римана.
Для осесимметричных течений в кусочно-однородных пористых средах с одной или двумя концентрическими сферами раздела сред в [33, 70] дано обобщение сферической теоремы Вейса [86]. Для течения типа поступательного по-тока через систему n круговых или сферических слоёв дано решение в [58].
Трудности аналитического решения многих практических задач в кусочно-неоднородных (например, в слоистых) средах способствовали появлению большого количества приближенных методов. В частности, Л.В. Старшинова для расчёта функции давления в макронеоднородном пласте предложила при-менять метод коллокации [132]. Для случая произвольной общей границы двух однородных сред М.И. Хмельником в работах [214, 215] развит приближенный метод, основанный на усреднении условий сопряжения на границах зон. (При этом потенциалы выражаются через решения двух вспомогательных задач обтекания, соответствующих непроницаемым и проницаемым границам, которые, в свою очередь, можно построить приближенно методом особых точек). Диссертант для приближённого решения задач сопряжения для расчёта течений под гидротехническими сооружениями в [146] предложил применять модифицированный им метод фрагментов акад. Н.Н. Павловского.
Подводя итог, отметим, что аналитические решения задач сопряжения потенциалов течений с произвольными особыми точками построены в основном только для двух и трех однородных зон. Применяемые же методы решения этих задач с увеличением числа зон, изменением формы их границ и замене постоянной проницаемости на переменную становятся малопригодными.
Более сложными по строению являются неоднородные анизотропные среды. Типичными представителями анизотропных пород являются трещиновато-пористые грунты и слоистые среды. Впервые исследования линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в анизотропных средах были, по- видимому, проведены Р. Дахлером [236] и Ф. Шаффернаком [256] в 1933 г. В результате проведенных исследований Р. Дахлер в Ф. Шаффернак приходят к выводу, что плоскопараллельные течения жидкости в слоистых средах (со-ставленных из изотропных слоев весьма малой мощности) эквивалентны однотипным течениям жидкости в некоторой фиктивной пористой среде, проницаемость k_L которой вдоль напластования изотропных слоев отлична от проницаемости k|| вдоль их простирания. Причем для определения k_L и к| | авторы указали расчётные формулы.
В России плоскопараллельная фильтрация жидкости в прямолинейных слоистых средах изучалась в 1937 г. В.И. Аравиным [2-6]. В.И. Аравин показывает, что путем аффинного преобразования плоскости течения жидкости в рассматриваемой среде, которое сводится к увеличению или уменьшению масштаба одной из осей декартовой системы координат в n=const раз, изучение фильтрации в анизотропном грунте можно свести к изучению плоскопараллельного движения жидкости в некотором фиктивном однородном изотропном грунте. В 1940 г. В.И. Аравиным в работе [4] исследована плоскопараллельная фильтрация жидкости в однородных грунтах с радиальной анизотропией, то есть в таких мелкослоистых грунтах, чередующиеся изотропные слои которых располагались или по концентрическим окружностям, или вдоль лучей, выходящих из одной точки. И в этом случае, как показывает В.И. Аравин, расчёт фильтрации в анизотропном грунте с помощью подходящего преобразования области течения сводится к расчёту течения в изотропном однородном грунте. Заметим, что впервые указанный в работах В.И. Аравина метод сведения расчёта плоскопараллельной фильтрации в анизотропном однородном грунте к расчёту течения жидкости в изотропном однородном грунте был затем использован для решения различных фильтрационных задач и другими авторами. Так, В.С. Козлов [67] исследовал этим методом движения жидкости под гидротехническими сооружениями в одно¬родных грунтах с прямолинейной анизотропией. П.Я. Полубаринова-Кочина [106] изучала в этих же грунтах приток жидкости к дрене на водоупоре.
В первых трудах В.И. Аравина и в последовавших за ними работах других авторов закон Дарси для случая фильтрации жидкости в анизотропных средах выписывался путем формального обобщения закона Дарси для изотропных грунтов так, как это было в 1938 г. сделано [119] Б.К. Ризенкампфом. Впервые физическое и математическое обоснование обобщенному на случай анизотропных грунтов закону Дарси дал в 1948 г. в работе [237] Ж. Феррандон. Экспериментальное подтверждение тензорной природы проницаемости анизотропных грунтов сделал в 1954 г., анализируя экспериментальные данные К. Джонсона и Р. Хагеса [240], А. Шейдеггер [257, 258].
Открытие в России в конце 50-х - начале 60-х годов крупных месторождений нефти и газа в трещиноватых коллекторах поставило перед исследователями новые задачи по теории фильтрации жидкости в анизотропных средах. В частности, стали предприниматься попытки дать объяснение анизотропии грунтов в отношении их фильтрационных свойств на основе менее грубых, чем модель Ж. Феррандона, представлений. Е.С. Роммом в работе [121], а также в его совместной с Б.В. Позиненко статье [122] вопрос о проницаемости трещиновато-пористых горных пород, характеризующихся наличием пространственно ориентированных систем трещин, решается на основе представления результирующей скорости фильтрации в виде суммы скоростей фильтрации трещинных потоков и скорости фильтрации в пористой среде. В результате проведенных исследований Е.С. Ромм другим путем доказал тензорную природу проницаемости трещиновато-пористых горных по¬род. Во всех моделях анизотропных сред, предлагаемых Ж. Феррандоном, Б.К. Ризенкампфом, А. Шейдеггером, априори предполагалось, что тензоры проницаемости положительно определены и симметричны. Для теоретиче-ского обоснования этих положений обычно используются энергетические со-ображения, теория кристаллографии и принцип Онсагера теории необратимых термодинамических процессов [49, 73, 93]. Экспериментальное определение компонентов тензора проницаемости основано на измерении направленных проницаемостей и направленных фильтрационных сопротивлений [12, 15, 49, 246].
При решении задач плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах в большинстве работ рассматриваются среды с постоянными диагональны-ми тензорами проницаемости в некоторой изотермической системе координат. Это позволяет с помощью линейной изотропизирующей подстановки свести уравнения движения к уравнению Лапласа [21, 29, 47, 88, 113, 120, 121, 168, 170, 209, 216, 218] и др. Для анизотропных сред более сложной структуры уравнения движения приводятся к каноническому виду, соответствующему р- гармоническим функциям [157, 218].
Основная трудность решения фильтрационных задач сопряжения для ку-сочно-однородных анизотропных сред в том, что при сведении этих задач к изотропным средам изотропизирующую деформацию зон однородности нужно строить так, чтобы она была непрерывной на границах раздела зон. Диссертан-том это было сделано для двух однородных анизотропных зон, разделенных окружностью или прямой [45, 154]. Ряд конкретных краевых задач в кусочно-однородных анизотропных средах решён С.Е. Холодовским в работах [219, 220, 222].
Для линейной фильтрации в композитных средах с периодической структурой применяются методы осреднения дифференциальных операторов, основанные на разложении решений в ряды по степеням малого параметра - периода коэффициентов уравнений [17] или на осреднении уравнений движения по объёму элементарной ячейки с целью вычисления эффективного тензора проницаемости [11]. В работах С.Е. Холодовского эффективные тензоры проницаемости для линейного режима фильтрации строятся методом гидродинамического осреднения [216, 217, 223].
При изучении фильтрации в трещиноватых средах часто обнаруживается, что трещины имеют пространственную ориентацию. В этой ситуации в работах [66, 120, 121, 241] результирующую скорость фильтрации находили методом суммирования в элементарном объёме скоростей фильтрации в отдельных трещинах, считая справедливым для них закон Буссинеска, и по ней строили тензоры эффективной проницаемости для анизотропных моделей трещиноватых сред. В [6, 24, 260] методом осреднения потоков во взаимно перпендикулярных на¬правлениях найдены компоненты тензоров эффективной проницаемости многослойных сред.
Для трещиноватых сред с хаотичным распределением трещин в пространстве применяют перколяционные модели, основанные на вероятностных методах и приводящие к изотропному континууму [82].
В работе [22] для слоистых сред развит метод осреднения, в котором в от¬дельных слоях потенциалы аппроксимируются полиномами, а уравнения осредняются по толщине слоёв.
Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала развиваться с появлением в 1973 г. публикации С.Н. Нумерова [96, 250], а затем статей А.В. Костерина [73], Е.Г. Шешукова [227], Ю.М. Молоковича [93]. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению известного тензорного закона Дарси, основанного на тензоре 2-го ранга. Дальнейшее развитие теории нелинейной фильтрации в анизотропных средах сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев [13, 14, 15, 49, 50, 51]. Основываясь на том, что при фильтрации жидкости между полями vrи VP существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами VP = F(R,V, р, р) (либо V = f(R, VP,р,р)) и применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин [124, 125], Ю.И. Сиротин [128, 129] и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили эту связь между полями Vrи VP аппроксимировать зависимостями следующего вида (которые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного базиса)
-ViP= aij • Vj + bijk • VjVk + Cijkl • VjVkVl +K ,
где aij, bijk, cijkl - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а ViP - проекции вектора VP на соответствующие оси.
Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.
В целом, по обзору литературы можно сделать следующие выводы. Во- первых, требуется установить взаимосвязь двух разных направлений (Н.М. Дмитриева и Н.С. Нумерова) в моделировании нелинейной фильтрации в
анизотропных средах. Во-вторых, существует ряд вопросов, касающихся обоснования моделей фильтрации в периодических, в частности, слоистых средах (как построить для слоистой среды, трещиноватой, периодической наиболее близкую к ней по фильтрационным свойствам анизотропную модель). В- третьих, какие возникают погрешности в значениях фильтрационных потоков и давлений в периодической (слоистой) среде, если расчёт течения жидкости в ней выполнять на анизотропной модели. В-четвёртых, несмотря на давний срок существования теории движения жидкости в искривлённом весьма тонком слое переменной толщины, оценок погрешности этой теории не делалось, и реально¬го порядка толщины слоя, когда выводы теории двумерных течений верны, не сделано. В-пятых, практически нет исследований особенностей течений жидкости в призабойных зонах скважин. В частности, не исследовано, как влияет изменение проницаемости в призабойной зоне на интеференцию скважин. В- шестых, для уверенного применения в фильтрационных расчётах течений в слоистых средах метода анизотропного моделирования нужна теория точных послойных расчётов для многослойных областей конкретного вида. Тогда с по¬мощью сопоставительных расчётов течений по этой теории и по анизотропной модели среды можно узнать границы применимости анизотропных моделей слоистых сред.
В соответствии с наметившимися по обзору литературы вопросами в диссертации ставилась следующая цель исследования.
Цель исследования - разработать общие методы решения задач двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных инженерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленности, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиоративных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.
Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницаемостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования.
Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах с конечной переменной толщиной, которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой [41, 43] точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.
Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.
Предложены:
качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром;
качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин;
качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение:
при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородны¬ми;
в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных анизотропных и изотропных средах;
в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;
в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин;
в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций комплексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются следующим:
1) корректностью применения апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления);
2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильтрации О.В. Голубевой [41, 43]; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких круговых конических и параболоидных пластах [102]; методы «изотропизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина [2 - 6], Е.С. Ромма [121], Г.К. Михайлова [90, 91]; теория В.Н. Щелкачёва [229] работы круговой батареи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко [97]) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи;
3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского [102] к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева [112] о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с результатами опытно-промышленных испытаний [31] Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).
Основные положения, выносимые на защиту:
1) . Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моде-лей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости.
2) . Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.
3) . Математические модели фильтрации жидкости в призабойных зонах скважин (ПЗС).
4) . Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.
5) . Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:
1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руководством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.);
2) на семинарах по математической физике и гидродинамике под руководством акад. П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.);
3) на семинарах по прикладной электродинамике под руководством чл.- корр. АН СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (г. Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);
4) на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.);
5) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1999 и 2000 гг);
6) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (г. Ставрополь, СГУ, 2000 г.);
7) на 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», (г. Георгиевск, СевКавГТУ, 2001, 2003 гг.);
8) на 7-ой и 9-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», (Нижний Новгород, НГТУ, 2003);
9) на 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, январь 2004 г.)
10) результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара - М.Г. Сухарев, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 82 научных статьях [18, 45, 53, 55, 56, 94, 126, 127, 136-210], 25 из которых - в центральной научной печати. Во всех совместных статьях автором работы поставлены задачи и получены их аналитические решения, по которым соавторы представляли решения иллюстративных примеров и проводили числовые расчёты.
Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы из 260 наименований, 2-х приложений, 17 таблиц и 69 иллюстраций.
В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелинейной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, получающиеся в результате трояко-периодического повторения в пространстве основного структурного элемента (ячейки) о этой среды, имеющего в диссертационном исследовании вид прямоугольного параллелепипеда.
В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент о которых представляет прямоугольный параллелепипед с весьма малыми по сравнению с характерным размером области фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных течениях вдоль них векторы Vrи VP коллинеарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рассматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат перпендикулярные к боковым граням структурных ячеек о оси симметрии h1,h2и h3. Главные проницаемости Х1, Х2и Х3в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения главные проницаемости Х1, Х2и Х3могут вычисляться в смысле метода 1) локального или 2) предлагаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования слоистых сред в диссертации проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах.
В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В диссертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, векторы нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров проницаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для различных серий законов распределения ГНА.
Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтрации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к каноническому виду и общие методы решения.
В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли промысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.
В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.
В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в местных для ячейки м декартовых координатах. Главные проницаемости находятся из равенства потоков вдоль осей симметрии h15h2, h3в ячейке м соответствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме м, принятом за анизотропную среду с ГНА h1, h2, h3.
Q в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослойной среды, так и с границами dQобласти Q. Они находятся из равенства потоков вдоль слоёв h1и перпендикулярно к ним h2в многослойной области Q соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же области, принятой за анизотропную среду с ГНА h1, h2. Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные ли¬нии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не совпадать с границами dQ расчётной области. В этом случае расчёт главных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике.
В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в призабойных зонах скважин (ПЗС). В частности, влияние на дебит скачка проницаемости в ПЗС. Учёт конструктивных особенностей скважинных фильтров и наличия трещин гидроразрыва требует пространственной детализации картины течения в ПЗС. Изучение некоторых из этих проблем составило содержание четвёртой главы.
В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному. В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойной области G в виде криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изотермической системы координат P, Q.
В заключении перечисляются основные результаты работы.
В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для линейной фильтрации в средах со следующими законами распределения главных направлений анизотропии:
1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распре-деления ГНА.
2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА.
3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА.
4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА.
4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА
4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Oz)
В заключение скажем о принятом в диссертации порядке нумерации параграфов и формул. В работе применяется двойная нумерация параграфов. При ссылке на параграф (например, на 2-ой) из главы (например, 1-ой) пишется §1.2. Аналогично даются ссылки на параграфы приложений. На-пример, запись §П1.2 обозначает 2-ой параграф из приложения 1. Для формул применяется традиционная тройная нумерация (например, (1.2.3) - фор¬мула (3) в §2 из 1-ой главы) в сокращённом, по примеру книги [17], варианте её записи. А именно, в пределах любого параграфа главы или приложения идёт сквозная одинарная нумерация формул. При ссылке внутри текущей главы на формулу (3) из §2 добавляется номер параграфа и в тексте в круг¬лых скобках пишется (2.3). При ссылке в текущей главе на формулу (3) из §2 из другой главы (например, из 1-ой) добавляется номер главы, затем номер параграфа и потом номер формулы и пишется (1.2.3). Все ссылки на форму¬лы из приложений делаются аналогично. Например, запись (П1.2.3) означает ссылку на формулу (3) в §2 из приложения 1.
Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях.
Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину.
Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными.
Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существен¬но зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др.
Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса, А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе¬симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории p-аналитических функций описывается также нелинейная фильтрация с законом вида Ф(^ V Vo, которая в плоскости годографа вектора vrприводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положего [108].
Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость k, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35, 224, 225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью k, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.
В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости k, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, не-ограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов.
Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно¬постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоёв), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах.
На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой, О.В. Голубевой в [41, 42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М. Радыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно¬линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к много-
Диссертантом в [208] построено общее решение задачи сопряжения для n концентрических окружностей, когда произвольные особые точки потенциала поля располагаются во внешней зоне, а проницаемости в слоистой среде чередуются. Кроме того, автор этой работы в [165] показывает, как с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных полей можно строить серии точных решений задач фильтрации в n-слойных средах с кусочно-постоянной проницаемостью.
Ещё один метод решения задач сопряжения в кусочно-однородных зонах основан на представлении потенциалов в виде интегралов по линиям сопряжения с сингулярными ядрами и неизвестной плотностью. Это приводит к системе интегральных уравнений или к задаче Римана [102, 110]. В [37, 38] задачи сопряжения для течения от источника решены для произвольного числа однородных зон, разделенных концентрическими окружностями, софокусными эллипсами или лучами. Конкретные краевые задачи сопряжения для двух, трех и четырех однородных зон, разделенных прямыми, приведены в [243].
Подчеркнём, что перечисленные методы становятся непригодными в случае неоднородных слоев с различными функциями проницаемости в них, так как полученные выше решения строились исходя из того, что потенциалы во всех слоях удовлетворяли одному уравнению (уравнению Лапласа). Для слоистой кусочно-неоднородной прямоугольной области, границы раздела n слоёв в которой параллельны одной из сторон прямоугольника, автором этой работы в [151, 162, 164, 167] развит метод точного решения задач сопряжения.
Задачи фильтрации в кусочно-неоднородных средах с двумя зонами и с криволинейной границей их раздела решались в [110], где с помощью известной функции Грина для каждой зоны задача сопряжения сводилась к обобщённой задаче Римана.
Для осесимметричных течений в кусочно-однородных пористых средах с одной или двумя концентрическими сферами раздела сред в [33, 70] дано обобщение сферической теоремы Вейса [86]. Для течения типа поступательного по-тока через систему n круговых или сферических слоёв дано решение в [58].
Трудности аналитического решения многих практических задач в кусочно-неоднородных (например, в слоистых) средах способствовали появлению большого количества приближенных методов. В частности, Л.В. Старшинова для расчёта функции давления в макронеоднородном пласте предложила при-менять метод коллокации [132]. Для случая произвольной общей границы двух однородных сред М.И. Хмельником в работах [214, 215] развит приближенный метод, основанный на усреднении условий сопряжения на границах зон. (При этом потенциалы выражаются через решения двух вспомогательных задач обтекания, соответствующих непроницаемым и проницаемым границам, которые, в свою очередь, можно построить приближенно методом особых точек). Диссертант для приближённого решения задач сопряжения для расчёта течений под гидротехническими сооружениями в [146] предложил применять модифицированный им метод фрагментов акад. Н.Н. Павловского.
Подводя итог, отметим, что аналитические решения задач сопряжения потенциалов течений с произвольными особыми точками построены в основном только для двух и трех однородных зон. Применяемые же методы решения этих задач с увеличением числа зон, изменением формы их границ и замене постоянной проницаемости на переменную становятся малопригодными.
Более сложными по строению являются неоднородные анизотропные среды. Типичными представителями анизотропных пород являются трещиновато-пористые грунты и слоистые среды. Впервые исследования линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в анизотропных средах были, по- видимому, проведены Р. Дахлером [236] и Ф. Шаффернаком [256] в 1933 г. В результате проведенных исследований Р. Дахлер в Ф. Шаффернак приходят к выводу, что плоскопараллельные течения жидкости в слоистых средах (со-ставленных из изотропных слоев весьма малой мощности) эквивалентны однотипным течениям жидкости в некоторой фиктивной пористой среде, проницаемость k_L которой вдоль напластования изотропных слоев отлична от проницаемости k|| вдоль их простирания. Причем для определения k_L и к| | авторы указали расчётные формулы.
В России плоскопараллельная фильтрация жидкости в прямолинейных слоистых средах изучалась в 1937 г. В.И. Аравиным [2-6]. В.И. Аравин показывает, что путем аффинного преобразования плоскости течения жидкости в рассматриваемой среде, которое сводится к увеличению или уменьшению масштаба одной из осей декартовой системы координат в n=const раз, изучение фильтрации в анизотропном грунте можно свести к изучению плоскопараллельного движения жидкости в некотором фиктивном однородном изотропном грунте. В 1940 г. В.И. Аравиным в работе [4] исследована плоскопараллельная фильтрация жидкости в однородных грунтах с радиальной анизотропией, то есть в таких мелкослоистых грунтах, чередующиеся изотропные слои которых располагались или по концентрическим окружностям, или вдоль лучей, выходящих из одной точки. И в этом случае, как показывает В.И. Аравин, расчёт фильтрации в анизотропном грунте с помощью подходящего преобразования области течения сводится к расчёту течения в изотропном однородном грунте. Заметим, что впервые указанный в работах В.И. Аравина метод сведения расчёта плоскопараллельной фильтрации в анизотропном однородном грунте к расчёту течения жидкости в изотропном однородном грунте был затем использован для решения различных фильтрационных задач и другими авторами. Так, В.С. Козлов [67] исследовал этим методом движения жидкости под гидротехническими сооружениями в одно¬родных грунтах с прямолинейной анизотропией. П.Я. Полубаринова-Кочина [106] изучала в этих же грунтах приток жидкости к дрене на водоупоре.
В первых трудах В.И. Аравина и в последовавших за ними работах других авторов закон Дарси для случая фильтрации жидкости в анизотропных средах выписывался путем формального обобщения закона Дарси для изотропных грунтов так, как это было в 1938 г. сделано [119] Б.К. Ризенкампфом. Впервые физическое и математическое обоснование обобщенному на случай анизотропных грунтов закону Дарси дал в 1948 г. в работе [237] Ж. Феррандон. Экспериментальное подтверждение тензорной природы проницаемости анизотропных грунтов сделал в 1954 г., анализируя экспериментальные данные К. Джонсона и Р. Хагеса [240], А. Шейдеггер [257, 258].
Открытие в России в конце 50-х - начале 60-х годов крупных месторождений нефти и газа в трещиноватых коллекторах поставило перед исследователями новые задачи по теории фильтрации жидкости в анизотропных средах. В частности, стали предприниматься попытки дать объяснение анизотропии грунтов в отношении их фильтрационных свойств на основе менее грубых, чем модель Ж. Феррандона, представлений. Е.С. Роммом в работе [121], а также в его совместной с Б.В. Позиненко статье [122] вопрос о проницаемости трещиновато-пористых горных пород, характеризующихся наличием пространственно ориентированных систем трещин, решается на основе представления результирующей скорости фильтрации в виде суммы скоростей фильтрации трещинных потоков и скорости фильтрации в пористой среде. В результате проведенных исследований Е.С. Ромм другим путем доказал тензорную природу проницаемости трещиновато-пористых горных по¬род. Во всех моделях анизотропных сред, предлагаемых Ж. Феррандоном, Б.К. Ризенкампфом, А. Шейдеггером, априори предполагалось, что тензоры проницаемости положительно определены и симметричны. Для теоретиче-ского обоснования этих положений обычно используются энергетические со-ображения, теория кристаллографии и принцип Онсагера теории необратимых термодинамических процессов [49, 73, 93]. Экспериментальное определение компонентов тензора проницаемости основано на измерении направленных проницаемостей и направленных фильтрационных сопротивлений [12, 15, 49, 246].
При решении задач плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах в большинстве работ рассматриваются среды с постоянными диагональны-ми тензорами проницаемости в некоторой изотермической системе координат. Это позволяет с помощью линейной изотропизирующей подстановки свести уравнения движения к уравнению Лапласа [21, 29, 47, 88, 113, 120, 121, 168, 170, 209, 216, 218] и др. Для анизотропных сред более сложной структуры уравнения движения приводятся к каноническому виду, соответствующему р- гармоническим функциям [157, 218].
Основная трудность решения фильтрационных задач сопряжения для ку-сочно-однородных анизотропных сред в том, что при сведении этих задач к изотропным средам изотропизирующую деформацию зон однородности нужно строить так, чтобы она была непрерывной на границах раздела зон. Диссертан-том это было сделано для двух однородных анизотропных зон, разделенных окружностью или прямой [45, 154]. Ряд конкретных краевых задач в кусочно-однородных анизотропных средах решён С.Е. Холодовским в работах [219, 220, 222].
Для линейной фильтрации в композитных средах с периодической структурой применяются методы осреднения дифференциальных операторов, основанные на разложении решений в ряды по степеням малого параметра - периода коэффициентов уравнений [17] или на осреднении уравнений движения по объёму элементарной ячейки с целью вычисления эффективного тензора проницаемости [11]. В работах С.Е. Холодовского эффективные тензоры проницаемости для линейного режима фильтрации строятся методом гидродинамического осреднения [216, 217, 223].
При изучении фильтрации в трещиноватых средах часто обнаруживается, что трещины имеют пространственную ориентацию. В этой ситуации в работах [66, 120, 121, 241] результирующую скорость фильтрации находили методом суммирования в элементарном объёме скоростей фильтрации в отдельных трещинах, считая справедливым для них закон Буссинеска, и по ней строили тензоры эффективной проницаемости для анизотропных моделей трещиноватых сред. В [6, 24, 260] методом осреднения потоков во взаимно перпендикулярных на¬правлениях найдены компоненты тензоров эффективной проницаемости многослойных сред.
Для трещиноватых сред с хаотичным распределением трещин в пространстве применяют перколяционные модели, основанные на вероятностных методах и приводящие к изотропному континууму [82].
В работе [22] для слоистых сред развит метод осреднения, в котором в от¬дельных слоях потенциалы аппроксимируются полиномами, а уравнения осредняются по толщине слоёв.
Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала развиваться с появлением в 1973 г. публикации С.Н. Нумерова [96, 250], а затем статей А.В. Костерина [73], Е.Г. Шешукова [227], Ю.М. Молоковича [93]. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению известного тензорного закона Дарси, основанного на тензоре 2-го ранга. Дальнейшее развитие теории нелинейной фильтрации в анизотропных средах сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев [13, 14, 15, 49, 50, 51]. Основываясь на том, что при фильтрации жидкости между полями vrи VP существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами VP = F(R,V, р, р) (либо V = f(R, VP,р,р)) и применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин [124, 125], Ю.И. Сиротин [128, 129] и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили эту связь между полями Vrи VP аппроксимировать зависимостями следующего вида (которые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного базиса)
-ViP= aij • Vj + bijk • VjVk + Cijkl • VjVkVl +K ,
где aij, bijk, cijkl - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а ViP - проекции вектора VP на соответствующие оси.
Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.
В целом, по обзору литературы можно сделать следующие выводы. Во- первых, требуется установить взаимосвязь двух разных направлений (Н.М. Дмитриева и Н.С. Нумерова) в моделировании нелинейной фильтрации в
анизотропных средах. Во-вторых, существует ряд вопросов, касающихся обоснования моделей фильтрации в периодических, в частности, слоистых средах (как построить для слоистой среды, трещиноватой, периодической наиболее близкую к ней по фильтрационным свойствам анизотропную модель). В- третьих, какие возникают погрешности в значениях фильтрационных потоков и давлений в периодической (слоистой) среде, если расчёт течения жидкости в ней выполнять на анизотропной модели. В-четвёртых, несмотря на давний срок существования теории движения жидкости в искривлённом весьма тонком слое переменной толщины, оценок погрешности этой теории не делалось, и реально¬го порядка толщины слоя, когда выводы теории двумерных течений верны, не сделано. В-пятых, практически нет исследований особенностей течений жидкости в призабойных зонах скважин. В частности, не исследовано, как влияет изменение проницаемости в призабойной зоне на интеференцию скважин. В- шестых, для уверенного применения в фильтрационных расчётах течений в слоистых средах метода анизотропного моделирования нужна теория точных послойных расчётов для многослойных областей конкретного вида. Тогда с по¬мощью сопоставительных расчётов течений по этой теории и по анизотропной модели среды можно узнать границы применимости анизотропных моделей слоистых сред.
В соответствии с наметившимися по обзору литературы вопросами в диссертации ставилась следующая цель исследования.
Цель исследования - разработать общие методы решения задач двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных инженерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленности, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиоративных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.
Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницаемостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования.
Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах с конечной переменной толщиной, которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой [41, 43] точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.
Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.
Предложены:
качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром;
качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин;
качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение:
при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородны¬ми;
в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных анизотропных и изотропных средах;
в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;
в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин;
в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций комплексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются следующим:
1) корректностью применения апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления);
2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильтрации О.В. Голубевой [41, 43]; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких круговых конических и параболоидных пластах [102]; методы «изотропизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина [2 - 6], Е.С. Ромма [121], Г.К. Михайлова [90, 91]; теория В.Н. Щелкачёва [229] работы круговой батареи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко [97]) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи;
3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского [102] к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева [112] о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с результатами опытно-промышленных испытаний [31] Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).
Основные положения, выносимые на защиту:
1) . Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моде-лей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости.
2) . Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.
3) . Математические модели фильтрации жидкости в призабойных зонах скважин (ПЗС).
4) . Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.
5) . Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:
1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руководством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.);
2) на семинарах по математической физике и гидродинамике под руководством акад. П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.);
3) на семинарах по прикладной электродинамике под руководством чл.- корр. АН СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (г. Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);
4) на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.);
5) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1999 и 2000 гг);
6) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (г. Ставрополь, СГУ, 2000 г.);
7) на 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», (г. Георгиевск, СевКавГТУ, 2001, 2003 гг.);
8) на 7-ой и 9-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», (Нижний Новгород, НГТУ, 2003);
9) на 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, январь 2004 г.)
10) результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара - М.Г. Сухарев, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 82 научных статьях [18, 45, 53, 55, 56, 94, 126, 127, 136-210], 25 из которых - в центральной научной печати. Во всех совместных статьях автором работы поставлены задачи и получены их аналитические решения, по которым соавторы представляли решения иллюстративных примеров и проводили числовые расчёты.
Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы из 260 наименований, 2-х приложений, 17 таблиц и 69 иллюстраций.
В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелинейной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, получающиеся в результате трояко-периодического повторения в пространстве основного структурного элемента (ячейки) о этой среды, имеющего в диссертационном исследовании вид прямоугольного параллелепипеда.
В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент о которых представляет прямоугольный параллелепипед с весьма малыми по сравнению с характерным размером области фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных течениях вдоль них векторы Vrи VP коллинеарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рассматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат перпендикулярные к боковым граням структурных ячеек о оси симметрии h1,h2и h3. Главные проницаемости Х1, Х2и Х3в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения главные проницаемости Х1, Х2и Х3могут вычисляться в смысле метода 1) локального или 2) предлагаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования слоистых сред в диссертации проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах.
В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В диссертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, векторы нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров проницаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для различных серий законов распределения ГНА.
Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтрации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к каноническому виду и общие методы решения.
В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли промысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.
В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.
В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в местных для ячейки м декартовых координатах. Главные проницаемости находятся из равенства потоков вдоль осей симметрии h15h2, h3в ячейке м соответствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме м, принятом за анизотропную среду с ГНА h1, h2, h3.
Q в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослойной среды, так и с границами dQобласти Q. Они находятся из равенства потоков вдоль слоёв h1и перпендикулярно к ним h2в многослойной области Q соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же области, принятой за анизотропную среду с ГНА h1, h2. Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные ли¬нии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не совпадать с границами dQ расчётной области. В этом случае расчёт главных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике.
В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в призабойных зонах скважин (ПЗС). В частности, влияние на дебит скачка проницаемости в ПЗС. Учёт конструктивных особенностей скважинных фильтров и наличия трещин гидроразрыва требует пространственной детализации картины течения в ПЗС. Изучение некоторых из этих проблем составило содержание четвёртой главы.
В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному. В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойной области G в виде криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изотермической системы координат P, Q.
В заключении перечисляются основные результаты работы.
В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для линейной фильтрации в средах со следующими законами распределения главных направлений анизотропии:
1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распре-деления ГНА.
2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА.
3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА.
4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА.
4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА
4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Oz)
В заключение скажем о принятом в диссертации порядке нумерации параграфов и формул. В работе применяется двойная нумерация параграфов. При ссылке на параграф (например, на 2-ой) из главы (например, 1-ой) пишется §1.2. Аналогично даются ссылки на параграфы приложений. На-пример, запись §П1.2 обозначает 2-ой параграф из приложения 1. Для формул применяется традиционная тройная нумерация (например, (1.2.3) - фор¬мула (3) в §2 из 1-ой главы) в сокращённом, по примеру книги [17], варианте её записи. А именно, в пределах любого параграфа главы или приложения идёт сквозная одинарная нумерация формул. При ссылке внутри текущей главы на формулу (3) из §2 добавляется номер параграфа и в тексте в круг¬лых скобках пишется (2.3). При ссылке в текущей главе на формулу (3) из §2 из другой главы (например, из 1-ой) добавляется номер главы, затем номер параграфа и потом номер формулы и пишется (1.2.3). Все ссылки на форму¬лы из приложений делаются аналогично. Например, запись (П1.2.3) означает ссылку на формулу (3) в §2 из приложения 1.
В диссертации на основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах.
Основные результаты работы, полученные лично автором
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.
Основные результаты работы, полученные лично автором
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.