Проводимые уже более века исследования квазиполей тесно
связаны с исследованиями проективных плоскостей, [1, 2, 3]. Эти
исследования используют с середины прошлого века компьютерные вычисления. Их отражает обзор [4] 2007 года показывающий,
что строение даже известных собственных (или не являющихся
полем) конечных полуполей и квазиполей и их луп ненулевых
элементов изучено мало.
Построение квазиполей тесно связано с построением проективных плоскостей трансляций. В § 2 приводятся основные определения, связанные с проективными плоскостями трансляций, в
том числе определение регулярного множества плоскости, позволяющее сопоставить координатизирующее квазипле. В § 3 детально рассматривается схема построения квазиполей из работы
Оямы [5] и представление регулярного множества.
В § 1 приводятся основные определения, связанные с полуполями и квазиполями. Доказано существование в любом конечном квазиполе Q простого подполя (лемма 1.2). Показано, что
квазиполе Q над ним всегда является односторонним модулем,
а двусторонним — не всегда. На примере почти-поля порядка 25
показывается также, что простое подполе не обязано лежать в
центре квазиполя (§ 4).
В §§ 4 и 5 рассматриваются конечные квазиполя с ассоциативными степенями, а именно ассоциативные квазиполя, называемые почти-полями, и квазиполя Муфанг. Приводятся аналоги
теорем Лагранжа и Силова для конечных луп Муфанг из работ
[6, 7, 8]. С их помощью Чейн [9] перечислил собственные лупы Муфанг порядка < 32. Аналогично, в § 5 мы перечисляем возможные порядки собственных квазиполей Муфанг порядков ≤ 100.
В магистерской диссертации получены следующие результаты.
1. Доказано, что в любом конечном квазиполе существует простое подполе, и над ним правое квазиполе есть левый модуль.
2. Показано, что простое подполе не обязано лежать в центре квазиполя.
3. Доказано, что простое подполе всякого конечного полуполя содержится в центре этого полуполя.
4. Построен пример почти-поля, являющегося односторонним, но
не двусторонним модулем над своим простым подполем.
5. Рассмотрена схема Оямы [5] построения регулярного множества плоскости и координатизирующего ее квазиполя.
6. С помощью известных аналогов теорем Лагранжа и Силова
для луп Муфанг, перечислены возможные порядки собственных
квазиполей Муфанг порядков ≤ 100.
Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при разработке криптографических методов.
Апробация работы. Основные результаты исследования
докладывались в СФУ в 2014 и 2016 годах на научно-технических
конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «МОЛОДЕЖЬ И НАУКА».
