ВВЕДЕНИЕ
1 Основные понятия и предварительные сведения из теории модальных систем
1.1 Синтаксис модальных систем
1.2 Семантика Крипке для модальных систем и семантические понятия
1.3 Правила вывода в модальных системах
2 Решение поставленной задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Правила, которые можно добавить к постулированным правилам вы-вода так, чтобы это не расширило множество теорем данной логики, называются допустимыми. Допустимые правила существенно ускоряют и упрощают вывод теорем. Поэтому обладание как можно большим количеством допустимых правил очень желательно. В связи с этим возникает проблема распознавания допустимых правил (Фридман). В классической пропозициональной логике таковая проблема решается тривиально — допустимыми являются только доказуемые правила (их ещё называют производными), то есть правила, заключение которых может быть выведено из посылок с помощью теорем и постулированных правил вывода. Логику называют структурно пол¬ной, если любое её допустимое правило является производным. Если логика допускает тот или иной вариант теоремы дедукции, то определение производности правила в логике может быть сведено к определению выводимости в ней некоторой специальной формулы. Таким образом, логика структур¬но полная, если множества допустимых и производных правил совпадают. Структурно полные логики имеют очень сильную дедуктивную систему и являются в некотором смысле уникальными. Они являются логиками "в себе окончательно и совершенно полными, поскольку они содержат в себе все необходимые правила. Однако, свойство структурной полноты не является инвариантом данной логики, а зависит от выбора аксиоматической системы и поэтому оно очень чувствительно в этом отношении.
Проблема Фридмана для нестандартных логик была решена В.В.Рыбаковым в середине 80-х годов (см. [1]). На основе разработанной им техники была доказана разрешимость по допустимости многих самых востребованных логик: K4, S4, Gl, Grz и других. В нестандартных логиках были обнаружены допустимые, но не производные правила вывода. Например. таково следую¬щее правило для интуиционистской логики Int (Р.Харроп,1960 г.):
-A — (B V C)
r := . (—A —— B) V (—A —— C)
Причина структурной полноты или неполноты была обнаружена Рыбаковым. Она заключается в несовпадении многообразия, соответствующего логике А с квазимногообразием, порождённым свободной алгеброй счётного ранга из этого многообразия, то есть:
Var(A) = (F (A))Q.
Структурно полные логики — это логики, которые нельзя расширить, добавив новые правила вывода, сохраняя при этом множество теорем. Но для многих востребованных классов логик множество правил вывода фиксируется, а аксиоматическая система выбирается с помощью изменения множества аксиом. Поэтому для таких классов логик понятие структурной полноты значимо и очень желательно. Как же оценить это свойство структурной пол-ноты? Обладание свойством структурной полноты — это преимущество или недостаток? Наследуется ли структурная полнота предтабличных логик в их расширениях?
Особый интерес представляет описание классов структурно-полных логик над S4. Мы остановим свое внимание на предтабличных модальных логиках PT1 и PT5 и их табличных расширениях, и исследуем, обладают ли они свойством структурной полноты.
Наше исследование показало, что предтабличная модальная логика PT1 и все ее расширения структурно полны, а логика PT5 и все ее расширения, за исключением a( PC) и Forkне являются структурно полными. В качестве следствия мы установили структурную полноту суперинтуиционистской логики LC и всех ее расширений.
