Введение 3
1 Численное решение системы уравнений модели поискового поведения
хищника. Прямая задача 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Разностная аппроксимация 6
1.3 Алгоритм решения 7
1.4 Результаты вычислений 9
2 Численное решение обратной задачи с неизвестным коэффициентом m.... 11
2.1 Постановка задачи 11
2.2 Разностная аппроксимация 11
2.3 Алгоритм решения задачи 12
2.4 Результаты вычислений 13
Заключение 17
Список использованных источников 18
Приложения 19
Приложение А 19
Приложение Б
За последние годы количество аналитических качественных исследований в математической экологии ни в коей мере не уменьшилось, несмотря на всевозрастающие возможности современной вычислительной техники, которая позволяет разрабатывать и реализовывать сложнейшие имитационные модели. Это связано с рядом причин. В частности, при построении той или иной модели мы постоянно находимся в условиях острой нехватки информации об исследуемом объекте: экспериментальные данные либо измерены с некоторой неточностью, либо в экспериментах измерены не те параметры, что нужны в модели. Все это приводит к тому, что мы не можем построить имитационную модель лучше, чем те данные, на которых она основывается. Поэтому аналитические модели, допускающие некоторые упрощения внутренней структуры объекта, могут оказаться даже точнее и лучше тех данных, на которых они основаны, так как в основном используют лишь их средние статистические показатели[1].
Предлагаемый способ описания поискового поведения хищника основан на использовании систем дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция - адвекция - диффузия. Модель хищник-жертва типа реакция - адвекция - диффузия, основанная на гипотезе пропорциональности ускорения перемещения хищников градиенту плотности жертв, позволяет получать пространственно-неоднородные режимы даже для случая отсутствия воспроизводства и смертности хищников. Иными словами, такая модель способна описать пятнистость распределения сообщества, вызываемую пространственным поведением хищника (Тютюнов и др., 2001), а не демографическими процессами[2]. Высокая пространственная активность хищников оказывается фактором, позволяющим хищнику адаптироваться к дефициту жертв. Это модель является обобщением индивидуального поведения на популяционный уровень. В системе присутствует коэффициент трофотаксиса, характеризующий движение популяции хищника в направлении градиента пространственного распределения численности популяции жертв. Если к = 0, т.е. процесс хищничества является случайным, то однородное равновесие устойчиво при любых допустимых значениях параметров. Когда процесс хищничества включает в себя направленный поиск, т.е. к > 0, для любого набора параметров существует такое критическое значение поисковой активности к*, так что условие устойчивости не выполняется и возникает потеря равновесия[2].
Так как не всегда есть возможность экспериментально провести необходимые замеры значения параметров математической модели таких, как начальные условия, граничные условия и другие коэффициенты, возникает проблема нахождения этих коэффициентов. Существуют различные методы определения значения различных параметров математической модели, которые по каким-либо причинам могут быть неизвестны. Один из методов определения значения этих параметров, это решение обратной задачи. Под обратными задачами мы будем понимать задачи, в которых необходимо определить не только основные неизвестные, но и некоторые недостающие параметры или условия.
При решении прямых задач математической физики, исследователи стремятся найти функции, которые описывают различные физические явления, например, распространения различных примесей в жидкостях, распространения тепла в различных веществах и так далее. В ходе решения подразумевается, что требующиеся входные данные для математической модели являются известными. На практике это редко достижимо и различные значения параметров модели неизвестны. В следствии чего возникает необходимость ставить и решать обратные задачи. В большинстве случаем эти задачи некорректны, что означает нарушение хотя бы одного из свойств корректности (условие существования, условие единственности, условие устойчивости решения по отношению к возмущениям во входных данных) [3].
В проделанной работе численно решается задача для математической модели поискового поведения хищника. Так же осуществляется постановка обратной задачи для рассматриваемой математической модели и её численное решение. И проводятся вычислительные эксперименты по исследованию поведения решения относительно возмущений во входных данных, а именно в условии переопределения.
Цель работы - численное решение прямой и обратной задачи для математической модели системы хищник-жертва. Для выполнения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
- численное решение прямой задачи
- разработка алгоритма и численное решение обратной задачи
- разработка программы для реализации численных методов при помощи VisualStudio 2017
-проведение вычислительных экспериментов
В работе получены следующие результаты:
1. Предложен и реализован алгоритм численного решения прямой задачи
2. Разработан и реализован алгоритм численного решения обратной задачи
3. Разработана программа в среде разработки VisualStudio 2017 на языке C++
4. Проведены вычислительные эксперименты. Эксперименты показали, что с уменьшением шагов сетки численное решение сходится к точному.
