Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков
уже несколько тысячелетий. Однако лишь в XVI веке Н. Тарталья, Д. Кардано и Л. Феррари нашли решения уравнений третьей и четвертой степеней
в радикалах. Надежду решить в радикалах уравнения более высоких степеней развеяли Н. Абель и Э. Галуа в начале XIX века, доказав невозможность
найти формулы, выражающие при помощи радикалов решения любого уравнения степени n > 5 через его коэффициенты. Дальнейшие продвижения в
теории алгебраических уравнений осуществлялись методами трансцендентного анализа. Идею аналитического решения предложил Ф. Виет. Воплощать
её в жизнь довелось целой плеяде математиков: Ш. Эрмиту, Л. Кронекеру,
Я. Меллину и др.
В современной математике существует ряд фундаментальных проблем,
вокруг которых сосредоточены задачи, связанные с исследованием свойств
алгебраических функций, о чем свидетельствуют работы [1], [2], [6], [8], [9],
[10].
Бакалаврская работа посвящена методу нахождения кратных решений
систем алгебраических уравнений. Кратные корни системы уравнений (в частности, одного уравнения) характеризуются тем, что в них система обращается в нуль вместе со своим якобианом (или производной, в случае одного
уравнения). Другими словами, корень системы может быть кратным тогда и
только тогда, когда коэффициенты системы принадлежат множеству нулей
её дискриминанта. В недавней работе [1] доказано, что на некоторых стратах
дискриминантного множества кратные корни общего алгебраического уравнения выражаются рациональным образом через коэффициенты уравнения.
Аналогичные выражения имеют место быть и для кратных решений систем
n полиномиальных уравнений от n неизвестных.
Цель работы - изучить метод нахождения рациональных выражений
4для кратных решений алгебраических уравнений и систем. Указанный метод основан на вычислении результантов многочлена и его производных, в
частности, дискриминанта уравнения или системы. Поэтому для достижения
обозначенной цели необходимо:
- уметь вычислять результант двух полиномов,
- знать определение дискриминанта алгебраического уравнения и системы алгебраических уравнений,
- иметь представление о стратификации дискриминантного множества,
- знать, понимать и уметь применять на практике теоремы о параметризации дискриминантного множества уравнения (системы уравнений),
- уметь применять метод нахождения кратных решений алгебраических
уравнений и систем, изложенный в работе [1].
Бакалаврская работа состоит из трех разделов. Разделы 1 и 2 содержат
классические факты теории алгебраических уравнений, связанные с решением уравнений в радикалах [3]. В Разделе 3 изложен метод нахождения кратных решений алгебраических уравнений и систем, основанный на результатах
современных работ [1], [2], [4], [12]. Все изложенные в работе методы исследования решений уравнений и систем сопровождены примерами. Вычисления
проведены с использованием системы компьютерной алгебры MAPLE 12.
В бакалаврской работе изучен метод нахождения кратных решений алгебраических уравнений и систем, основанный на вычислении результантов
многочлена и его производных (дискриминанта уравнения или системы). С
целью освоения указанного метода изучены следующие аспекты теории алгебраических уравнений:
- дискриминантное множество системы полиномов,
- стратификация дискриминантного множества алгебраического уравнения,
- параметризация дискриминантного множества уравнения и системы
уравнений.
Все изложенные в работе методы исследования решений уравнений и
систем сопровождены примерами.
