Известно, что ассоциативное кольцо A превращается в кольцо Ли A(—), если, сохраняя сложение, введем новое умножение [a, b] := ab _ ba (коммутирование), [1, § V.9]. Сопоставим кольцо A(_) каждому (не обязательно ассоциативному) кольцу A. Произвольная алгебра A названа в [5] обертывающей алгебры Ли L, если A(_) и L изоморфны. А. Альберт (1948) использовал термин Ли допустимой алгебры.
Нильтреугольную подалгебру NФ(K) выделяют в алгебре Шевалле над полем K с базой Шевалле er (r е Ф), • • • , [2, § 4.2], где Ф - произвольная неразложимая система корней. Для алгебры Ли NФ(K) в работе взаимосвязано исследуются вопрос построения ее обертывающей алгебры и задача перечисления ее стандартных идеалов, записанная в 2001 году для классических типов как проблема 1 в обзоре Г.П. Егорычева и В.М. Левчука (ACM SIGSAM Bulletin, 2001, no. 2, p. 20-34).
Алгебра NT(n,K) нильтреугольных n x n матриц над K представляет ассоциативную обертывающую алгебру алгебры Ли NФ^) типа An_i. В предложении 1.1 (§ 1) построены обертывающие алгебры R всех алгебр Ли NФ^). Они зависят от выбора знаков структурных констант базиса Шевалле и, для Ф типа = An, неассоциативны. Алгебру R называют стандартной, если все ее идеалы стандартны. Показывается, что стандартная обертывающая алгебра R существует для всех типов алгебр Ли NФ(K), кроме типа Dn (n > 3) и En (n = 6, 7,8). Такой выбор алгебры R = RAn(K),RBn(K) и RCn(K) соответственно типа An, Bn и Cn обеспечивает их известное специальное матричное представление. См. § 1.
Естественно возникают следующие две задачи.
(A) Найти число всех стандартных идеалов алгебры Ли NФ (K) над конечным полем K.
(B) Выявить все обертывающие алгебры R алгебры Ли NФ(K) классического типа, которые для типа = Dn стандартны, а для типа Dn являются подалгеброй какой-либо стандартной алгебры R типа Bn.
Решению задачи (B) для классических типов посвящены теорема 1.1 (тип An), теорема 1.7 (типы Bn и Cn) и ее следствие. Известно, что все обертывающие алгебры R типа G2 стандартны.
Все стандартные обертывающие алгебры R оставшегося типа F4 дает теорема 2.2 в § 2.
В 2015 году В. П. Кривоколеско и В. М. Левчук [14] исследовали проблему 1 из [13] в частном случае — для типа An — с использованием комбинаторного выражения числа V(m,t,q) всех собственных t-мерных подпространств в пространстве Km при K = GF(q).
Используя методы интегрального представления комбинаторных сумм, Г. П. Егорычев [16] нашел формулу для числа V(m, t, q) в замкнутом виде. Там же он отметил задачу об алгебраически-комбинаторном истолковании (прямом доказательстве) этих формул. В § 3 задачу решает лемма 3.5, приводящая также к некоторому упрощению формулы числа V(m, t, q).
Найденная недавно теорема Г. П. Егорычева, В. М. Левчука и автора (анонсирована в [5]) дает полное решение проблемы 1 из [13], т.е. задачи (A) для классических типов. Теорема 3.2 решает аналог проблемы для исключительных типов, завершая решение задачи (A).
Решение проблемы 1 из [13] для типов An, Bn и Cn, очевидно, равносильно перечислению всех идеалов обертывающих алгебр RAn(K), RBn(K) и RCn(K). Теоремы 4.2 и 5.1 завершают нахождение числа всех идеалов выделенных в задаче (B) обертывающих алгебр.
В статье используем стандартные обозначения [2], [3]: Ф+ — система положительных корней, П — ее база, р — максимальный в Ф+ корень, ht(r) — высота корня г. Число Кокстера h = ^Ф) системы Ф равно ht(р) + 1.
Для алгебры Ли ЖФ(K) в работе взаимосвязано исследуются вопрос построения ее обертывающей алгебры и задача перечисления ее стандартных идеалов. Теорема 2.2 в § 2 дает описание всех стандартных обертывающих алгебр R типа F4 и, тем самым, завершает решение задачи (B).
В § 3 задачу из [16] об алгебраически-комбинаторном истолковании (прямом доказательстве) формул (6) и (7) решает лемма 3.5, приводящая также к некоторому упрощению формулы числа V(m, t,q). С учетом леммы 3.5 окончательная формулировка теоремы 3.1 принимает следующий вид.
