Тема: Сравнение алгоритмов декомпозиции временных процессов для предварительной обработки измерений

Нелинейные динамические системы используются при моделировании временных процессов в различных областях:
- анализ и прогнозирование временных рядов в экономике;
- диагностика состояния здоровья на основе физиологических сигналов, отражающие деятельность организма человека;
- обработка измерений и выявление разладок в технических системах;
- защита данных в информационных системах.
Независимо от области применения основной вычислительной задачей является оценивание параметров модели по экспериментальным данным [46]. Этапы построения модели можно увидеть на рисунке 1.
Так как точность оценки зависит от уровня шума, то результат можно улучшить с помощью предварительной фильтрации измерений.
В данной работе рассматривается этап предварительной обработки измерений в задаче оценивания параметров нелинейной модели. Исходные данные являются реализацией систем Лоренца, Чена и Лу, а измерения - результатом добавления аддитивных ошибок. Предварительная обработка измерений основана на применении сингулярного спектрального анализа и декомпозиции эмпирических мод, которые являются распро страненными подходами в анализе временных рядов [34, 36, 37]. Алгоритмы позволяют выделять составляющие с различной динамикой (тренд, периодические колебания, ошибки измерения), и, таким образом, могут быть использованы для фильтрации измерений.
Так как сингулярный спектральный анализ является методом обработки одномерных временных рядов, то алгоритм применяется независимо для каждой серии yik, к = 1,2,..., N измерений. Результатом алгоритма является разложение временного ряда на аддитивные составляющие. Предполагается, что отфильтрованные данные х^, к = 1,2,...,N являются первой составляющей, которой соответствует наибольшее сингулярное значение траекторной матрицы. Единственный параметр алгоритма является длина окна L, определяющая размерность траекторной матрицы и уровень сглаживания.
Алгоритм EMD аналогично может быть применен для одномерных временных процессов. При возникновении таких задач как очистка зашумленных измерений, выделение тенденций, анализ степеней регулярности и хаотичности сигналов, алгоритм декомпозиции на эмпирические моды может стать хорошим выбором. Из названия алгоритма можно понять, что эмпирические моды представляют собой те составляющие, на которые осуще ствля- ется декомпозиция исходных данных [20]. В основе алгоритма эмпирической модовой декомпозиции лежит построение гладких огибающих по максимумам и минимумам последовательности и дальнейшее вычитание среднего этих огибающих из исходной последовательности. Для этого производится поиск максимумов и минимумов и методом сплайн аппроксимации этих точек определяются верхняя и нижняя огибающие. При применение алгоритма EMD заранее известно число составляющих разложений, оно равно log2 N, где N - число измерений. Причём, в отличии от алгоритма SSA, первые выделяемые составляющие являются не низкочастотными колебаниями (трендом), а процессами, близкие к ошибкам. В данном случае отфильтрованным сигналом будет являться сумма нескольких компонент разложения, не являющихся близкими к ошибкам измерений. В качестве параметра алгоритма рассматривается число P - номер компоненты, с которой начинается суммирование.
Целью данной работы является сравнение результатов предварительной обработки измерений с помощью алгоритмов сингулярного спектрального анализа (SSA) и декомпозиции эмпирических мод (EMD). Для достижения поставленной цели в работе решались следующие основные задач:
- провести литературный обзор подходов к построению математической модели;
- провести анализ процедуры построения модели с целью получения информации о взаимосвязи предварительной обработки данных и качества модели;
- провести обзор существующих результатов и модификаций по алгоритмам SSA и EMD для уточнения актуальности выбранной темы;
- разработать программную реализацию алгоритмов и программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов;
- сравнить результаты работы алгоритмов декомпозиции при подборе оптимального значения параметра с целью минимизации ошибки на основе модельных данных.
Результатом вычислительных экспериментов является зависимость ошибки, которая определяется как разница между исходными и отфильтрованными данными, от параметра алгоритма.
Купить

Предварительная обработка данных является одним из этапов построения математической модели временного ряда. В результате предварительной обработки может быть уменьшен уровень шума, что приведёт к точности вычисления параметров математической модели. Адекватность математической модели влияет на качество анализа и прогнозирования временного ряда.
Предполагается, что отфильтрованные данные являются первой составляющей разложения для алгоритма SSA. При применение алгоритма EMD заранее известно число составляющих разложений, оно равно log2 N, где N - число измерений. Причём, в отличии от алгоритма SSA, первые выделяемые составляющие являются не низкочастотными колебаниями (трендом), а процессами, близкие к ошибкам. В данном случае отфильтрованным сигналом будет являться сумма нескольких компонент разложения, не являющихся близкими к шуму. В качестве параметра алгоритма рассматривается число P - номер компоненты, с которой начинается суммирование. Показано, что каждая зависимость имеет единственную точку минимума.
Кроме того, SSA и EMD имеют следующие преимущества:
- в выбранных алгоритмах не предполагается, что составляющие разложений должны принадлежать определенному классу временных процессов;
- составляющими разложения могут быть временные процессы с различной динамикой, например тренд, периодические компоненты и шум;
- рассмотренные алгоритма можно применять для фильтрации коротких временных рядов (N < 100).
В течение всей работы были выполнены следующие задачи:
- был проведен литературный обзор подходов к построению математической модели;
- проанализирована процедура оценивания параметров модели;
- были рассмотрены существующие результаты по алгоритмам декомпозиции SSA и EMD;
- была произведена программная реализация алгоритмов и разработка программного комплекса для проведения вычислительных экспериментов;
- произведено сравнение результатов работы алгоритмов декомпозиции на модельных данных.
Купить