Введение 5
1 Методы и способы решения диофантовых уравнений 9
1.1 История развития теории диофантовых уравнений 9
1.2 Решение диофантовых уравнений с помощью перебора вариантов
и метода остатков 14
1.3 Применение алгоритма Евклида при решении диофантовых
уравнений 17
1.4 Решение диофантовых уравнений с помощью цепных
дробей 20
1.5 Использование способа рассеивания (размельчения) для решения
диофантовых уравнений 24
1.6 Методы решения диофантовых уравнений высших
степеней 28
2 Применение диофантовых уравнений при решении
заданий ЕГЭ по математике и олимпиадных задач 33
2.1 Решение задач в целых числах при подготовке к ЕГЭ по
математике 33
2.2 Подготовка к решению олимиадных задач в целых числах 40
3 Элективный курс «Диофантовы уравнения» 46
3.1 Общие положения об элективных курсах 46
3.2 Программа элективного курса «Диофантовы уравнения» 50
Заключение 56
Список используемых источников 58
Приложение
Задачи, сводящиеся к неопределенным или диофантовым уравнениям, встречаются в клинописных текстах Вавилона, написанных более чем за 2000 лет до нашей эры.
Даже то немногое, что мы знаем об античном ученом Диофанте, представляет собой одну из увлекательнейших загадок в математической истории.
В собрании античных и средневековых греческих эпиграмм под названием Палатинская антология содержится стихотворение - загадка о жизни Диофанта, решив которую нетрудно подсчитать, что он прожил 84 года. По научным трудам французского исследователя Поля Таннери можно определить примерный промежуток времени, в который жил Диофант - середина III века нашей эры.
Главный след, который Диофант оставил в истории - это его произведение «Арифметика». Оно представляет собой сборник задач, большая часть которых эквивалентна неопределённым уравнениям. Каждая задача сопровождается решением. Многие задачи имеют длинную предысторию: некоторые из них восходят к школе Пифагора, другие - к древнему Вавилону. Однако до Диофанта эти задачи трактовались чисто арифметически. Диофант привнес в решение задач новые методы, которые ранее не использовались.
В «Арифметике» Диофант систематизировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных алгебраических уравнений в целых числах. С тех пор эти уравнения стали называться диофантовыми. «Арифметика» Диофанта легла в основу современной теории чисел.
Актуальность исследования обусловлена тем, что в последнее время диофантовы уравнения различного вида стали одним из источников формирования базы задач типа С6 Единого Государственного Экзамена по математике Российской Федерации (до 2014 года включительно), а также
Главным отличием таких задач от остальных задач ЕГЭ является их явно выраженный нестандартный характер - построение решения может потребовать от обучающихся нетривиальных идей и методов. Поэтому смыслом включения таких задач в состав контрольно - измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся.
Также уравнения в целых числах присутствуют в качестве заданий практически на каждой олимпиаде школьников по математике. Существуют различные методы их решения, которые не входят в школьную программу по математике, но их полезно знать участникам олимпиад.
Цель исследования: рассмотреть методику обучения решению
диофантовых уравнений.
Объектом исследования является процесс обучения математике в 8 и 11 классах.
Предмет исследования - методика обучения решению диофантовых уравнений (методы и способы решения уравнений в целых числах).
Исходя из поставленной цели, можно сформулировать следующие
задачи:
1. раскрыть сущность понятия диофантовых уравнений;
2. рассмотреть методику обучения решению диофантовых уравнений (методы и способы решения задач в целых числах);
3. разработать дидактические материалы, используемые при решении заданий ЕГЭ по математике и олимпиадных задач;
4. разработать элективный курс «Диофантовы уравнения» для учащихся 8 - 9 и 10 - 11 классов.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:
1. анализ периодической и учебно-методической литературы;
2. обобщение педагогического опыта учителей;
3. анализ контрольно - измерительных материалов ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что ученику для успешного участия в математических олимпиадах и сдачи ЕГЭ необходимо знать и теорию, и методику решения диофантовых уравнений.
Практическая значимость выпускной квалификационной работы состоит в том, что подобранные нами задания учащиеся могут использовать при самостоятельной подготовке к сдаче ЕГЭ по математике и олимпиадам, а разработанный элективный курс может использоваться для предпрофильной подготовки учащихся по математике.
Структура работы обусловлена целью и задачами исследования.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (54), приложения.
Введение раскрывает актуальность, определяет объект, предмет, цель, задачи, методы исследования, теоретическую и практическую значимость работы.
В первой главе рассматриваются понятие диофантовых уравнений, методы и способы их решения. Во второй главе раскрывается применение диофантовых уравнений при решении заданий ЕГЭ по математике и олимпиадных задач. В третьей главе представлен элективный курс «Диофантовы уравнения» для учащихся 8-9и 10-11 классов. В приложении представлены задания для самостоятельной работы учащихся, которые можно использовать при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике и олимпиадам.
В заключении подводятся итоги исследования, формируются окончательные выводы по рассматриваемой теме.
По теме исследования опубликованы следующие статьи:
1. Яричина, В.С. Диофантовы уравнения: материалы
международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае:
фундаментальные проблемы науки и образовании» / В.С. Яричина. - Барнаул : издательство Алтайского университета, 2014. - С. 1843-1845.
2. Яричина, В.С. Применение диофантовых уравнений при решении
олимпиадных задач и задач С6 в ЕГЭ по математике: материалы VII Международной научно-методической конференции «Преподавание
естественных наук (биологии, физики, химии), математики и информатики в вузе и школе» / В.С. Яричина. - Томск : издательство ФГБОУ ВПО ТГПУ, 2014. - С.59-63.
3. Яричина, В.С. Элективный курс «Диофантовы уравнения» как
предпрофильная подготовка учащихся 8-9 классов: материалы
Международной научно-практической конференции «Концепции фундаментальных и прикладных научных исследований» / В.С. Яричина. - Казань : НИЦ АЭТЕРНА, 2017. - Т.4, С. 13-15.
Проведя анализ периодической и учебно - методической литературы, мы пришли к выводу, что в настоящее время существуют различные способы решения диофантовых уравнений, алгоритмы которых несложно запомнить.
При решении диофантовых уравнений первой степени чаще всего используют следующиее методы и способы:
• Осуществление перебора вариантов;
• Применение метода остатков;
• Применение способа рассеивания (измельчения).
А для решения диофантовых уравнений высших степеней существуют другие методы, а именно: применение метода разложения на множители, метод оценки, решение уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных.
Изучив контрольно - измерительные материалы ЕГЭ по математике, сборники заданий для подготовки к экзамену следующих авторов: Л. Д. Лаппо, А. Я. Савельев, Ю. В. Садовничий, А. В. Шевкин, И. В. Ященко и др., мы обнаружили, что уравнения в целых числах часто встречаются в заданиях ЕГЭ, при решении которых учащимся необходимо показать полноту своих знаний и умение применять на практике теорию по теме «Диофантовы уравнения». Также, задания, сводящиеся к решению неопределенных уравнений, часто встречаются на различных школьных олимпиадах по математике.
Следует отметить, что исследование алгоритмов решения диофантовых уравнений может помочь при решении такого рода заданий, которые оцениваются в значительное количество баллов.
В связи с тем, что многие практические задачи сводятся к решению
уравнений с двумя переменными, а диофантовы уравнения и методы их
решения не изучаются в школьном курсе математики, поэтому нами был
разработан элективный курс «Диофантовы уравнения» для учащихся 8 - 9 и
54
10 - 11 классов. Цель курса - расширение и систематизация знаний по теме «Решение диофантовых уравнений». Он может использоваться учителями при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
В приложении представлены задания, подобранные нами, для самостоятельной работы учащихся, которые можно использовать при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
