Помощь студентам в учебе
Математическое моделирование неустойчивых режимов орегонатора
|
АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕАКЦИИ БЕЛОУСОВА-ЖАБОТИНСКОГО 7
2 МЕХАНИЗМ РЕАКЦИИ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 11
2.1 Модель Жаботинского 13
2.2 Модель Филда-Нойеса-Кереша 14
2.3 Модель реакции Белоусова-Жаботинского на основе модели популяционной
динамики 15
3 ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ТИПА «ОРЕГОНАТОР» 17
3.1 Стационарное состояние системы 17
3.2 Стационарное состояние системы при различных внешних воздействиях ... 21
3.3 Поиск критического значения P и его влияние на стационарное состояние
системы 24
3.4 Моделирование колебательных режимов орегонатора 28
3.5 Моделирование колебательных режимов орегонатора при внешнем
возмущении 31
4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 33
4.1 Модель орегонатора с учетом диффузии 33
4.2 Исследование влияния коэффициентов диффузии на решение
дисперсионного уравнения 38
4.3 Исследование влияния внешнего воздействия на модель орегонатора с
учетом диффузии 42
4.4 Режимы диффузионной неустойчивости орегонатора 45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 55
ПРИЛОЖЕНИЯ 60.
ВВЕДЕНИЕ 3
1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕАКЦИИ БЕЛОУСОВА-ЖАБОТИНСКОГО 7
2 МЕХАНИЗМ РЕАКЦИИ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 11
2.1 Модель Жаботинского 13
2.2 Модель Филда-Нойеса-Кереша 14
2.3 Модель реакции Белоусова-Жаботинского на основе модели популяционной
динамики 15
3 ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ТИПА «ОРЕГОНАТОР» 17
3.1 Стационарное состояние системы 17
3.2 Стационарное состояние системы при различных внешних воздействиях ... 21
3.3 Поиск критического значения P и его влияние на стационарное состояние
системы 24
3.4 Моделирование колебательных режимов орегонатора 28
3.5 Моделирование колебательных режимов орегонатора при внешнем
возмущении 31
4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 33
4.1 Модель орегонатора с учетом диффузии 33
4.2 Исследование влияния коэффициентов диффузии на решение
дисперсионного уравнения 38
4.3 Исследование влияния внешнего воздействия на модель орегонатора с
учетом диффузии 42
4.4 Режимы диффузионной неустойчивости орегонатора 45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 55
ПРИЛОЖЕНИЯ 60.
Исследование активных самоорганизующихся сред привело к множеству научных открытий в области химических, биохимических и экологических систем. Эти достижения стали возможны благодаря проведению аналогии между закономерностями автоволновых процессов и синергетической природы сложных систем. Полученные в результате химического эксперимента Белоусова данные позволили создать математические модели, описывающие такие процессы, как работа лазеров, периодические химические реакции, распространение нервного импульса, свертывание крови, популяционная динамика [1-3].
Первые автоволны были экспериментально получены Б.П. Белоусовым в ходе реакции окисления лимонной кислоты броматом [4]. В настоящее время данной колебательной химической реакции посвящен целый ряд научных публикаций различной тематики: от описания области применения до построения сложных химических и математических моделей.
Фундаментальной работой по математическому моделированию концентрационных автоколебаний является учебник А.М. Жаботинского [5], в котором рассмотрен и проанализирован ряд конкретных моделей, представленных в виде системы простых дифференциальных уравнений. Разработанная математическая модель [6] имеет существенный недостаток: одним из основных ее компонентов является автокатализатор, который не соответствует ни одному реальному химическому соединению.
Более простая и физически обоснованная модель была разработана учёными из штата Орегон Р. Филдом, Е. Керешом и Р. Нойесом [7]. В работе [8] механизм реакции Белоусова-Жаботинского был сокращен до 11 стадий, и получил название ФКН-механизма. Разработанная математическая модель получила широкое распространение благодаря адекватному отражению колебаний, полученных практически.
Интересна биологическая интерпретация механизма рассматриваемой химической реакции. Ряд работ [9-10] трактует реакцию Белоусова как своеобразную задачу хищник-жертва [11], в которой роль «угнетающего» вещества играет бромид.
Последние научные работы в области изучения реакции Белоусова- Жаботинского направлены на уточнение кинетических констант модели «Орегонатор» [12-13], численное моделирование ее стационарного состояния и колебательных режимов [14].
Актуальность изучения автоволн обусловлена их аналогией с множеством сложных систем, экспериментальное исследование которых подразумевает большие денежные и временные затраты. Простота выявления закономерностей автоволновых процессов на примере удобной для экспериментальных исследований среде объясняет повышенный интерес к изучению математической модели реакции Белоусова-Жаботинского.
Также актуальной остается тема исследования влияния внешнего воздействия на активные среды [15-16]. Это связано с существованием аналогии между химическими процессами, протекающими в живых организмах, и автоколебательными реакциями. Данная схожесть позволяет изучать влияние света ультрафиолетового диапазона и других факторов на сокращение клеток сердечной ткани, нервных клеток, мышц и других важных тканей. Большой вклад в изучение вопроса значимости автоволновых процессов в биофизике внесли ученые из Англии и Японии [17-19].
Известно, что обязательным условием возникновения автоколебательных и автоволновых процессов, является наличие диффузионной неустойчивости [2021]. Она связана с различной плотностью реагентов, вследствие чего система находится в состоянии, далеком от равновесия. Выравнивание разности плотностей происходит за счет передвижения отдельных частей жидкости. Следовательно, для возникновения диффузионной неустойчивости необходимы различные коэффициенты диффузии реагентов.
Существует множество научных работ [22-24], посвященных связи между образованием неоднородных структур и явлениями в биологии. Они часто встречаются у живых организмов, например, полосы на коже зебры, пятна у леопарда, шестиугольники у жирафа [25]. Предугадать, какая именно структура возникнет в результате неустойчивости можно лишь при помощи решения нелинейных уравнений.
Целью данной работы является численное исследование неустойчивых режимов модели Филда-Нойеса-Кереша, известной как модель орегонатора.
В ходе работы было произведено численное моделирование трех состояний системы:
1. Стационарное состояние системы для различных значений стехиометрического коэффициента с учетом внешнего воздействия и без него.
2. Колебательные режимы орегонатора для различных значений стехиометрического коэффициента при наличии УФ-излучения и при его отсутствии. Колебательный режим иллюстрирует динамику изменения концентраций основных компонентов реакции во времени.
3. Исследование орегонатора с учетом диффузии. В работе было изучено влияние значений коэффициентов диффузии на решение дисперсионного уравнения, влияние внешнего воздействия на скорость роста возмущения колебаний, определены различные режимы диффузионной неустойчивости.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Обзор литературы, описывающей существующие математические модели реакции Белоусова-Жаботинского и механизм протекания реакции. Изучение влияния диффузии реагентов на состояние системы.
2. Разработка и реализация алгоритма, предназначенного для решения системы уравнений, описывающей стационарное состояние исследуемой реакции. Расчет концентраций реагентов при различных значениях параметров системы.
3. Разработка и реализация алгоритма, предназначенного для решения системы дифференциальных уравнений, описывающей колебательный режим орегонатора. Расчет динамики изменения концентраций реагентов.
4. Разработка и реализация алгоритма, осуществляющего решение дисперсионного уравнения. Проведение численных экспериментов для различных значений коэффициентов диффузии.
Первые автоволны были экспериментально получены Б.П. Белоусовым в ходе реакции окисления лимонной кислоты броматом [4]. В настоящее время данной колебательной химической реакции посвящен целый ряд научных публикаций различной тематики: от описания области применения до построения сложных химических и математических моделей.
Фундаментальной работой по математическому моделированию концентрационных автоколебаний является учебник А.М. Жаботинского [5], в котором рассмотрен и проанализирован ряд конкретных моделей, представленных в виде системы простых дифференциальных уравнений. Разработанная математическая модель [6] имеет существенный недостаток: одним из основных ее компонентов является автокатализатор, который не соответствует ни одному реальному химическому соединению.
Более простая и физически обоснованная модель была разработана учёными из штата Орегон Р. Филдом, Е. Керешом и Р. Нойесом [7]. В работе [8] механизм реакции Белоусова-Жаботинского был сокращен до 11 стадий, и получил название ФКН-механизма. Разработанная математическая модель получила широкое распространение благодаря адекватному отражению колебаний, полученных практически.
Интересна биологическая интерпретация механизма рассматриваемой химической реакции. Ряд работ [9-10] трактует реакцию Белоусова как своеобразную задачу хищник-жертва [11], в которой роль «угнетающего» вещества играет бромид.
Последние научные работы в области изучения реакции Белоусова- Жаботинского направлены на уточнение кинетических констант модели «Орегонатор» [12-13], численное моделирование ее стационарного состояния и колебательных режимов [14].
Актуальность изучения автоволн обусловлена их аналогией с множеством сложных систем, экспериментальное исследование которых подразумевает большие денежные и временные затраты. Простота выявления закономерностей автоволновых процессов на примере удобной для экспериментальных исследований среде объясняет повышенный интерес к изучению математической модели реакции Белоусова-Жаботинского.
Также актуальной остается тема исследования влияния внешнего воздействия на активные среды [15-16]. Это связано с существованием аналогии между химическими процессами, протекающими в живых организмах, и автоколебательными реакциями. Данная схожесть позволяет изучать влияние света ультрафиолетового диапазона и других факторов на сокращение клеток сердечной ткани, нервных клеток, мышц и других важных тканей. Большой вклад в изучение вопроса значимости автоволновых процессов в биофизике внесли ученые из Англии и Японии [17-19].
Известно, что обязательным условием возникновения автоколебательных и автоволновых процессов, является наличие диффузионной неустойчивости [2021]. Она связана с различной плотностью реагентов, вследствие чего система находится в состоянии, далеком от равновесия. Выравнивание разности плотностей происходит за счет передвижения отдельных частей жидкости. Следовательно, для возникновения диффузионной неустойчивости необходимы различные коэффициенты диффузии реагентов.
Существует множество научных работ [22-24], посвященных связи между образованием неоднородных структур и явлениями в биологии. Они часто встречаются у живых организмов, например, полосы на коже зебры, пятна у леопарда, шестиугольники у жирафа [25]. Предугадать, какая именно структура возникнет в результате неустойчивости можно лишь при помощи решения нелинейных уравнений.
Целью данной работы является численное исследование неустойчивых режимов модели Филда-Нойеса-Кереша, известной как модель орегонатора.
В ходе работы было произведено численное моделирование трех состояний системы:
1. Стационарное состояние системы для различных значений стехиометрического коэффициента с учетом внешнего воздействия и без него.
2. Колебательные режимы орегонатора для различных значений стехиометрического коэффициента при наличии УФ-излучения и при его отсутствии. Колебательный режим иллюстрирует динамику изменения концентраций основных компонентов реакции во времени.
3. Исследование орегонатора с учетом диффузии. В работе было изучено влияние значений коэффициентов диффузии на решение дисперсионного уравнения, влияние внешнего воздействия на скорость роста возмущения колебаний, определены различные режимы диффузионной неустойчивости.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Обзор литературы, описывающей существующие математические модели реакции Белоусова-Жаботинского и механизм протекания реакции. Изучение влияния диффузии реагентов на состояние системы.
2. Разработка и реализация алгоритма, предназначенного для решения системы уравнений, описывающей стационарное состояние исследуемой реакции. Расчет концентраций реагентов при различных значениях параметров системы.
3. Разработка и реализация алгоритма, предназначенного для решения системы дифференциальных уравнений, описывающей колебательный режим орегонатора. Расчет динамики изменения концентраций реагентов.
4. Разработка и реализация алгоритма, осуществляющего решение дисперсионного уравнения. Проведение численных экспериментов для различных значений коэффициентов диффузии.
Колебательные самоорганизующиеся системы имеют огромное значение для описания сложно воспроизводимых процессов. Примером самоорганизующейся системы в химии является реакция Белоусова, протекающая в результате окисления лимонной кислоты броматом калия.
В настоящее время данной колебательной химической реакции посвящен целый ряд научных трудов различной тематики: от фундаментального учебника А.М. Жаботинского до статей, посвященных исследованию существующих математических моделей, применимых в различных областях деятельности человека: от биологии до медицины.
Наиболее простой и приближенной математической моделью, описывающей реакцию Белоусова-Жаботинского, является модель Филда-Нойеса-Кереша.
В ходе работы было произведено численное моделирование различных режимов орегонатора: стационарное состояние, стационарное состояние при наличии постоянного внешнего воздействия, колебательный режим, колебательный режим при постоянном внешнем воздействии, режим с учетом диффузии без внешнего воздействия, модель реакции-диффузии при наличии внешнего возмущения. В качестве внешнего воздействия рассматривалось ультрафиолетовое излучение, поскольку оно способно качество влиять на состояние системы: усиливать колебания и менять режимы неустойчивости. В вычислительных экспериментах были использованы различные значения Р Е { 1 0 - 1 8,1 О” 1 0 ,1 О” 5}.
В стационарных состояниях зависимости концентраций бромистой кислоты и церия от стехиометрического коэффициента линейные и возрастающие, а зависимость концентрации бромида от f нелинейная и возрастающая. При постоянном ультрафиолетовом излучении зависимости концентраций реагентов от стехиометрического коэффициента лежат выше, чем при его отсутствии. Было найдено критическое значение УФ-излучения, при котором прекращается изменение концентраций реагентов. Оно составило Р = 0,8 6, что соответствует результатам химических экспериментов, проведенных А.М. Жаботинским.
При моделировании колебательных режимов были получены время развития возмущений t = 1,5 ■ 1 0 _ 7 и период колебаний Т = 0, 7 6 1 ■ 1 0 _ 7 для двух различных значений стехиометрического коэффициента (при f = 0,1 5 и f = 0,5 ). При наличии ультрафиолетового излучения величиной Р = 10_ 5 время развития возмущений уменьшилось в три раза, период колебаний увеличился в 1,36 раза.
Диффузия является обязательным условием возникновения сложных пространственно-временных структур, а также автоколебательных и автоволновых процессов. Для возникновения диффузионной неустойчивости необходимы различные значения коэффициентов диффузии реагентов.
При исследовании модели орегонатора с учетом диффузии при решении дисперсионного уравнения были получены комплексные корни с положительной вещественной частью, что говорит о диффузионной неустойчивости рассматриваемой системы.
В результате решения дисперсионного уравнения было получено несколько корней, соответствующих требованию неотрицательности шг. Для корней, имеющих физический смысл, можно выделить два режима диффузионной неустойчивости: режим смены устойчивости и режим колебательной
неустойчивости орегонатора. Были определены значения волновых чисел, скоростей роста возмущений и частот возмущений, при которых достигается тот или иной режим.
Изменение коэффициентов диффузии бромистой кислоты и бромида приводит к изменению режимов неустойчивости. Например, увеличение коэффициента диффузии ингибитора реакции и уменьшение коэффициента диффузии бромистой кислоты приводит к уменьшению скорости роста возмущений.
При численном исследовании влияния внешнего воздействия на модель «реакция-диффузия», было выяснено, что малое ультрафиолетовое излучение (Р = 10 _ 1 0) является катализатором для реакции Белоусова-Жаботинского, оно способствует увеличению скорости роста возмущений. Также наличие малого внешнего воздействия приводит к более интенсивному изменению частоты возмущений при малых значениях волнового числа.
В настоящее время данной колебательной химической реакции посвящен целый ряд научных трудов различной тематики: от фундаментального учебника А.М. Жаботинского до статей, посвященных исследованию существующих математических моделей, применимых в различных областях деятельности человека: от биологии до медицины.
Наиболее простой и приближенной математической моделью, описывающей реакцию Белоусова-Жаботинского, является модель Филда-Нойеса-Кереша.
В ходе работы было произведено численное моделирование различных режимов орегонатора: стационарное состояние, стационарное состояние при наличии постоянного внешнего воздействия, колебательный режим, колебательный режим при постоянном внешнем воздействии, режим с учетом диффузии без внешнего воздействия, модель реакции-диффузии при наличии внешнего возмущения. В качестве внешнего воздействия рассматривалось ультрафиолетовое излучение, поскольку оно способно качество влиять на состояние системы: усиливать колебания и менять режимы неустойчивости. В вычислительных экспериментах были использованы различные значения Р Е { 1 0 - 1 8,1 О” 1 0 ,1 О” 5}.
В стационарных состояниях зависимости концентраций бромистой кислоты и церия от стехиометрического коэффициента линейные и возрастающие, а зависимость концентрации бромида от f нелинейная и возрастающая. При постоянном ультрафиолетовом излучении зависимости концентраций реагентов от стехиометрического коэффициента лежат выше, чем при его отсутствии. Было найдено критическое значение УФ-излучения, при котором прекращается изменение концентраций реагентов. Оно составило Р = 0,8 6, что соответствует результатам химических экспериментов, проведенных А.М. Жаботинским.
При моделировании колебательных режимов были получены время развития возмущений t = 1,5 ■ 1 0 _ 7 и период колебаний Т = 0, 7 6 1 ■ 1 0 _ 7 для двух различных значений стехиометрического коэффициента (при f = 0,1 5 и f = 0,5 ). При наличии ультрафиолетового излучения величиной Р = 10_ 5 время развития возмущений уменьшилось в три раза, период колебаний увеличился в 1,36 раза.
Диффузия является обязательным условием возникновения сложных пространственно-временных структур, а также автоколебательных и автоволновых процессов. Для возникновения диффузионной неустойчивости необходимы различные значения коэффициентов диффузии реагентов.
При исследовании модели орегонатора с учетом диффузии при решении дисперсионного уравнения были получены комплексные корни с положительной вещественной частью, что говорит о диффузионной неустойчивости рассматриваемой системы.
В результате решения дисперсионного уравнения было получено несколько корней, соответствующих требованию неотрицательности шг. Для корней, имеющих физический смысл, можно выделить два режима диффузионной неустойчивости: режим смены устойчивости и режим колебательной
неустойчивости орегонатора. Были определены значения волновых чисел, скоростей роста возмущений и частот возмущений, при которых достигается тот или иной режим.
Изменение коэффициентов диффузии бромистой кислоты и бромида приводит к изменению режимов неустойчивости. Например, увеличение коэффициента диффузии ингибитора реакции и уменьшение коэффициента диффузии бромистой кислоты приводит к уменьшению скорости роста возмущений.
При численном исследовании влияния внешнего воздействия на модель «реакция-диффузия», было выяснено, что малое ультрафиолетовое излучение (Р = 10 _ 1 0) является катализатором для реакции Белоусова-Жаботинского, оно способствует увеличению скорости роста возмущений. Также наличие малого внешнего воздействия приводит к более интенсивному изменению частоты возмущений при малых значениях волнового числа.
