УРАВНЕНИЕ БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-КОЧИНОЙ НА ИНТЕРВАЛЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ВЕНТЦЕЛЯ И НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ШОУОЛТЕРА-СИДОРОВА

Обозначения и сокращения 4
Введение 6
Глава 1. Предварительные сведения 14
1.1. Уравнения соболевского типа с p-ограниченным оператором .... 14
1.2. Краевые условия Вентцеля 19
1.3. Пространство случайных K-величин и K-«шумов» 24
Глава 2. Задача Коши и Шоуолтера — Сидорова для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной в детерминированном случае и в пространстве K-«шумов» 31
2.1. Спектр оператора Лапласа с краевым условием Вентцеля 31
2.2. Детерминированный случай 37
2.3. Стохастический случай 40
Заключение 46
Библиографический список 48
Купить

Рассмотрим на интервале (a, b) дифференциальное уравнение Баренблатта- Желтова-Кочиной
Ащ(х,к) - utxx(x,t') = auxx(x,t) + f (x,t), (x,t) 2 [a,b x R, (0.0.1)
которое представляет динамику давления однородной жидкости в трещинновато-пористой среде [3]. Здесь вещественные параметры а и А характеризуют среду; функция f (x,t) играет роль внешней нагрузки. Заметим, что, помимо исследования течения жидкости при переходе из пористой среды в трещинноватую, существуют другие интерпретации [5], [21] для описываемого уравнения (0.0.1). Например, к такому же виду приводится уравнение теплопроводности с двумя температурами
cut(x,t) - cautxx(x,t) =kuxx(x,t) + r(x,t), (x,t) 2 [a,b x R, (0.0.2)
описывающее для изотропного материала скорость изменения внутренней энергии за счет движения теплового потока от одной среды к ее дополнению [21]. Здесь c- удельная теплоемкость при фиксированной теоретической температуре 'о (c, как правило, принадлежит R+); r- тепло, подаваемое (на единицу объема) из внешней среды; параметры k, a2 R отвечают, соответственно, за теплопроводность и линейную связь двух температур. С учетом того, что (0.0.2) рассматривалось в терминах теории термодинамики сплошных сред (см., например, [35], где была доказана теорема, поясняющая физическую интерпретацию существования двух температур в излучающей и проводящей средах), уравнение (0.0.2) будем понимать относительно температуры в излучающей среде. Основной целью выпускной квалификационной работы является изучение разрешимости задачи Коши
u(0) = uo (0.0.3)
и задачи Шоуолтера-Сидорова
P(u(0) - uo) = 0, (0.0.4)
для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), записанного в операторном виде, в специальным образом подобранных банаховых пространствах Uи F
LU(t) = Mu(t)+ f (t), (0.0.5)
с краевыми условиями Вентцеля, обобщающими классические граничные условия Дирихле, Неймана и Робена,
Uxx(a, t) + a0Ux(a, t) + aiu(a, t) = 0,
(0.0.6) Uxx(b, t) + ^oUx(b, t) + ftiu(b, t) = 0,
в детерминированном случае и в пространстве дифференцируемых К-«шумов».
В формуле (0.0.4) оператор P - проектор, который строится с помощью операторов L и M(подробное описание см. в 1.1.1).
Уравнения (0.0.5), неразрешенные относительно старшей производной, впервые упоминаются в работах А. Пуанкаре. Однако, первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для уравнений вида
Lu = Mu, (0.0.7)
где L и M дифференциальные операторы в частных производных по «пространственным» переменным, был С. Л. Соболев. Именно благодаря последовательному освоению в предвоенные годы систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вращающейся жидкости, Сергей Львович получил условия устойчивости вращающегося волчка с полостью заполненной жидкостью, в зависимости от формы полости и ее параметров. На основании этого в 1954 году в [14] им было исследовано уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Цикл работ, связанных с изучением почти-периодичности решений волнового уравнения и смешанных задач для некоторых систем, не принадлежащих к типу систем Коши - Ковалевской, положил начало новому направлению в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Им является исследование неклассических уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, которое первоначально развивалось его учениками, среди которых С.А Гальперн [6], А.Г Костюченко [10] и др.
Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения, были труды С.Г. Крейна [11] и его учеников. В частности, в них был детально рассмотрен вопрос о разрешимости и единственности начальной задачи для дескрипторного уравнения в регулярном случае (в смысле регулярности соответствующего операторного пучка), и изучен случай (L, ^-ограниченного оператора M. Также показано, что фазовым пространством уравнения (0.0.7) служит некоторое подпространство в U коразмерности равной размерности M-корневого пространства фредгольмова оператора L.Исследование задач, связанных с гидродинамикой, привели Селима Григорьевича, как позднее и его последователей, к необходимости изучения дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховых пространствах. В монографии [12] он отражает обстоятельное описание не только вопросов о корректной разрешимости и аналитичности абстрактной задачи Коши, но и указывает на ряд трудов, поясняющих классы корректности для некорректных задач.
В рамках данного направления также следует упомянуть Р.Е. Шоуолтера, который ввел в обиход термин «уравнения соболевского типа» в [41]. Большинство его трудов [42-44] основаны на исследовании существования и единственности решения (0.0.3), (0.0.7) для псевдопараболических уравнений и для
сингулярных уравнений (0.0.7), приведенных к регулярным
u = Su;где S= L гМ (0.0.8)
в специфически построенном полугильбертовом пространстве с нехаусдорфовой метрикой.
В монографии [30] A. Favini и A. Yagi освещена теория полугрупп операторов, на основе которой изучается разрешимость дифференциальных включений
xt2A(x) (0.0.9)
с многозначным линейным оператором. К такому включению сводится уравнение (0.0.7) с (L, а)-ограниченным оператором М в случае устранимой особой точки в бесконечности.
В монографии [39] Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова рассмотрена теория изучения начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа с использованием метода фазового пространства. Применение методов фазового пространства и относительно спектральной теории, предложенных Г.А. Свиридюком для изучения уравнений вида (0.0.7), позволило ему и его ученикам построить теорию вырожденных (полу)групп.
В данной выпускной квалификационной работе нас будет интересовать разрешимость задачи Коши и Шоуолтера - Сидорова с новым видом граничных условий вида (2.3.12). Исследование начально-краевых условий с граничными условиями вида (2.3.12) впервые упоминается в работах А.Д. Вентцеля. В работе [5] был поставлен вопрос о нахождении генератора полугруппы для однородных по времени марковских процессов в замкнутой ограниченной области с достаточно гладкой границей диффузионных процессов внутри этой области, где оператор М был эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка. Вне зависимости от этих результатов данную задачу рассматривал У. Феллер в работах [24], [25]. Позднее в работе [45] Вентцелем был поставлен вопрос уже для более общего случая, когда в качестве рассматриваемой области выбирался круг или шар, а полугруппа бралась Co-сжимающей и инвариатной относительно вращений. Используя взаимосвязь между CO-сжимающими полугруппами и однородными по времени марковскими процессами, отвечающие условию Феллера [25], были построены, по заданным полугруппам граничные условия, удовлетворяющие дважды непрерывно дифференцируемым функциям из области определения инфинитезимального оператора.
Далее результаты [45] развивали и обобщали в большинстве работ. В одной из первых статей [27] A Favini, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, S. Romanelli начали выделять и различать общие и обобщенные краевые условия Вентцеля. В частности, в [27] и [28] было получено обобщение результатов [45] в зависимости от вида эллиптического оператора второго порядка и пространств, в которых определен заданный оператор; в [29] установлена классификация общих краевых условий Вентцеля для дифференциального оператора четвертого порядка на отрезке; в [33] показана роль граничных условий в линейном и нелинейном анализе. В России в [15,16] А.И. Назаровым был рассмотрен другой подход в изучении задач Вентцеля. В силу того, что данный тип краевых условий включает классические граничные условия типа Дирихле, Неймана и Робена, автор исследовал обобщение результатов о разрешимости для уравнений Лапласа и Гемгольца в ограниченных и неограниченных областях при непрерывных граничных данных. В частности, Назаров приводит актуальность изучения данной задачи, поскольку с точки зрения диффузионных процессов рассмотренные модели описывают процессы, включающие диффузию вдоль границы и отражение от границы. Такая ситуация возникает, когда граница области покрыта особым тонким слоем («пленкой») из материала, имеющего высокую проводимость. В течение половины столетия с момента первого упоминания работ [5,45] А.Д. Вентцеля был выпущен цикл публикаций, связывающий краевые условия вида эллиптического уравнения второго порядка по касательным переменным: с теорией потенциалов, позволяющих найти решения эллиптических задач в пространствах Соболева и Гельдера [1]; начально-краевой задачей для параболического уравнения с граничными условиями, имеющими вид параболического уравнения по касательным переменным [2]; теорией (полу)групп операторов в подходящих банаховых пространствах.
Тем не менее следует отметить, что несмотря на различие вышеописанных подходов, не была затронута теория вырожденных (полу)групп, разработанная в [39] Г.А. Свиридюком и его последователями. Используя метод фазового пространства, описанный в [17], в выпускной квалификационной работе нас будут интересовать разрешающие (полу)группы для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в случае (Др)-ограниченного оператора Mв детерминированном и недетерминированном случае. Прибегая к стохастической интерпретации уравнений в частных производных, в этой работе частично затронем исследования недетерминированных задач в необходимой для нас интерпретации, отличительной особенностью которой является иное понятие «белого шума» в смысле производной Нельсона - Гликлиха от винеровского процесса.
Термин производной Нельсона - Гликлиха изначально был введен в монографии [32], там же была найдена первая производная случайного процесса. Позднее в [7] были вычислены производные высших порядков и исследованы первые математические модели. Практически в тоже время «белый шум» использовался в теории оптимальных измерений [40], где для него пришлось строить специальное пространство «шумов» в [20]. Данная парадигма не только обосновала согласованность с теорией Энштейна - Смолуховского [13], позволяющего понимать под броуновским движением искомый стохастический процесс, а под производной от этого процесса - «белый шум», но и сподвигла к появлению нового направления изучения стохастических уравнений соболевского типа. Это отражено в исследованиях: дихотомий стохастического уравнения, заданного на многообразии [36]; применения метода фазового пространства в случае (L,p)- ограниченного и (Др)-секториального оператора Mв [18,31]; стохастических уравнений соболевского типа высокого порядка в [38].
Выпускная квалификационная работа, кроме аннотации, оглавления, обозначений и сокращений, введения, заключения и библиографического списка, содержит две главы. В первой главе описываются предварительные теоретические сведения, взятые из работ Г.А. Свиридюка (подробный обзор см., например, в [39]), и исследуется дифференциальный оператор второго порядка с классическими краевыми условиями Дирихле, Неймана и Робена и условия типа Вентцеля. В частности, в первом параграфе приводятся определения и формулировки теорем, необходимые для построения разрешающей группы в задаче Коши и Шоуолтера - Сидорова, в детерминированном случае. Во втором параграфе рассматриваются свойства одномерного оператора Лапласа для предложенных граничных условий в подходящих банаховых пространствах. В третьем параграфе строится пространство дифференцируемых К-«шумов», содержащее как К-винеровский процесс, так и его производную Нельсона - Гликлиха (т.е. «белый шум»).
Во второй главе описывается спектр одномерного оператора Лапласа, построенного в подходящем банаховом пространстве, а именно сужении пространства Лебега, с краевым условием Вентцеля и исследуется разрешимость задачи Коши и Шоуолтера - Сидорова для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в детерминированном и стохастическом случае. В частности, в первом параграфе приводится асимптотическое разложение спектра для дифференциального оператора в рамках поставленной задачи. Во втором параграфе рассматривается существование и единственность решения задачи Коши и Шоуолтера - Сидорова для искомого уравнения с использованием метода фазового пространства. В третье параграфе исследуется аналогичная задача, что и во втором параграфе, в пространстве дифференцируемых К-«шумов».

Купить