Введение 4
1. Математическая модель
Баренблатта — Желтова — Кочиной 6
2. Тригонометрические ряды Фурье 9
3. Задача Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа 13
4. Относительный спектр 16
5. Метод Фурье решения трехточечной начально-конечной задачи для модели
Баренблатта — Желтова — Кочиной 18
6. Агоритм численного метода и описание программы 30
7. Вычислительные эксперименты 34
Заключение 44
Библиографический список • 45
Рассмотрим уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной [1]
(А — A)ut = сиДи + /, 0 < s < I, ti < t < ts, (0.1)
которое описывает движение жидкости фильтрующейся в трещиновато-пористой среде. Здесь а и А — коэффициенты, описывающие среду; параметр a G R+, а параметр А 6 R может принимать как положительные, так и отрицательные значения, которые не противоречат физическому смыслу задачи, функция f = f(s,t) — характеризует внешнюю нагрузку (т.е. истоки или стоки жидкости) соответственно. Различные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) рассматривались в работах [4, 5, 13]. Уравнение (0.1) относится к широкому классу уравнений соболевского типа [5, 6, 10, 11, 12, 13].
Добавим к уравнению (0.1) граничные и начальные условия:
u(0, t) = u(l, t) = 0, £€[Ц,£з], (0-2)
Fi(it(s, Ц) — i?(s)) = 0, 0 < s < I,
P2(u(s,t2') - u2(s)) = 0, 0 < s < I, t2 e [ДДз], (0.3)
P3(u(s,i3) — u3(s)) = 0, 0 < s < I,
где Pi, F2, PA - специальным образом построенные относительно спектральные проекторы [4]; n1(s), u2(s), u3(s) - заданные функции. Уравнение (0.1) с граничным условием (0.2) образуют модель Баренблатта - Желтова - Кочиной.
Модель Баренблатта - Желтова - Кочиной (0.1), (0,2) можно рассматривать в рамках абстрактного линейного уравнения [13]
Lu = Ми + /, kerL {0}. (0.4)
Целью работы является численное исследование трехточечной начально-конечной задачи для модели Баренблатта - Желтова - Кочиной.
Для достижения цели необходимо:
1. Исследовать разрешимость трехточечной начально-конечной задачи для модели Баренблатта - Желтова - Кочиной на отрезке на основе метода Фурье.
2. Разработать алгоритм численного метода решения трехточечной начально-конечной задачи для модели Баренблатта - Желтова - Кочиной на основе модифицированного проекционного метода Галеркина.
3. Реализовать алгоритм численного метода в виде программы для ЭВМ.
4. Провести вычислительные эксперименты.
Началом научных исследований потоков жидкостей в подземной гидросфере являются работы А. Дарси. Впервые гидродинамические модели фильтрации жидкостей в -пористых средах были построены М. Маскетом и Л.С. Лейбензоном. Уравнения Соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в технических и в естественных науках. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной впервые было получено Г.И. Баренблаттом, Ю.П. Желтовым и И.Н. Кочиной [1, 2, 3].
Уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями Соболевского типа. Их систематическое изучение началось в середине прошлого века с работ С.Л. Соболева [14]. Впервые термин "уравнения Соболевского типа" ввел Р.Е. Шоултер. Уравнения Соболевского типа в различных аспектах изучались в работах Г.В. Демиденко, И.В. Мельниковой, С.Г. Пяткова, Г.А. Свиридюка, Т.Г. Сукачевой, А. Фа- вини, В.Е. Федорова, Р.Е. Шоуолтера, А. Яги и многих других. История начально-конечной задачи для уравнения (0.4) начинается с работы Г.А. Свиридюка и С.А. Загребиной [4], где она первоначально называлась задачей Веригина [12]. Начально-конечное условие являются более общими по сравнению с классическим условием Коши [4, 11].
В связи с развитием технологией, возросли возможности моделирования динамики сложных систем, в том числе при построении реалистичных моделей фильтрационных потоков подземной гидросферы в пористых и трещиновато-пористых средах. Возникла необходимость в разработке методов для расчетов полей давлений, температур и параметров, характеризующих исследуемые среды. Прикладные численные методы являются одним из мощных математических средств решения задач. В работе рассмотрен модифицированный метод Галеркина [16]. Преимущество данного метода заключается в его универсальности, то есть возможности эффективного использования для широкого круга практических и теоретических задач.
В работе разработан алгоритм численного метода решения многоточечной начально-конечной задачи для модели Баренблатта - Желтова - Кочиной, который реализован с помощью среды Maple 18. Проведены вычислительные эксперименты.
В квалификационной работе были решены все поставленные задачи:
- исследована разрешимость трехточечной начально-конечной задачи для линейного уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной на отрезке;
- построен алгоритм нахождения приближенного решения на основе модифицированного проекционного метода Галеркина;
- реализован алгоритм численного метода решения в виде программы для ЭВМ;
- проведены вычислительные эксперименты.
