Целью нашего исследования является разрешимость в квазибанаховых пространствах уравнения
Lu = Mu + f. (0.1)
с многоточечным начально-конечным условием [7]
~ uj) = 0, 3 = 0, п, (0.2)
Здесь Tj Е R (ту < Tj+i), Uj Е Я, j = 0,n, a Pj - относительно спектральные проекторы . Заметим, что если п = 1, то (0.2) становится более простой начально-конечной задачей
Pin(u(Q) - и0) = 0, Pfin(u(r) - иТ) = 0. (0.3)
История задачи (0.1), (0.2) начинается с одной стороны в [18], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо - в [30], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Р™ и Pjin рассматриваются спектральные проекторы оператора L, причем L вдобавок предполагается самосопряженным.
Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Свиридюком [33], и развитой его учениками [11, 16, 19], в частности, В.Е. Федоровым. Кроме того, методы, предложенные Г.А. Свиридюком, стали фундаментом алгоритмов численного решения уравнений леонтьевского типа (т.е. конечномерных уравнений Соболевского типа), которые в свою очередь сыграли важную роль в численных исследованиях экономических [14, 26, 21] и технических моделей [32, 28].
Первые результаты исследования задачи (0.1), (0.3) методом теории Г.А.Свиридюка изложены в [22], где рассмотрен частный случай задачи (0.3) причем с более жесткими чем здесь условиями А-спектр оператора
М. В [9] рассмотрена задача (0.3), но для тех же условий на L-спектр оператора М, что и в [22], однако с этом случае отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях. Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики активно изучаются, в том числе и на множествах различной геометрической структуры [8, 17, 12]. Заметим еще, что если = 0, то задача (0.3) превращается в задачу
Шоуолтера - Сидорова [27] Р(гфО) — UQ) = 0 и поэтому считается естественным обобщением последней [5], которая, в свою очередь, обобщает задачу Коши.
Квазибанаховы пространства изучены Г.А.Свиридюком, А.В.Келлер, Аль-Делфи Кадимом Кхалафом. Они перенесли результаты теории Г.А. Свиридюка об относительно р-ограниченного оператора L в квазибанахо- вых пространства. В настоящее время так же появились результаты для случая р-спектрального оператора L [10]. В дальнейшем был рассмотрен вопрос существования экспонециальных дихотомий решений динамических уравнений Соболевского типа, рассматриваемых в квазибанаховых пространствах [20].
Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной
(А — А)и = аАи + /. (0.4)
моделирует динамику давления жидкости,фильтрующейся в трещинноватопористой среде [4] . Здесь А и а вещественные параметры, характеризующие среды; параметр a G R, а параметр А может принимать как положительные так и отрицательные значения,которые не противоречат физическому смыслу задачи [23] функция f = /(ж) играет роль внешней нагрузки. Кроме того, уравнение (0.4) описывает течение жидкостей второго порядка [34] процесс теплопроводности с "двумя температурами" [29] процесс влагопереноса в почве [31].
Джавад Кадим Аль-Делфи в диссертации [1] доказал однозначную разрешимость начально-конечной задачи для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в квазисоболевых пространствах.
Доказана теорема о существовании и единственности решения задачи для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с многоточечным начально конечным условием в квазисоболевом пространстве.
