ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-КОЧИНОЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 7
1.1. Относительно ограниченный оператор 7
1.2. Решение нестационарного уравнения соболевского типа 9
1.3. Модель Баренблатта-Желтова-Кочиной 11
1.4. Метод Монте-Карло и его применение 14
1.4.1. Сведения из теории вероятностей 14
1.4.2. Метод Монте-Карло для решения уравнения Лапласа 15
1.4.3. Метод Монте-Карло для решения уравнения теплопроводности 18
1.5. Выводы по первому разделу 19
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ
НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-
КОЧИНОЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 20
2.1. Метод Монте-Карло для уравнений в частных производных 20
2.2. Алгоритм численного метода 22
2.3. Вычислительный эксперимент 25
2.4. Выводы по второму разделу 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 29
Приложение
Купить

Пусть fi с й1 - ограниченная область с границей i fi из класса 1 1 . Рассмотрим в цилиндре fi х 0 задачу Дирихле для уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной
и - Ди 1 = 1 inД1 + 1,
которое моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде [1]. Кроме того, это уравнение описывает процессы в средах в двумя температурами [15] и многие другие [11]. В этом уравнении вещественный параметр 1 £ 0 и скалярная функция 1 : 01 ^ й 1 , характеризуют среду, причем может принимать и отрицательные значения. Вектор-функция 1 : 0 ^ 1 1 1 fi1 характеризует внешнее воздействие на систему. Уравнение уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной относится к классу уравнений соболевского типа [17], составляющих обширную область неклассических уравнений математической физики [6,11,17]. В отличие от других работ, посвященных изучению уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной (см. например, [17]) в этой работе изучается уравнение с коэффициентом, зависящим от времени.
Так как аналитические решения для сложных математических моделей удается получить сравнительно редко. То к основным методам решения задач для приближенных математических методов можно отнести численные методы. Так же численные методы имеют хорошее качественное и количественное описание исследуемого процесса.
Целью данной работы является численное решение задачи Дирихле для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной методом Монте-Карло. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить основную литературу по теме выпускной квалификационной работы;
- ознакомиться с основными теоретическими положениями для нестационарных уравнений соболевского типа;
решить уравнение теплопроводности
коэффициентами методом Монте-Карло;
- провести численный эксперимент для задачи Дирихле для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с переменными коэффициентами методом Монте-Карло.
Стационарное уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной в рамках теории уравнений соболевского типа рассматривалось в различных аспектах. Так, например, разрешимость этого уравнения, а также дихотомии решений описаны еще в одной из первых монографий, посвященным уравнениям соболевского типа [17]. Далее это уравнение исследовалось при наличии нелинейного оператора в правой части уравнения, а также наличие устойчивых и неустойчивых многообразий решений полулинейного уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной [7]. Также для этого уравнения исследовалось задачи оптимального управления при различных граничных и начальных (начально-конечных) условиях (см., например, [8]). Для построения численных решений стационарного уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной в основном используется метод галеркинских приближений. Кроме того, отметим работу [16], где исследуется задача оптимального управления для нестационарного уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной с использованием метода Галеркина. В данной работе исследуется нестационарное уравнение методом Монте-Карло.
В рамках данной работы происходит ознакомление с теорией уравнения соболевского типа, построение и изучение уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной, а также визуализация процесса. Основными методами исследования являются методы уравнений математической физики [4,13], методы исследования дифференциальных уравнений [2,13,14], методы теории вероятностей [3,5,12,14]. Для построения численного решения и демонстрации результатов была использована программная среда MATLAB 2015 [9].
Данная выпускная квалификационная работа содержит 2 раздела. В первом разделе подробно рассматриваются теоретические сведения. В нем описывается сведения об уравнении Баренблатта-Желтова-Кочиной и о методе Монте-Карло, так же приведены определения и формулировки теорем, которые используются для проведения основных построений.
Во втором разделе описывается численное решение задачи Дирихле. Представлено описание алгоритма для решения уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной методом Монте-Карло. Так же представлены результаты вычислительных экспериментов.
Купить