Тема: ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОДНОЙ ПОЛУЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследования большого количества естественнонаучных и инженерных задач приводят к интегральным уравнениям. В подавляющем большинстве случаев основанием для составления подобных уравнений служат известные законы сохранения и законы электродинамики. Наряду с классическими задачами в практику исследования динамических систем вошли многие задачи, законы функционирования которых известны недостаточно. Понятие последействия в таких задачах естественно приводит к их описанию интегральными уравнениями. Область приложений интегральных уравнений обширна и включает в себя задачи, естественная постановка которых не может быть описана другим математическим аппаратом, например дифференциальными уравнениями и т.п. В настоящее время хорошо изучены линейные интегральные уравнения (Фредгольма, Вольтерры). Для них установлены условия однозначной разрешимости и также разработаны эффективные алгоритмы численного анализа. Значительно меньше известно об уравнениях нелинейных и серьезную проблему представляет задача построения численных алгоритмов их решения. Приведем наиболее часто встречающиеся интегральные уравнения:
1) линейное уравнение Фредгольма 1-го рода:
Г ь
/ K(t,r)u(r)dr = ф(Ъ);
J a
2) линейное уравнение Фредгольма 2-го рода:
Г ь
u(t) — X K(t,r)u(r)dr = ф(Ъ^;
a
3) линейное уравнение Вольтерры 1-го рода:
/ K(t,r)u(r)dr = фД); a
4) линейное уравнение Вольтерры 2-го рода:
/> t
u(t) — X K (t,r )u(r )dr = ф(Ъ);
a
5) нелинейное уравнение Урысона
Г ь
/ K(t,T,u(T))dT = ^>(t);
J a
6) нелинейное уравнение Гаммерштейна
Г ь
/ K(t, T)F(U(T)dT = ф(Ъ). a
Как правило, интегральные уравнения аналитически не разрешима!. Поэтому требуется разработка численных методов для получения решения.
Основными этапами численного анализа являются исследования следующих свойств уравнений:
1) разрешимость;
2) однозначная разрешимость.
Для интегральных уравнений основными методома численного исследования являются проекционные методы. В результате применения метода задача решения интегрального уравнения сводится к решению СЛАУ (если уравнение линейное) или к решению системы нелинейных уравнений (если уравнение нелинейное). Однако отметим, что вместо решения уравнение в результате численной процедуры получается некоторый дискретный аналог решения. Поэтому возникает вопрос о связи результата численной процедуры и решения уравнения. Приведем некоторые из возможных ситуаций:
1) уравнение неразрешимо;
2) уравнение разрешимо, решение не едиственное.
3) решение единственное, существует связь между результатом численной процедуры и решением.
Интерпертация результатов численного решение важна не только для первого и второго случаев, особенно важно понимать, что и для третьего случая возможны проблемы. Главная из этих проблем это устойчивость решения, возникновение которой обуславливается, тем фактом, что любая численная процедура приводит к погрешностям при вычислениях. Наличие данной проблемы предъевляет новые требования к численной процедуре, основным из которых является устойчивость численной процедуры относительно малых изменений правой части уравнения. Также возникает необходимость во введении нового определения понятия "решение для случаев, когда уравнение, вообще говоря, не разрешимо.
Одним, из подходов решения данной проблемы является замена задачи решения интегрального уравнения (можно представить уравнение в операторном виде Au = Ф) является введение понятия невязки, то есть "расстоя- ния"от образа элемента до правой части. Понятие "расстояние"понимается в смысле значения некоторого неотрицательного функционала определенного в пространстве, которому принадлежит правая часть.

Купить

Аппарат вейвлетов оказался не эффективным, так как вейвлеты предназначены для поиска всплесков, а решения монотонны.
Была реализовала численная процедура устойчивая к малым изменениям правой части. Данная процедура построена па основе сплайп-квадратур, а также приведены алгоритмы для построения процедуры па основе метода Ныотопа-Капторовича. Использование сплайнов более высокого порядка не эффективно ввиду заполпепости матрицы аппроксимирующей производную Фреше. Также от увеличения порядка пет выйгрыша в скорости сходимости.

Купить