3D МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИРТУАЛЬНЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЙ РОДА 1 МАЛОЙ СЛОЖНОСТИ

АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ РОДА 1 В СРЕДЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЯ MATLAB 8
1.1. Постановка задачи 8
1.2. Математическая модель программы 8
1.3. Выводы по главе 1 14
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ УЗЛОВ 15
2.1. Базы данных классических и виртуальных узлов 15
2.1.1. База данных Лукаса Леварка 15
2.1.2. Knot Atlas 15
2.1.3. KnotInfo и LinkInfo 15
2.2. Существующие программы для визуализации узлов 16
2.1.1. KnotPlot 16
2.1.2. LinKnot 17
2.1.2. Ming 18
2.3. Исследование молекулы белка с помощью теории узлов 18
2.4. Выводы по главе 2 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 22
ПРИЛОЖЕНИЕ А 23
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 24
ПРИЛОЖЕНИЕ В 25
ПРИЛОЖЕНИЕ Г 27

Купить

Классический узел представляет собой произвольную простую замкнутую кривую в трехмерном пространстве R3. При изображении классических узлов принято использовать их проекции на плоскость. При этом перекрестками называются точки плоскости, в которые проектируются две различные точки узла. Диаграмма узла получается из проекции указанием (путем разрыва нити в окрестности каждого перекрестка), какой из участков узла проходит выше другого. На рисунке 0.1 показан пример классического узла, лежащего в трехмерной сфере S3, его проекция и диаграмма на плоскости.

Рисунок 0.1. Пример трилистника (классического узла), его проекция и диаграмма на плоскости

В последнее время усилился интерес к зацеплениям в трехмерных многообразиях типа F х I, которые называются виртуальными. Они представляют собой зацепления в утолщенных поверхностях F х I, где F - ориентированная замкнутая поверхность, I — ориентированный отрезок, с точностью до стабилизации/дестабилизации. Замкнутая ориентируемая поверхность - это двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали не имеющая границ. Под дестабилизацией мы понимаем следующее. Пусть S - некоторая нестягиваемая окружность на замкнутой двумерной ориентированной поверхности F, для которой существует цилиндр С, лежащий в F х {0,1}, с краями па разных краях многообразия F х {0,1}, гомотопный цилиндру S х I, причем цилиндр C с краями не пересекает зацепления. Тогда дестабилизация - это разрезание двумерного многообразия F x I вдоль цилиндра с заклеиванием появившихся компонент края шайбами D2 x I (рисунок 0.2). Под стабилизацией мы понимаем операцию, обратную к дестабилизации.

Рисунок 0.2. Дестабилизация пары (S2 x I, K), где S2 - сфера с двумя ручками

Усиливающийся интерес к виртуальным зацеплениям можно объяснить тем, что на них обобщаются многие инварианты узлов в S3, а теории узлов в S3 и в утолщенной сфере S2 x I совпадают. Под инвариантом здесь понимается функция, значения которой сохраняются неизменными при попытке из одного узла получить другой, не разрывая при этом нить. Поскольку тор T = S1 x S1 - самая простая замкнутая ориентируемая поверхность после сферы, то теория узлов в T x I является естественным продолжением теории узлов в S3.
Зацепления в утолщенных поверхностях могут иметь несколько нитей. Виртуальный узел же является частным случаем зацепления, при котором узел образуется из одной нити.
В данной работе мы рассматриваем виртуальные узлы рода 1. Род виртуального узла K - это наименьший род поверхности S такой, что K расположен в S x I. Род поверхности - это число, характеризующее порядок связности поверхности. Каждую замкнутую ориентируемую поверхность можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на сферу с р ручками. Число р называется родом такой поверхности. Род поверхности тора равен 1, поэтому в данной работе мы рассматриваем узлы в утолщенном торе T x I.
Как и в классическом случае, узлы в утолщенном торе T х I можно задавать проекциями и диаграммами (пример на рисунке 0.3). Проекция некоторого узла на утолщенный тор K с T х I представляет собой регулярный граф G с T степени 4. Регулярный граф - граф, степени вершин которого равны, т.е. в таком графе каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. В нашем случае, для регулярного графа G с T прохождение вершин по правилу «прямо вперед» определяет полный обход, отвечающий этому узлу. Диаграмма узла K получается из этого графа указанием (путем разрывов обхода), какой из проходящих через каждую вершину участков узла расположен выше, какой - ниже другого в смысле величины координаты t еI.


Рисунок 0.3. Пример диаграммы виртуального узла в утолщенном торе T х I
Прохождение нити через вершины узла задается Гауссовым кодом. Он содержит список перекрестков диаграммы, выписанных в том порядке, в котором они встречаются при прохождении узла вдоль его ориентации.

Рисунок 0.4. Пример диаграммы узла с обозначениями кода Гаусса
Пример кода Г аусса для виртуального узла, представленного на рисунке 0.4: 1 2 -3 r2 11 -1 t1 b2 -2 3 bl t2 r1.
Главной целью данной работы является визуализация узлов в утолщенном торе T х I, сложность которых не превышает 3 (т.е. узлов, диаграммы которых содержат не более трех перекрестков). Данные узлы взяты из статьи [1] и продублированы в Приложении А. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
1. С помощью параметрического уравнения задать внутреннюю и внешнюю поверхность утолщенного тора.
2. Задать координаты точек, которые будут соответствовать перекресткам диаграммы для всех узлов, диаграммы которых имеют не более трех перекрестков.
3. Используя интерполяцию с помощью кубических сплайнов нарисовать нить в утолщенном торе, проходящую через каждый перекресток в соответствии с Гауссовым кодом.
К тому же, еще одной целью является поиск вектора развития теории узлов, как науки, для чего нужно сделать обзор существующих баз данных и программ, визуализирующих классические и виртуальные зацепления. А также найти точки соприкосновения теории узлов с другими науками.
Купить