Помощь студентам в учебе
Уравнения Леонтьевского типа с начально-конечными условиями
|
АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 4
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 10
1.1 Относительно p-регулярные матрицы 10
1.2 Разрешимость начальных задач
для нестационарных систем леонтьевского типа 11
1.3 Поведение решений нестационарных матричных уравнений . . 14
1.4 Решение начально-конечной задачи
для нестационарной системы леонтьевского типа 16
1.5 Выводы по первой главе 19
2 НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 20
2.1 Модель Леонтьева межотраслевого баланса 20
2.2 Исследование нестационарной модели Леонтьева 22
2.3 Решение нестационарной балансовой модели Леонтьева
с начально-конечным условием 23
2.4 Выводы по второй главе 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ 4
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 10
1.1 Относительно p-регулярные матрицы 10
1.2 Разрешимость начальных задач
для нестационарных систем леонтьевского типа 11
1.3 Поведение решений нестационарных матричных уравнений . . 14
1.4 Решение начально-конечной задачи
для нестационарной системы леонтьевского типа 16
1.5 Выводы по первой главе 19
2 НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 20
2.1 Модель Леонтьева межотраслевого баланса 20
2.2 Исследование нестационарной модели Леонтьева 22
2.3 Решение нестационарной балансовой модели Леонтьева
с начально-конечным условием 23
2.4 Выводы по второй главе 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Балансовые модели, как статические, так и динамические, широко применимы при математическом моделировании экономических систем и процессов [12, 27]. В основу создания этих моделей положен балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Описывая экономическую систему в целом, под балансовой моделью понимают такую систему уравнений, в которой каждое уравнение выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами, количеством ресурсов и совокупной потребностью в данных ресурсах. Статические модели могут быть разработаны только для отдельно взятых периодов, при этом в рамках данных моделей не отражается связь с предшествующими или последующими периодами, то есть построение таких моделей привносит некоторые упрощения и сужает возможности анализа.
В отличие от статических моделей, динамические призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить конкретные взаимосвязи между предыдущими и последующими этапами развития и таким образом приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы. В динамических моделях производственные капитальные вложения выделяют из состава конечной продукции, разбирают их структуру и влияние на рост объема производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений положена математическая зависимость между величиной капитальных вложений (накоплений) и приростом продукции.
Рассмотрим в Rn динамическую балансовую модель в виде нестационарной системы леонтьевского типа
Lu(t) = a(t)Mu(t) + f (t), (1)
где L и M - квадратные матрицы порядка n, причем det L = 0. Здесь a : [0,T] ! R+ - скалярная функция, описывающая изменение во времени параметров взаимовлияния состояний исследуемой системы, а матрица M - ^рфрегулярна (т.е. существует ц 2 C такая, что det(^L — M) = 0, и 1 является полюсом (цХ — M)-1 порядка p 2 {0} U N). Вектор-функция f : [0, T] ! Rn описывает внешние воздействия на систему. Отметим, что условие вырожденности системы det L = 0 является одной из отличительных черт балансовых моделей экономики, так как ресурсы определенного типа запасти нельзя [12]. Кроме того заметим, что балансовые модели зачастую имеют нестационарный вид, т.е. матрицы входящие в систему (1) зависят от времени (см. например, [28]), однако в этом случае для получения конструктивного решения необходимы особые условия на эти матрицы [1, 2]. Подчеркнем, что если в уравнении (1) a(t) = 1, то система становится стационарной, таким образом в работе исследуется как нестационарная система леонтьевского типа, так и стационарная.
При решении прикладных задач возникают ситуации, когда часть условий на искомую вектор-функцию нам известна в начальный момент времени, а остальные условия, в силу учета особенностей моделируемого процесса, нам известны в конечный момент времени. В таком случае адекватно рассматривать начально-конечные условия [6] для систем леонтьевского типа. Начально-конечную задачу будем рассматривать в следующем виде
Pm(u(0) - uo) = 0, Pfin(u(T) - ит) = 0 (2)
где через Pin, Pfin обозначены матрицы, с помощью которых задаются условия в начальный и конечный моменты времени.
Целью данной работы является исследование начально-конечной задачи (2) для нестационарной системы леонтьевского типа. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить основную литературу о системах леонтьевского типа;
- ознакомится с методами исследования матричных дифференциальных уравнений;
- изучить разрешимость начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа;
- используя полученные результаты исследовать нестационарную модель Ленотьева;
- найти решение начально-конечной задачи для нестационарной модели Леонтьева и провести интерпретацию полученных результатов.
Системы леонтьевского типа являются конечномерным аналогом уравнений соболевского типа [26, 20, 24]. Данное исследование проведено в рамках теории вырожденных разрешающих семейств операторов [20]. Разрешимость начальных задач для стационарных систем леонтьевского типа с использованием теории вырожденных групп исследовалась, например, в работах [3, 18, 9]. При численном исследовании задач для таких систем использование начального условия Шоуолтера - Сидорова [19]
(L(vL — M)-1)p+1 (u(0) — uo) = 0, и 2 C : det(vL — M) = 0
позволяет снять ограничения согласования начальных данных, имеющиеся, например, при использовании классического начального условия Коши [3]. Кроме того, в современных исследованиях в области уравнений соболевского типа начальное условие Шоуолтера - Сидорова рассматривается как более естественное при изучении различных прикладных задач [19]. Отметим, что решение задачи оптимального управления для стационарных систем леонтьевского типа кроме описания экономических систем используется при моделировании технических систем [34, 33, 23]. Нестационарные уравнения соболевского типа впервые были рассмотрены в работе [14] и предложенные методы [16] были применены для исследования различных задач (см., например [11, 32, 29]). Отметим, что ранее разрешимость начально-конечных задач для нестационарных уравнений соболевского типа была исследована при решении задачи оптимального управления решениями таких задач (см., например, [30, 25]). Подчеркнем, что начально-конечная задача для систем леонтьевского типа рассматривается впервые.
Основными методами исследования являются алгебраические методы [4], методы теории функций комплексного переменного [13, 21], методы функционального анализа [22], методы исследования систем дифференциальных уравнений [5], методы теории уравнений соболевского типа [20]. Отметим, что при исследовании начально-конечного условия для уравнений соболевского типа важную роль играет условие на относительный спектр, которое для уравнений соболевского типа выполняется в силу относительно спектральной теоремы [8], а для систем леонтьевского типа выполняется автоматически. Кроме того, эта теорема играет важную роль при исследовании дихотомий решений [15] и в этом смысле исследование начально-конечного условия для уравнений соболевского типа и существование экспоненциальных дихотомий являются родственными задачами [35]. Поэтому в данной работе дополнительно к поставленным выше задачам исследована задача о соотнесении поведения решений уравнений и начально-конечного условия.
Выпускная работа, кроме Введения, Заключения и Списка литературы, содержит две главы. Первая глава содержит теоретические результаты, а во второй главе полученные результаты применяются к нестационарной модели Леонтьева. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.
В первой главе были рассмотрены основные теоретические понятия необходимые для изучения поставленной задачи. В первом параграфе приведено понятие относительно регулярных матриц [3, 9, 18]. Во втором параграфе приведены сведения о разрешающих потоках матриц [31] и разрешимости задач Коши и Шоуолтера - Сидорова для нестационарной системы леонтьевского типа [31]. В третьем параграфе описано поведение решений однородных нестационарных матричных уравнений в зависимости от расположения точек относительного спектра [15, 32]. Наконец, в четвертом параграфе получен основной теоретический результат выпускной работы - доказана теорема о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, а также сформулировано правило, позволяющее определить максимальное количество условий в многоточечной начальноконечной задаче для систем леонтьевского типа. Также здесь на основании поведения решений приведены некоторые способы выбора элементов, на которых будет задано начальное условие, и, соответственно, элементов, на которых будет задано конечное условие, для однородного нестационарного уравнения. В последнем параграфе главы приведено описание рассмотренных результатов, а также выводы по этой главе.
Во второй главе исследована модель Леонтьева с начально-конечными условиями. В первом параграфе подробно описана стационарная модель Леонтьева и сведение ее к уравнениям леонтьевского типа из первой главы. Во втором параграфе на основе методов исследования матричных дифференциальных уравнений и теории систем леонтьевского типа изучена модель Леонтьева, получены основные параметры необходимые для применения теоретических результатов первой главы. Также в этом параграфе описано поведение решений однородной системы на основе информации о точках относительного спектра. В третьем параграфе получено решение начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева, а также приведены графики компонент решения задачи для различных данных. В последнем параграфе главы приведено описание полученных результатов, а также выводы по главе.
Результаты о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, полученные в работе, были опубликованы в журнале списка ВАК [36].
В отличие от статических моделей, динамические призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить конкретные взаимосвязи между предыдущими и последующими этапами развития и таким образом приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы. В динамических моделях производственные капитальные вложения выделяют из состава конечной продукции, разбирают их структуру и влияние на рост объема производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений положена математическая зависимость между величиной капитальных вложений (накоплений) и приростом продукции.
Рассмотрим в Rn динамическую балансовую модель в виде нестационарной системы леонтьевского типа
Lu(t) = a(t)Mu(t) + f (t), (1)
где L и M - квадратные матрицы порядка n, причем det L = 0. Здесь a : [0,T] ! R+ - скалярная функция, описывающая изменение во времени параметров взаимовлияния состояний исследуемой системы, а матрица M - ^рфрегулярна (т.е. существует ц 2 C такая, что det(^L — M) = 0, и 1 является полюсом (цХ — M)-1 порядка p 2 {0} U N). Вектор-функция f : [0, T] ! Rn описывает внешние воздействия на систему. Отметим, что условие вырожденности системы det L = 0 является одной из отличительных черт балансовых моделей экономики, так как ресурсы определенного типа запасти нельзя [12]. Кроме того заметим, что балансовые модели зачастую имеют нестационарный вид, т.е. матрицы входящие в систему (1) зависят от времени (см. например, [28]), однако в этом случае для получения конструктивного решения необходимы особые условия на эти матрицы [1, 2]. Подчеркнем, что если в уравнении (1) a(t) = 1, то система становится стационарной, таким образом в работе исследуется как нестационарная система леонтьевского типа, так и стационарная.
При решении прикладных задач возникают ситуации, когда часть условий на искомую вектор-функцию нам известна в начальный момент времени, а остальные условия, в силу учета особенностей моделируемого процесса, нам известны в конечный момент времени. В таком случае адекватно рассматривать начально-конечные условия [6] для систем леонтьевского типа. Начально-конечную задачу будем рассматривать в следующем виде
Pm(u(0) - uo) = 0, Pfin(u(T) - ит) = 0 (2)
где через Pin, Pfin обозначены матрицы, с помощью которых задаются условия в начальный и конечный моменты времени.
Целью данной работы является исследование начально-конечной задачи (2) для нестационарной системы леонтьевского типа. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить основную литературу о системах леонтьевского типа;
- ознакомится с методами исследования матричных дифференциальных уравнений;
- изучить разрешимость начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа;
- используя полученные результаты исследовать нестационарную модель Ленотьева;
- найти решение начально-конечной задачи для нестационарной модели Леонтьева и провести интерпретацию полученных результатов.
Системы леонтьевского типа являются конечномерным аналогом уравнений соболевского типа [26, 20, 24]. Данное исследование проведено в рамках теории вырожденных разрешающих семейств операторов [20]. Разрешимость начальных задач для стационарных систем леонтьевского типа с использованием теории вырожденных групп исследовалась, например, в работах [3, 18, 9]. При численном исследовании задач для таких систем использование начального условия Шоуолтера - Сидорова [19]
(L(vL — M)-1)p+1 (u(0) — uo) = 0, и 2 C : det(vL — M) = 0
позволяет снять ограничения согласования начальных данных, имеющиеся, например, при использовании классического начального условия Коши [3]. Кроме того, в современных исследованиях в области уравнений соболевского типа начальное условие Шоуолтера - Сидорова рассматривается как более естественное при изучении различных прикладных задач [19]. Отметим, что решение задачи оптимального управления для стационарных систем леонтьевского типа кроме описания экономических систем используется при моделировании технических систем [34, 33, 23]. Нестационарные уравнения соболевского типа впервые были рассмотрены в работе [14] и предложенные методы [16] были применены для исследования различных задач (см., например [11, 32, 29]). Отметим, что ранее разрешимость начально-конечных задач для нестационарных уравнений соболевского типа была исследована при решении задачи оптимального управления решениями таких задач (см., например, [30, 25]). Подчеркнем, что начально-конечная задача для систем леонтьевского типа рассматривается впервые.
Основными методами исследования являются алгебраические методы [4], методы теории функций комплексного переменного [13, 21], методы функционального анализа [22], методы исследования систем дифференциальных уравнений [5], методы теории уравнений соболевского типа [20]. Отметим, что при исследовании начально-конечного условия для уравнений соболевского типа важную роль играет условие на относительный спектр, которое для уравнений соболевского типа выполняется в силу относительно спектральной теоремы [8], а для систем леонтьевского типа выполняется автоматически. Кроме того, эта теорема играет важную роль при исследовании дихотомий решений [15] и в этом смысле исследование начально-конечного условия для уравнений соболевского типа и существование экспоненциальных дихотомий являются родственными задачами [35]. Поэтому в данной работе дополнительно к поставленным выше задачам исследована задача о соотнесении поведения решений уравнений и начально-конечного условия.
Выпускная работа, кроме Введения, Заключения и Списка литературы, содержит две главы. Первая глава содержит теоретические результаты, а во второй главе полученные результаты применяются к нестационарной модели Леонтьева. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.
В первой главе были рассмотрены основные теоретические понятия необходимые для изучения поставленной задачи. В первом параграфе приведено понятие относительно регулярных матриц [3, 9, 18]. Во втором параграфе приведены сведения о разрешающих потоках матриц [31] и разрешимости задач Коши и Шоуолтера - Сидорова для нестационарной системы леонтьевского типа [31]. В третьем параграфе описано поведение решений однородных нестационарных матричных уравнений в зависимости от расположения точек относительного спектра [15, 32]. Наконец, в четвертом параграфе получен основной теоретический результат выпускной работы - доказана теорема о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, а также сформулировано правило, позволяющее определить максимальное количество условий в многоточечной начальноконечной задаче для систем леонтьевского типа. Также здесь на основании поведения решений приведены некоторые способы выбора элементов, на которых будет задано начальное условие, и, соответственно, элементов, на которых будет задано конечное условие, для однородного нестационарного уравнения. В последнем параграфе главы приведено описание рассмотренных результатов, а также выводы по этой главе.
Во второй главе исследована модель Леонтьева с начально-конечными условиями. В первом параграфе подробно описана стационарная модель Леонтьева и сведение ее к уравнениям леонтьевского типа из первой главы. Во втором параграфе на основе методов исследования матричных дифференциальных уравнений и теории систем леонтьевского типа изучена модель Леонтьева, получены основные параметры необходимые для применения теоретических результатов первой главы. Также в этом параграфе описано поведение решений однородной системы на основе информации о точках относительного спектра. В третьем параграфе получено решение начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева, а также приведены графики компонент решения задачи для различных данных. В последнем параграфе главы приведено описание полученных результатов, а также выводы по главе.
Результаты о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, полученные в работе, были опубликованы в журнале списка ВАК [36].
Целью данной работы являлось исследование начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа. Для того, чтобы достичь поставленной цели были поставлены следующие задачи:
- изучить основную литературу о системах леонтьевского типа;
- ознакомится с методами исследования матричных дифференциальных уравнений;
- изучить разрешимость начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа;
- используя полученные результаты исследовать нестационарную модель Ленотьева;
- найти решение начально-конечной задачи для нестационарной модели Леонтьева и провести интерпретацию полученных значений.
При решении поставленных задач было отмечено, что для постановки начально-конечного условия для уравнений соболевского типа важную роль играет условие на относительный спектр, которое для систем леонтьевского типа выполняется автоматически. Также эта теорема играет важную роль при исследовании дихотомий решений и, в этом смысле, исследование начально-конечного условия для уравнений соболевского типа и существование экспоненциальных дихотомий являются родственными задачами. Поэтому в данной работе дополнительно к поставленным выше задачам была исследована задача о соотнесении поведения решений уравнений и начальноконечного условия.
В первой главе для решения задачи изучения основной литературы о системах леонтьевского типа, была рассмотрена основная теория уравнений соболевского типа, а также приведены результаты из изученной литературы относительно систем леонтьевского типа. В главе были рассмотрены основные теоретические понятия необходимые для изучения поставленной задачи. В первом параграфе приведено понятие относительно регулярных матриц. Во втором параграфе приведены сведения о разрешающих потоках матриц и разрешимости задач Коши и Шоуолтера - Сидорова для нестационарной системы леонтьевского типа. В третьем параграфе описано поведение решений однородных нестационарных матричных уравнений в зависимости от расположения точек относительного спектра. Наконец, в четвертом параграфе получен основной теоретический результат выпускной работы - доказана теорема о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, а также сформулировано правило, позволяющее определить максимальное количество условий в многоточечной начальноконечной задаче для систем леонтьевского типа. Также здесь на основании поведения решений приведены некоторые способы выбора элементов, на которых будет задано начальное условие, и, соответственно, элементов, на которых будет задано конечное условие, для однородного нестационарного уравнения.
Во второй главе исследована модель Леонтьева с начально-конечными условиями. В первом параграфе подробно описана стационарная модель Леонтьева и сведение ее к уравнениям леонтьевского типа из первой главы. Во втором параграфе на основе методов исследования матричных дифференциальных уравнений и теории систем леонтьевского типа изучена модель Леонтьева, получены основные параметры необходимые для применения теоретических результатов первой главы. Также в этом параграфе описано поведение решений однородной системы на основе информации о точках относительного спектра. В третьем параграфе получено решение начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева, а также приведены графики компонент решения задачи для различных данных. Интерпретация полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1) на основе теории, описанной в первой главе, можно найти комбинацию искомых значений для которой будет отсутствовать производная, и, соответственно, на эту комбинацию значений не будет влиять скорость изменения показателей;
2) все решения модели Леонтьева экспоненциально возрастают с показателями 0, 245419 и 2,046416;
3) используя теоретические результаты, можно определить линейную комбинацию искомых значений, на которых будет наблюдаться наибольший рост;
4) для балансовой модели Леонтьева в многоточечной начально-конечной задаче можно рассматривать максимум два условия, в силу того, что фазовое пространство имеет размерность 2;
5) на основе всего выше изложенного начальные и конечные условия можно задать так, чтобы контролировать рост показателей.
Результаты о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, полученные в работе, были опубликованы в журнале списка ВАК [36]. Таким образом, исследование начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева проведено в полном объеме. И можно сделать вывод, что все задачи решены и цель работы достигнута.
- изучить основную литературу о системах леонтьевского типа;
- ознакомится с методами исследования матричных дифференциальных уравнений;
- изучить разрешимость начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа;
- используя полученные результаты исследовать нестационарную модель Ленотьева;
- найти решение начально-конечной задачи для нестационарной модели Леонтьева и провести интерпретацию полученных значений.
При решении поставленных задач было отмечено, что для постановки начально-конечного условия для уравнений соболевского типа важную роль играет условие на относительный спектр, которое для систем леонтьевского типа выполняется автоматически. Также эта теорема играет важную роль при исследовании дихотомий решений и, в этом смысле, исследование начально-конечного условия для уравнений соболевского типа и существование экспоненциальных дихотомий являются родственными задачами. Поэтому в данной работе дополнительно к поставленным выше задачам была исследована задача о соотнесении поведения решений уравнений и начальноконечного условия.
В первой главе для решения задачи изучения основной литературы о системах леонтьевского типа, была рассмотрена основная теория уравнений соболевского типа, а также приведены результаты из изученной литературы относительно систем леонтьевского типа. В главе были рассмотрены основные теоретические понятия необходимые для изучения поставленной задачи. В первом параграфе приведено понятие относительно регулярных матриц. Во втором параграфе приведены сведения о разрешающих потоках матриц и разрешимости задач Коши и Шоуолтера - Сидорова для нестационарной системы леонтьевского типа. В третьем параграфе описано поведение решений однородных нестационарных матричных уравнений в зависимости от расположения точек относительного спектра. Наконец, в четвертом параграфе получен основной теоретический результат выпускной работы - доказана теорема о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, а также сформулировано правило, позволяющее определить максимальное количество условий в многоточечной начальноконечной задаче для систем леонтьевского типа. Также здесь на основании поведения решений приведены некоторые способы выбора элементов, на которых будет задано начальное условие, и, соответственно, элементов, на которых будет задано конечное условие, для однородного нестационарного уравнения.
Во второй главе исследована модель Леонтьева с начально-конечными условиями. В первом параграфе подробно описана стационарная модель Леонтьева и сведение ее к уравнениям леонтьевского типа из первой главы. Во втором параграфе на основе методов исследования матричных дифференциальных уравнений и теории систем леонтьевского типа изучена модель Леонтьева, получены основные параметры необходимые для применения теоретических результатов первой главы. Также в этом параграфе описано поведение решений однородной системы на основе информации о точках относительного спектра. В третьем параграфе получено решение начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева, а также приведены графики компонент решения задачи для различных данных. Интерпретация полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1) на основе теории, описанной в первой главе, можно найти комбинацию искомых значений для которой будет отсутствовать производная, и, соответственно, на эту комбинацию значений не будет влиять скорость изменения показателей;
2) все решения модели Леонтьева экспоненциально возрастают с показателями 0, 245419 и 2,046416;
3) используя теоретические результаты, можно определить линейную комбинацию искомых значений, на которых будет наблюдаться наибольший рост;
4) для балансовой модели Леонтьева в многоточечной начально-конечной задаче можно рассматривать максимум два условия, в силу того, что фазовое пространство имеет размерность 2;
5) на основе всего выше изложенного начальные и конечные условия можно задать так, чтобы контролировать рост показателей.
Результаты о разрешимости начально-конечной задачи для нестационарной системы леонтьевского типа, полученные в работе, были опубликованы в журнале списка ВАК [36]. Таким образом, исследование начальноконечной задачи для нестационарной модели Леонтьева проведено в полном объеме. И можно сделать вывод, что все задачи решены и цель работы достигнута.
