Помощь студентам в учебе
Квантовые вычисления с использованием Шрёдингеровских состояний
|
АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 6
1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ШРЁДИНГЕРОВСКИХ СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВОЙ ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ И КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 9
2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГЕНЕРАЦИИ ШРЁДИНГЕРОВСКИХ СОСТОЯНИЙ . 15
2.1 Шрёдингеровские кудиты 15
2.2 Генерация Шрёдингеровских кудитов из двухмодового запутанного состояния 24
2.3 Программная реализация 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 50
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 51
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Основы квантовой механики
ВВЕДЕНИЕ 6
1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ШРЁДИНГЕРОВСКИХ СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВОЙ ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ И КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 9
2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГЕНЕРАЦИИ ШРЁДИНГЕРОВСКИХ СОСТОЯНИЙ . 15
2.1 Шрёдингеровские кудиты 15
2.2 Генерация Шрёдингеровских кудитов из двухмодового запутанного состояния 24
2.3 Программная реализация 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 50
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 51
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Основы квантовой механики
Известно, что потенциально квантовый компьютер может эффективно реализовывать сложные алгоритмы, такие как факторизация больших целых чисел [1] и поиск несортированных данных [2], которые не могут быть реализованы компьютерами, работающими по классическим законам. Но реализация квантового компьютера требует эффективного выполнения универсального набора детерминированных гейтов на большом наборе кубитов [3]. Также кубиты подвержены влиянию окружающей среды, что требует хороших отказоустойчивых вычислительных систем. Все это предъявляет очень строгие требования к физической системе, в которой реализуются кубиты и квантовые логические элементы. Различные физические системы могут быть использованы для реализации разных квантовых протоколов. В частности, поскольку свет имеет максимально возможную скорость распространения и слабо взаимодействует с шумовым окружением, оптические системы ставятся в один ряд с атомными при проектировании возможных конфигураций квантового компьютера.
Хотя существует много предложенных подходов для оптических квантовых компьютеров, ни один из них не является полностью удовлетворительным, поскольку они довольно сложны и/или ограничены в применении. Например, реализация детерминированных гейтов [4] потребует недопустимо большого количества дополнительных операций [5,6]. Таким образом, вряд ли можно сказать, что проблема оптической квантовой обработки информации (КОИ) была окончательно решена [7] и вопрос о том, как эффективно использовать оптические ресурсы (механизмы взаимодействия, подходы, подходящие состояния) для КОИ, по-прежнему представляет большой интерес. К настоящему времени были разработаны три подхода к оптической КОИ: с использованием дискретных переменных (ДП) [5], непрерывных переменных (НП) [8] и комбинированных структур дискретных с непрерывными переменными (ДП-НП) [9]. Эти подходы используют один из аспектов корпускулярно-волнового дуализма [7] или оба из них [10, 11]. Каждый подход имеет свои достоинства и недостатки. А именно, в подходе ДП используются фотоны, которые очень слабо взаимодействуют друг с другом, поэтому операции с двумя кубитами могут быть реализованы только недетерминированным образом [12]. Вместо этого квантовые протоколы с НП-состояниями могут быть реализованы детерминировано, но их точность ограничена из-за того, что НП-запутанные состояния, такие как двухмодовое сжатое вакуумное состояние, не имеют максимальной запутанности [12]. Часто используемыми оптическими состояниями являются так называемые оптические Шрёдингеровские состояния (ШС) a0| — а) ± а1|а), где | ± а) - когерентные состояния с макроскопическими непрерывными амплитудами ±а и a0, а1 нормировочные коэффициенты. Эти состояния можно также назвать квантовыми суперпозициями двух противофазных световых импульсов. Размер когерентных компонент |а| имеет решающее значение в экспериментах по проверке квантовых основ и квантовых информационных технологий [13-17]. В общем-то, | — а) и |а) не являются строго ортогональными друг другу. Но, поскольку их совпадение определяется через |(а| — а) | = e-2|“|2, для | а| > 2 получается | (а| — а) | < 3 • 10-4 ~ 0, поэтому такие ШС можно рассматривать как хорошие кубиты. Их называют крупноразмерными ШС, где под «крупноразмерными» на практике подразумевают те, у которых | а| > 2. Однако очень трудно изготовить такие крупноразмерные ШС в реальных условиях с существующими нелинейностями третьего порядка. Хотя за последнее время был достигнут значительный прогресс [18-25], размер сгенерированных ШС, а также вероятность их генерации все еще оставляют желать лучшего для выполнения желаемых протоколов на практике. Другими словами, реализация достаточно крупных ШС остается проблемной и требует дополнительных огромных усилий. В связи с этим подход ДП-НП с так называемыми гибридными состояниями оказывается перспективным направлением, поскольку комбинация двух различных физических систем может предоставить новые возможности для более эффективной реализации оптических квантовых протоколов [26-33].
Поскольку прямая реализация ШС [33] в настоящее время невозможна из-за малости оптической нелинейности третьего порядка, имеет смысл рассмотреть другие методы [4], которые могут аппроксимировать выход у(3) нелинейности с высокой точностью. Схема генерации ШС путем подачи сжатого вакуума в пучковый делитель и подсчета фотонов во вспомогательной моде была рассмотрена в [29]. В работе [14] было также показано, что любое одномодовое квантовое состояние может генерироваться из вакуума путем поочерёдного применения операций смещения в сочетании с одиночными фотонами. В последнее время методы извлечения и добавления фотонов довольно распространены для создания различных типов ШС [34]. Эти методы широко продемонстрированы в современных оптических экспериментах [35-37].
Здесь мы представляем новый способ генерирования чётных/нечётных ШС большого размера, которые могут быть непосредственно использованы в работе квантового компьютера. Метод основан на введении так называемого «-представления чётных/нечётных ШС, которое является их разложением в базисе смещённых числовых состояний [16], и на предварительной генерации двухмодового запутанного состояния с фиксированным числом фотонов n [37]. Извлечение фотонов из смещённого состояния [20,38] в вспомогательном режиме позволяет генерировать состояния, которые при определенных условиях приближаются к чётным или нечётным ШС больших размеров с точностью выше 0,99, которые подходят для квантовых протоколов. Такой подход позволяет найти стратегию генерации вспомогательных двухмодовых запутанных состояний с учетом экспериментальных условий и недостатков, наложенных в реальности. Метод можно считать идеальным при условии, что вспомогательные двухмодовые запутанные состояния [37] уже подготовлены заранее.
Хотя существует много предложенных подходов для оптических квантовых компьютеров, ни один из них не является полностью удовлетворительным, поскольку они довольно сложны и/или ограничены в применении. Например, реализация детерминированных гейтов [4] потребует недопустимо большого количества дополнительных операций [5,6]. Таким образом, вряд ли можно сказать, что проблема оптической квантовой обработки информации (КОИ) была окончательно решена [7] и вопрос о том, как эффективно использовать оптические ресурсы (механизмы взаимодействия, подходы, подходящие состояния) для КОИ, по-прежнему представляет большой интерес. К настоящему времени были разработаны три подхода к оптической КОИ: с использованием дискретных переменных (ДП) [5], непрерывных переменных (НП) [8] и комбинированных структур дискретных с непрерывными переменными (ДП-НП) [9]. Эти подходы используют один из аспектов корпускулярно-волнового дуализма [7] или оба из них [10, 11]. Каждый подход имеет свои достоинства и недостатки. А именно, в подходе ДП используются фотоны, которые очень слабо взаимодействуют друг с другом, поэтому операции с двумя кубитами могут быть реализованы только недетерминированным образом [12]. Вместо этого квантовые протоколы с НП-состояниями могут быть реализованы детерминировано, но их точность ограничена из-за того, что НП-запутанные состояния, такие как двухмодовое сжатое вакуумное состояние, не имеют максимальной запутанности [12]. Часто используемыми оптическими состояниями являются так называемые оптические Шрёдингеровские состояния (ШС) a0| — а) ± а1|а), где | ± а) - когерентные состояния с макроскопическими непрерывными амплитудами ±а и a0, а1 нормировочные коэффициенты. Эти состояния можно также назвать квантовыми суперпозициями двух противофазных световых импульсов. Размер когерентных компонент |а| имеет решающее значение в экспериментах по проверке квантовых основ и квантовых информационных технологий [13-17]. В общем-то, | — а) и |а) не являются строго ортогональными друг другу. Но, поскольку их совпадение определяется через |(а| — а) | = e-2|“|2, для | а| > 2 получается | (а| — а) | < 3 • 10-4 ~ 0, поэтому такие ШС можно рассматривать как хорошие кубиты. Их называют крупноразмерными ШС, где под «крупноразмерными» на практике подразумевают те, у которых | а| > 2. Однако очень трудно изготовить такие крупноразмерные ШС в реальных условиях с существующими нелинейностями третьего порядка. Хотя за последнее время был достигнут значительный прогресс [18-25], размер сгенерированных ШС, а также вероятность их генерации все еще оставляют желать лучшего для выполнения желаемых протоколов на практике. Другими словами, реализация достаточно крупных ШС остается проблемной и требует дополнительных огромных усилий. В связи с этим подход ДП-НП с так называемыми гибридными состояниями оказывается перспективным направлением, поскольку комбинация двух различных физических систем может предоставить новые возможности для более эффективной реализации оптических квантовых протоколов [26-33].
Поскольку прямая реализация ШС [33] в настоящее время невозможна из-за малости оптической нелинейности третьего порядка, имеет смысл рассмотреть другие методы [4], которые могут аппроксимировать выход у(3) нелинейности с высокой точностью. Схема генерации ШС путем подачи сжатого вакуума в пучковый делитель и подсчета фотонов во вспомогательной моде была рассмотрена в [29]. В работе [14] было также показано, что любое одномодовое квантовое состояние может генерироваться из вакуума путем поочерёдного применения операций смещения в сочетании с одиночными фотонами. В последнее время методы извлечения и добавления фотонов довольно распространены для создания различных типов ШС [34]. Эти методы широко продемонстрированы в современных оптических экспериментах [35-37].
Здесь мы представляем новый способ генерирования чётных/нечётных ШС большого размера, которые могут быть непосредственно использованы в работе квантового компьютера. Метод основан на введении так называемого «-представления чётных/нечётных ШС, которое является их разложением в базисе смещённых числовых состояний [16], и на предварительной генерации двухмодового запутанного состояния с фиксированным числом фотонов n [37]. Извлечение фотонов из смещённого состояния [20,38] в вспомогательном режиме позволяет генерировать состояния, которые при определенных условиях приближаются к чётным или нечётным ШС больших размеров с точностью выше 0,99, которые подходят для квантовых протоколов. Такой подход позволяет найти стратегию генерации вспомогательных двухмодовых запутанных состояний с учетом экспериментальных условий и недостатков, наложенных в реальности. Метод можно считать идеальным при условии, что вспомогательные двухмодовые запутанные состояния [37] уже подготовлены заранее.
1. Построена модель, описывающая генерацию произвольных Шрё- дингеровских кудитов. Данная модель использует «-представление, ДП- НП взаимодействие и другие преимущества квантового подхода.
2. Показана эффективность модели при генерации Шрёдингеровских состояний. Высокая точность аппроксимации доказана двумя способами: через скалярное произведение двух состояний, а также через их функции Вигнера. Вероятность успешной генерации для данной схемы является достаточно высокой для практического применения.
3. Разработан программный продукт для проведения необходимых расчётов при реализации предложенной модели на практике. Для любой произвольной задачи, требующей использование Шрёдингеровских состояний, по заданным значениям точности и размера ШС определяются все сопутствующие величины, включая коэффициенты пропускания и отражения пучковых делителей для подготовки состояния на вход. Также программа позволяет оценить пригодность Шрёдингеровских кудитов, доступных для получения в условиях ограниченности оборудования.
4. Полученная модель и программный продукт могут быть использованы в дальнейшем для квантовой обработки информации и квантовых вычислений. Шрёдингеровские состояния представляют большой интерес в исследовании гибридных состояний, используются в ряде квантовых алгоритмов таких как: квантовая телепортация и другие.
2. Показана эффективность модели при генерации Шрёдингеровских состояний. Высокая точность аппроксимации доказана двумя способами: через скалярное произведение двух состояний, а также через их функции Вигнера. Вероятность успешной генерации для данной схемы является достаточно высокой для практического применения.
3. Разработан программный продукт для проведения необходимых расчётов при реализации предложенной модели на практике. Для любой произвольной задачи, требующей использование Шрёдингеровских состояний, по заданным значениям точности и размера ШС определяются все сопутствующие величины, включая коэффициенты пропускания и отражения пучковых делителей для подготовки состояния на вход. Также программа позволяет оценить пригодность Шрёдингеровских кудитов, доступных для получения в условиях ограниченности оборудования.
4. Полученная модель и программный продукт могут быть использованы в дальнейшем для квантовой обработки информации и квантовых вычислений. Шрёдингеровские состояния представляют большой интерес в исследовании гибридных состояний, используются в ряде квантовых алгоритмов таких как: квантовая телепортация и другие.
