Помощь студентам в учебе
Исследование уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с условием Неймана и многоточечным начально-конечным условием
|
АННОТАЦИЯ 2
ВЕДЕНИЕ 4
1. АБСТРАКТНАЯ СХЕМА 10
1.1. Относительно ограниченные операторы 10
1.2. Голоморфные вырожденные группы операторов 12
1.3. Относительно спектральные проекторы 17
1.4. Многоточечная начально-конечная задача 20
2. ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-КОЧИНОЙ 22
2.1. Вывод уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной 22
2.2. Задача Штурма-Лиувилля для оператора
Лапласа в прямоугольнике 24
2.3. Условие Неймана и многоточечная начально-конечная задача
для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 32
ВЕДЕНИЕ 4
1. АБСТРАКТНАЯ СХЕМА 10
1.1. Относительно ограниченные операторы 10
1.2. Голоморфные вырожденные группы операторов 12
1.3. Относительно спектральные проекторы 17
1.4. Многоточечная начально-конечная задача 20
2. ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
БАРЕНБЛАТТА-ЖЕЛТОВА-КОЧИНОЙ 22
2.1. Вывод уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной 22
2.2. Задача Штурма-Лиувилля для оператора
Лапласа в прямоугольнике 24
2.3. Условие Неймана и многоточечная начально-конечная задача
для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 32
Постановка задачи.
Рассмотрим заданное в открытой ограниченной области G С Rd, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде [3].
Пусть G С Rd - ограниченная область с границей @G класса C 1. Будем искать функцию u = u(x,t), удовлетворяющую в цилиндре G х R+ уравнению
(А — A)ut = «Ди + f; (0.0.1)
моделирует динамику движения жидкости в трещиновато-пористой среде [1], [2]. Параметры а, А - вещественные, характеризуют среду; параметр а 2 R+, а параметр А в случаях, когда не возникает противоречия физическому смыслу задачи, может принимать и отрицательные значения [21]; функция f = f (x,t) описывает внешнее воздействие. Примером такого внешнего воздействия может служить изменение температуры окружающей среды в силу природных явлений или физического процесса при различных способах добычи нефти, например при искусственном нагнетании давления в глубоких или труднодоступных скважинах на месторождениях нефти. Большой интерес со стороны исследователей к уравнению (0.0.15) вызван еще и потому, что оно описывает и другие физические процессы. Например, процесс влагопереноса в почве [38], процесс теплопроводности с "двумя температурами" [36], а, кроме этого, динамику некоторых неньютоновских жидкостей [37], [40].
Часто при математическом моделировании классических задач математической физики производится решение начально-краевых задач, однако, еще в середине прошлого века была предложена редукция уравнения в частных производных, заданного в функциональных пространствах, к операторному уравнению, заданному в гильбертовых или банаховых пространствах. В диссертации данный подход, разработанный А. Фавини и А. Яги, Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым, А.Б. Альшином и М.О. Корпусовым [34] применяется к описанном выше уравнению (0.0.1). В результате редукции мы приходим к операторному уравнению
LU = Mu + f. (0.0.2)
Затем в предположении, что свободный член f = f (t) определен на интервале I = (a, b), —1 < a ди , ,
—u(x,t) = 0(x), (x,t) 2 дQ х R (0.0.3)
д n
и многоточечному начально-конечному условию [7].
Pj(u(rj) — Uj) = 0, j = 0,n, (0.0.4)
Здесь для условия Неймана n = n(x), x 2 дQ, - единичная нормаль внешняя к области Q, а для многоточечной начально-конечной задачи Tj 2 I (Tj < Tj+i), Uj 2 Я, Pj - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позже), а Uj - произвольные векторы из банахова пространства Я.
Историография вопроса.
Наиболее широкое применение из всего многообразия гидродинамических моделей фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах получило модельное представление Баренблатта-Желтова-Кочиной, в которой описание течения в трещиновато-пористой породе производится методами механики сплошных сред. Основные положения и уравнения теории нестационарных фильтраций в трещиновато-пористых пластах сформулированы в работе Г. Баренблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной, а затем развиты многими авторами.
Условие Неймана являются частным случаем условия "баланса пото- ков"для уравнений соболевского типа, рассмотренных на связном ориентированном графе,то есть в одномерном случае. Эта теория в настоящее время активно развивается, первые же исследования были проведены в [43]. Уравнения соболевского типа с условиями Коши - Неймана в ограниченной области были изучены в [14], исследования же в случае замены условия Коши на многоточечное начально-конечное условие для такой задачи рассматривается впервые.
Перейдем теперь к обсуждению многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа. Впервые задача (0.0.4) была сформулирована в [9] (см. обзор [5]). Заметим, что если n = 1, то (0.0.4) становится более простой задачей
Ро(и(го) - ио) = Pi(U(TI) - ui) = 0, (0.0.5)
которая в [22] названа начально-конечной. Задача (0.0.3), (0.0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [5, 11, 46, 17, 41]. Если же в (0.0.4) положить n = 0, то задача (0.0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера - Сидорова [28]
Ро(и(то) - ио) = 0, (0.0.6)
которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [16] и технических [33] моделей. Отметим еще, что задача (0.0.6) является обобщением классической задачи Коши (см. обзоры [22, 39])
и(то) = ио.
Сказанное выше позволяет задачу (0.0.4) для уравнения (0.0.3) считать последовательным (через (0.0.5) и (0.0.6)) обобщением задачи Коши. Поскольку в дальнейшем будет изучаться задача (0.0.4) для уравнения (0.0.3), то скажем несколько слов о ситуации, в которой она возникла. Представим, что некоторый объект, например, конструкция из двутавровых балок, движется в околоземном пространстве. С поверхности Земли в различные моменты времени 77., k = 0,1, можно наблюдать только проекции этого объекта. Многоточечная начально-конечная задача (0.0.4) задает только те проекции этого объекта из возможных, которые определены создателем этой конструкции.
Данная работа посвящена изучению разрешимости уравнения Барен- -блатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) с условием Неймана (0.0.3) и многоточечным начально-конечным условием (0.0.4) при любом n 2 N. Для этого подробно доказывается обобщенная теорема о расщеплении пространств U и F на инвариантные подпространства операторов L и M линейного уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором в соответствии с расщеплением относительного спектра. Необходимость в обобщенной теореме о расщеплении возникла при изучении многоточечных начально-конечных условий (0.0.4).
Как известно, теорему о расщеплении в случае ^р)-ограниченного и ^,р)-секториального операторов M первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк [26]. А.В. Келлер эти результаты были развиты в [15], и применены к исследованию дихотомий решений [27]. Теорема о расщеплении в случае ^,р)-радиального оператора M применительно к дихотомиям решений появилась, например, в [20]. Впервые краткое доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае ^р)-ограниченного оператора M появилось в [9]. Случаи ^,р)-секториального и ^,р)-радиального операторов M рассмотрены соответственно в [44], [45].
Целью данной работы является исследование уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной с условием Неймана и многоточечным начально-конечным условием. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить основную литературу об уравнении Баренблатта-Желтова- Кочиной, об условии Неймана и о многоточечном начально-конечном условии;
- ознакомится с методами исследования уравнения Баренблатта-Жел- това-Кочиной с начально-краевыми условиями;
- изучить разрешимость уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с
начально-краевыми условиями;
- используя полученные результаты построить абстрактную схему исследования уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с начально-краевыми условиями;
- найти решение уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с условием Неймана и многоточечным начально-конечным условием.
Краткое содержание.
Кроме введения, заключения и списка литературы работа содержит две главы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора. Первая глава является пропедевтической, в ней приводятся необходимые сведения теории (Др)-ограниченных операторов и голоморфных вырожденных групп операторов, предложенной Г.А. Свиридюком [26] и развитой его учениками. Основные положения этой теории адаптированы к нашей ситуации. Здесь же содержится доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (Др)-ограниченного оператора M, а так же доказательство однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа в случае (L, ^-ограниченности оператора M.
Во второй главе работы исследуется разрешимость задачи Неймана (0.0.3) и многоточечной начально-конечной задачи (0.0.4) для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), заданного в ограниченной области. В первом параграфе приводится вывод уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной (0.0.1). Результаты второй главы опубликованы в [48]. Во втором параграфе второй главы приводится конкретный пример решения задачи Неймана и многоточечной начально-конечной задачи в прямоугольнике, для чего используются сведения из [12] о решении задачи Штурма - Ли- увилля.
Благодарности.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность пpофессоpу Геоpгию Анатольевичу Свиpидюку за возможность прикоснуться к науке. Особую благодарность автор выражает своему научному руководителю Минзиле Алмасовне Сагадеевой за четкое и грамотное руководство, а также за доброе сердце и чуткость. Автор выражает признательность своему наставнику Софье Александровне Загребиной, а также коллективу кафедр уравнений математической физики и математического и компьютерного моделирования Южно-Уральского государственного университета за конструктивную критику, а так же своему супругу Краснову Илье Борисовичу за веру, терпение и юмор в сложных ситуациях.
Рассмотрим заданное в открытой ограниченной области G С Rd, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде [3].
Пусть G С Rd - ограниченная область с границей @G класса C 1. Будем искать функцию u = u(x,t), удовлетворяющую в цилиндре G х R+ уравнению
(А — A)ut = «Ди + f; (0.0.1)
моделирует динамику движения жидкости в трещиновато-пористой среде [1], [2]. Параметры а, А - вещественные, характеризуют среду; параметр а 2 R+, а параметр А в случаях, когда не возникает противоречия физическому смыслу задачи, может принимать и отрицательные значения [21]; функция f = f (x,t) описывает внешнее воздействие. Примером такого внешнего воздействия может служить изменение температуры окружающей среды в силу природных явлений или физического процесса при различных способах добычи нефти, например при искусственном нагнетании давления в глубоких или труднодоступных скважинах на месторождениях нефти. Большой интерес со стороны исследователей к уравнению (0.0.15) вызван еще и потому, что оно описывает и другие физические процессы. Например, процесс влагопереноса в почве [38], процесс теплопроводности с "двумя температурами" [36], а, кроме этого, динамику некоторых неньютоновских жидкостей [37], [40].
Часто при математическом моделировании классических задач математической физики производится решение начально-краевых задач, однако, еще в середине прошлого века была предложена редукция уравнения в частных производных, заданного в функциональных пространствах, к операторному уравнению, заданному в гильбертовых или банаховых пространствах. В диссертации данный подход, разработанный А. Фавини и А. Яги, Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым, А.Б. Альшином и М.О. Корпусовым [34] применяется к описанном выше уравнению (0.0.1). В результате редукции мы приходим к операторному уравнению
LU = Mu + f. (0.0.2)
Затем в предположении, что свободный член f = f (t) определен на интервале I = (a, b), —1 < a ди , ,
—u(x,t) = 0(x), (x,t) 2 дQ х R (0.0.3)
д n
и многоточечному начально-конечному условию [7].
Pj(u(rj) — Uj) = 0, j = 0,n, (0.0.4)
Здесь для условия Неймана n = n(x), x 2 дQ, - единичная нормаль внешняя к области Q, а для многоточечной начально-конечной задачи Tj 2 I (Tj < Tj+i), Uj 2 Я, Pj - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позже), а Uj - произвольные векторы из банахова пространства Я.
Историография вопроса.
Наиболее широкое применение из всего многообразия гидродинамических моделей фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах получило модельное представление Баренблатта-Желтова-Кочиной, в которой описание течения в трещиновато-пористой породе производится методами механики сплошных сред. Основные положения и уравнения теории нестационарных фильтраций в трещиновато-пористых пластах сформулированы в работе Г. Баренблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной, а затем развиты многими авторами.
Условие Неймана являются частным случаем условия "баланса пото- ков"для уравнений соболевского типа, рассмотренных на связном ориентированном графе,то есть в одномерном случае. Эта теория в настоящее время активно развивается, первые же исследования были проведены в [43]. Уравнения соболевского типа с условиями Коши - Неймана в ограниченной области были изучены в [14], исследования же в случае замены условия Коши на многоточечное начально-конечное условие для такой задачи рассматривается впервые.
Перейдем теперь к обсуждению многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа. Впервые задача (0.0.4) была сформулирована в [9] (см. обзор [5]). Заметим, что если n = 1, то (0.0.4) становится более простой задачей
Ро(и(го) - ио) = Pi(U(TI) - ui) = 0, (0.0.5)
которая в [22] названа начально-конечной. Задача (0.0.3), (0.0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [5, 11, 46, 17, 41]. Если же в (0.0.4) положить n = 0, то задача (0.0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера - Сидорова [28]
Ро(и(то) - ио) = 0, (0.0.6)
которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [16] и технических [33] моделей. Отметим еще, что задача (0.0.6) является обобщением классической задачи Коши (см. обзоры [22, 39])
и(то) = ио.
Сказанное выше позволяет задачу (0.0.4) для уравнения (0.0.3) считать последовательным (через (0.0.5) и (0.0.6)) обобщением задачи Коши. Поскольку в дальнейшем будет изучаться задача (0.0.4) для уравнения (0.0.3), то скажем несколько слов о ситуации, в которой она возникла. Представим, что некоторый объект, например, конструкция из двутавровых балок, движется в околоземном пространстве. С поверхности Земли в различные моменты времени 77., k = 0,1, можно наблюдать только проекции этого объекта. Многоточечная начально-конечная задача (0.0.4) задает только те проекции этого объекта из возможных, которые определены создателем этой конструкции.
Данная работа посвящена изучению разрешимости уравнения Барен- -блатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) с условием Неймана (0.0.3) и многоточечным начально-конечным условием (0.0.4) при любом n 2 N. Для этого подробно доказывается обобщенная теорема о расщеплении пространств U и F на инвариантные подпространства операторов L и M линейного уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором в соответствии с расщеплением относительного спектра. Необходимость в обобщенной теореме о расщеплении возникла при изучении многоточечных начально-конечных условий (0.0.4).
Как известно, теорему о расщеплении в случае ^р)-ограниченного и ^,р)-секториального операторов M первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк [26]. А.В. Келлер эти результаты были развиты в [15], и применены к исследованию дихотомий решений [27]. Теорема о расщеплении в случае ^,р)-радиального оператора M применительно к дихотомиям решений появилась, например, в [20]. Впервые краткое доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае ^р)-ограниченного оператора M появилось в [9]. Случаи ^,р)-секториального и ^,р)-радиального операторов M рассмотрены соответственно в [44], [45].
Целью данной работы является исследование уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной с условием Неймана и многоточечным начально-конечным условием. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить основную литературу об уравнении Баренблатта-Желтова- Кочиной, об условии Неймана и о многоточечном начально-конечном условии;
- ознакомится с методами исследования уравнения Баренблатта-Жел- това-Кочиной с начально-краевыми условиями;
- изучить разрешимость уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с
начально-краевыми условиями;
- используя полученные результаты построить абстрактную схему исследования уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с начально-краевыми условиями;
- найти решение уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной с условием Неймана и многоточечным начально-конечным условием.
Краткое содержание.
Кроме введения, заключения и списка литературы работа содержит две главы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора. Первая глава является пропедевтической, в ней приводятся необходимые сведения теории (Др)-ограниченных операторов и голоморфных вырожденных групп операторов, предложенной Г.А. Свиридюком [26] и развитой его учениками. Основные положения этой теории адаптированы к нашей ситуации. Здесь же содержится доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (Др)-ограниченного оператора M, а так же доказательство однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа в случае (L, ^-ограниченности оператора M.
Во второй главе работы исследуется разрешимость задачи Неймана (0.0.3) и многоточечной начально-конечной задачи (0.0.4) для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), заданного в ограниченной области. В первом параграфе приводится вывод уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной (0.0.1). Результаты второй главы опубликованы в [48]. Во втором параграфе второй главы приводится конкретный пример решения задачи Неймана и многоточечной начально-конечной задачи в прямоугольнике, для чего используются сведения из [12] о решении задачи Штурма - Ли- увилля.
Благодарности.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность пpофессоpу Геоpгию Анатольевичу Свиpидюку за возможность прикоснуться к науке. Особую благодарность автор выражает своему научному руководителю Минзиле Алмасовне Сагадеевой за четкое и грамотное руководство, а также за доброе сердце и чуткость. Автор выражает признательность своему наставнику Софье Александровне Загребиной, а также коллективу кафедр уравнений математической физики и математического и компьютерного моделирования Южно-Уральского государственного университета за конструктивную критику, а так же своему супругу Краснову Илье Борисовичу за веру, терпение и юмор в сложных ситуациях.
Таким образом, в первой главе приводится алгоритм решения задачи Неймана и многоточечной начально-конечной задачи для уравнений Соболевского типа с (Др)-органиченным оператором M. Полученный алгоритм применяется для исследования конкретных детерминированных вырожденных моделей соответствующего класса. А именно, в работе доказывается однозначная разрешимость уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной в области, а также уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной в области с условием Неймана и многоточечными начально-конечными условиями. Полученные результаты иллюстрируются конкретными примерами.
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Баренблатта-Желтова- Кочиной в области с условием Неймана и многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Баренблатта-Желтова- Кочиной в области с «белым шумом».
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Баренблатта-Желтова- Кочиной в области с условием Неймана и многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Баренблатта-Желтова- Кочиной в области с «белым шумом».
