Оптимальное управление решениями нестационарной модели Гранберга

Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 4
1. Теоретические сведения 10
1.1. Относительно p-регулярные матрицы 10
1.2. Разрешающие потоки матриц 12
1.3. Задача Шоуолтера - Сидорова 14
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 16
2.1. Модель Гранберга 16
2.2. Решение задачи Шоуолтера - Сидорова 17
2.3. Оптимальное управление 20
2.4. Алгоритм численного решения задачи 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 31

Купить

Пусть L и M - квадратные матрицы порядка n, det L = 0, тогда система
Lx = Mx + f (1)
представляет собой вырожденную балансовую модель В. В. Леонтьева в денежной форме [11]. Здесь x = col (x1,..., xn) и x = col (x1,..., xn) - вектор- функции валового выпуска продукции и его прироста соответственно; L - матрица удельных капитальных затрат, M = I — A, A - матрица удельных прямых затрат; f - вектор-функция, определяющая конечный спрос.
Системы вида (1) при условии det L = 0 имеют в литературе различные названия, например, в [1], [19] их называют алгебро-дифференциальными, в [21], [22] - дифференциально-алгебраическими, в [2] - вырожденными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые системы вида (1) было предложено называть системой леонтьевского типа в [17]. Немного позже подобные системы возникли и в других областях знаний, а именно, в задачах гидродинамики [5], метрологии [20] и др., в том числе и в [3]. При этом, впервые системы вида (1) неразрешенные относительно производной исследовал В. Леонтьев. Вместе с тем, системы леонтьевского типа являются частным случаем уравнений соболевского типа [24]. В данной работе термин «системы леонтьевского типа» будем употреблять по отношению к системе вида (1) как к математическому объекту, в случае сведения к подобной системе прикладной задачи из [3], будем говорить о модели Гранберга.
Для достижения определенных целей в работе любой экономической системы необходимо управление, поскольку в случае отсутствия управления такой системой, с течением времени в ней начинается разбалансирование. Поэтому использование методов теории оптимального управления позволяет перейти к более адекватным моделям с учетом управления. Оптимизационные межотраслевые межрегиональные модели предложил строить в 60-е годы XX в. А.Г. Гранберг [3], при этом рассматривались модели региональной или национальной экономики [10], [18]. Однако, еще В.В. Леонтьев отмечал возможность применения балансовых моделей к предприятию. В
работе А.В. Келлер [8] приведен пример балансовой модели для предприятия.
Несмотря на большое количество задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа, возникших в последнее время в приложениях, в современной математической литературе представлено мало образцов их решения. Особенно это относится к неоднородным системам дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. Рассмотрим основные из имеющихся на данный момент результатов в этой области.
Наиболее активно и успешно данное направление развивается в рамках научной школы, возглавляемой Г.А. Свиридюком [16], [4]. Можно сказать, что в основании данного направления исследования этой школы лежат работы Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [14], [15], в которых доказано существование и единственность решения задачи оптимального управления с начальным условием Коши для случая (L, ^-ограниченности оператора M. В диссертации Н.А. Манаковой [12] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера - Сидорова оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа.
В работах [6,7,9] рассматриваются различные виды задач оптимального управления для вырожденных балансовых динамических моделей леонтьевского типа
Lrr = Mx + f + Би, (2)
((дЬ - M)-1 b)P+1 (x(0) - X0) = 0, (3)
в том числе и задача оптимального управления с функционалом качества где матрица M (L,p)-регулярна, p 2 {0} U N, 0 = 0,p + 1, Cx(u,t) - фактические значения экономических показателей, y0(t) = (y01 (t),... ,y0n(t)) - плановые значения этих же показателей без скачкообразных изменений, 11-| | и 0 - норма и скалярное произведение в Rn соответственно, C - квадратная матрица порядка n, Nq - симметричные положительно определенные матрицы.
 
Система (2) учитывает управляющее воздействие на систему (вектор- функция Ви), т.е. в результате решения задачи определяется величина управления и и необходимый объем валового выпуска продукции x для достижения плановых показателей у0 = Cxo(t).
В задаче оптимального управления решениями нестационарной модели Гранберга будем рассматривать вырожденную динамическую балансовую модель
Lx(t) = a(t)Mx(t) + u(t), (5)
где L и M - квадратные матрицы порядка п, причем, быть может, det L = 0, матрица M - (L,p)-регулярна, p 2 {0} U N, a : [0, т] ! R+, и : [0, т] ! Rn. и = (и1,... ,un) - вектор-функция, характеризующая количественные показатели, связанные с поведением конечных потребителей, при этом для и необходимо выполнение условия
2
dt < d,
d = const, n - число отраслей экономической системы; х(и) 2 у, и 2 U@, у - пространство решений, U - пространство управлений, U@ С U - замкнутое выпуклое подмножество - множество допустимых управлений, удовлетворяющих (6). При этом пространство управлений
U = {и 2 L2 ((0, т); Rn) : и(р+1) 2 L ((0, т); Rn), p 2 {0} U N},
пространство решений
X = {x 2 L2 ((0, т); Rn) : x 2 L2 ((0, т); Rn)}.
В пространстве U выделено компактное выпуклое множество U@ - множество допустимых управлений.
Таким образом, требуется определить оптимальное значение v = col (v1,..., vn) 2 U@, необходимое для достижения минимальной разницы между фактическими и желаемыми значениями экономических показа- 
телей, т.е. такое, что
J(v) = min J(u) =
ueUd
= min ( PR Cx(q)(u,t) — y0qt) dt + PR (Nq u(q) (t), u(q) (t)) dt u2U@ q=00
при этом x(v) должен удовлетворять вырожденной балансовой модели (5) и условию Шоуолтера-Сидорова (3).
Из экономического смысла соответствующих слагаемых в балансовой модели, добавляются условия где w, - минимально необходимое количество объема продукции или услуг i-го вида деятельности;

(u), < 0. (9)
Целью выпускной квалификационной работы является разработка метода решения задачи оптимального управления нестационарной моделью Гранберга.
Для достижения данной цели в работе были поставлены следующие задачи:
1. Изучить литературы по методам решения задач на основе моделей леонтьевского типа.
2. Сформулировать задачу оптимального управления нестационарной модели Гранберга.
3. Найти решение одной задачи оптимального управления при данных плановых значениях экономических показателях и функции a(t).
4. Описать алгоритм численного решения задачи.
В работе используются методы математического моделирования, теории межотраслевого баланса, теории вырожденных (полу)групп и оптимального управления для уравнений соболевского типа, численный метод решения задачи жесткого управления для систем леонтьевского типа.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка.
Во введении поставлена цель и сформулированы задачи исследования, приведена постановка решаемой задачи и перечислены основные методы исследования.
В первой главе приведены предварительные сведения, касающиеся относительно p-регулярных матрицам и разрешающих потоков матриц, сформулирована задача Шоуолтера - Сидорова. Данная глава состоит из трех разделов.
В первом разделе рассмотрены основные определения и формулы, связанные с понятием p-регулярных матриц, приведены лемма и теоремы, не являющиеся оригинальными для данной работы, но имеющие значение для проведенного исследования. Во втором разделе даны определения и формулы, связанные с понятием разрешающих потоков матриц, в третьем разделе непосредственно приведен общий вид решения задачи Шоуолтера - Сидорова.
Вторая глава посвящена теории оптимального управления и состоит из четырех разделов. В этой главе представлены основные результаты, полученные в ходе исследования.
В первом разделе главы рассмотрены допущения, при которых предполагалось решение задачи межотраслевого баланса. Эти допущения не соответствуют реальным ситуациям при решении подобного рода задач, поэтому для решения задачи использованы методы теории вырожденных (полугрупп и оптимального управления для уравнений соболевского типа. Во втором разделе представлено решение задачи Шоуолтера - Сидорова в общем виде, а также разобран пример решения задачи на основе примера, рассмотренного в монографии А.Г. Гранберга [3]. В третьем разделе представлено решение задачи оптимального управления в общем виде, а также разобран пример оптимального управления решениями нестационарной модели Гранберга, где в качестве плановых значениях экономических показателях взят полином второго порядка, функция a(t) = t, при управляющим воздействии в виде полиномов третьего порядка. В четвертом разделе предложен алгоритм численного решения задачи оптимального управления нестационарной модели Гранберга.
Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю Минзиле Алмасовне Сагадеевой за постановку задачи; профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за предоставленную возможность повышения уровня образования; коллективам кафедр уравнений математической физики и математического и компьютерного моделирования ЮУрГУ за конструктивную критику в ходе исследования и профессиональную поддержку.

Купить