Аннотация 2
Введение 4
1. Уравнения соболевского типа 6
1.1. Относительно а-ограниченные операторы 7
1.2. Разрешающие группы операторов 10
2. Дифференциальные уравнения на геометрических
графах 12
2.1. Обобщенная задача Штурма - Лиувилля 12
2.2. Собственные функции и собственные значения 19
3. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной 26
3.1. Постановка задачи 26
3.2. Редукция задачи 26
3.3. Решение задачи 28
3.4. Пример 29
4. Уравнение Хоффа 32
4.1. Постановка задачи 32
4.2. Редукция задачи 33
4.3. Решение задачи 34
4.4. Пример 35
Заключение 39
Данное исследование относится к двум направлениям: обе рассматриваемые задачи относятся как к теории уравнений соболевского типа, так и дифференциальным уравнениям на графе.
Пусть G = G(V, E) - конечный связный ориентированный геометрический граф. Множество вершин графа V = { Е} представим в виде объединения двух подмножеств V = { Е0} и V = {у”} "подвижных” и "неподвижных” вершин графа. Множество E = {E^} - множество ребер Ej, снабженных длиной lj и толщиной dj соответственно, причем будем разделять множества E“(Е) - множество ребер, выходящих из Е и E!(Е) - множество ребер, входящих в Vi.
На каждом ребре Ej геометрического графа G зададим линейное уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной
Aj Ujt Ujxxt — &j ujxx;
моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинно- вато-пористой среде, и линеаризованные уравнения Хоффа
Aj Uj t + UjxxA. — &j Uj, (2)
моделирующие выпучивание конструкции из балок.
Компоненты неизвестной вектор-функции u = (U1,U2,..., Uj,...) уравнений (1) и (2) в вершинах V графа G удовлетворяют краевым условиям
Uj(0; t) = uk(lk,t), EjE 2 Ea(V-) U E!(Е0) (3)
X dj Ujx(0,t) - X dk Ukx(0,t)= 0 (4)
Uj(0,t) = Uk(lk,t) = 0, Ej,Ek 2 ВДЕ") U E!(Е"), (5)
а также начальным условиям Коши
Uj(x, 0) = Uj0(x), x 2 (0, lj). (6)
Первым, кто начал изучать модели, относящие ся как к уравнениям соболевского типа, так и уравнениям, заданным на геометрических графах, был Г.А. Свиридюк [15]. Описания фазовых пространств уравнений на графе были сделаны В.В. Шеметовой [23] как для линейных, так и для нелинейных моделей. Впоследствии эти результаты были расширены учениками Георгия Анатольевича, на графе стали изучать помимо задачи Коши, задачу Шоуолтера - Сидорова и начально-конечные задачи, задачи оптимального управления и обратные задачи, исследовать такие уравнения на устойчивость. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной, Хоффа на графе в более простой постановке были изучены в работах [16], [13], [14]. Задача Штурма - Лиувилля в случае, когда граф состоит только из подвижных вершин, разобрана в [2]. Магистерская работа выполнена под руководством Георгия Анатольевича и продолжает расширять знания в этой области. Основные результаты магистерской диссертации опубликована в [3].
В работе исследована разрешимость задачи Коши для двух неклассических моделей математической физики: Баренблатта - Желтова - Кочиной и Хоффа, заданных на графе. Разобраны новые случаи, касающиеся постановки задачи на графе: на ребрах графа задаются уравнения с различными коэффициентами, а также сам граф состоит не только из "неподвижных" , но и из "подвижных" вершин. Заметим, что линейные модели Баренблатта - Желтова - Кочиной и Хоффа, относящиеся к классу уравнений соболевского типа, являются лишь простейшей иллюстраций постановки такой задачи на графах, и все проведенные выкладки легко перекладываются на случай полулинейных уравнений, а также исследования разрешимости задачи Коши, задачи Шоуолтера - Сидорова, начальноконечных задач и для других моделей уравнений соболевского типа.
