Тема: Линейные модели Баренблатта - Желтова - Кочиной и Хоффа на геометрическом графе

Данное исследование относится к двум направлениям: обе рассматриваемые задачи относятся как к теории уравнений соболевского типа, так и дифференциальным уравнениям на графе.
Пусть G = G(V, E) - конечный связный ориентированный геометрический граф. Множество вершин графа V = { Е} представим в виде объединения двух подмножеств V = { Е0} и V = {у”} "подвижных” и "неподвижных” вершин графа. Множество E = {E^} - множество ребер Ej, снабженных длиной lj и толщиной dj соответственно, причем будем разделять множества E“(Е) - множество ребер, выходящих из Е и E!(Е) - множество ребер, входящих в Vi.
На каждом ребре Ej геометрического графа G зададим линейное уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной
Aj Ujt Ujxxt — &j ujxx;
моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинно- вато-пористой среде, и линеаризованные уравнения Хоффа
Aj Uj t + UjxxA. — &j Uj, (2)
моделирующие выпучивание конструкции из балок.
Компоненты неизвестной вектор-функции u = (U1,U2,..., Uj,...) уравнений (1) и (2) в вершинах V графа G удовлетворяют краевым условиям
Uj(0; t) = uk(lk,t), EjE 2 Ea(V-) U E!(Е0) (3)
X dj Ujx(0,t) - X dk Ukx(0,t)= 0 (4)
Uj(0,t) = Uk(lk,t) = 0, Ej,Ek 2 ВДЕ") U E!(Е"), (5)
а также начальным условиям Коши
Uj(x, 0) = Uj0(x), x 2 (0, lj). (6)
Первым, кто начал изучать модели, относящие ся как к уравнениям соболевского типа, так и уравнениям, заданным на геометрических графах, был Г.А. Свиридюк [15]. Описания фазовых пространств уравнений на графе были сделаны В.В. Шеметовой [23] как для линейных, так и для нелинейных моделей. Впоследствии эти результаты были расширены учениками Георгия Анатольевича, на графе стали изучать помимо задачи Коши, задачу Шоуолтера - Сидорова и начально-конечные задачи, задачи оптимального управления и обратные задачи, исследовать такие уравнения на устойчивость. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной, Хоффа на графе в более простой постановке были изучены в работах [16], [13], [14]. Задача Штурма - Лиувилля в случае, когда граф состоит только из подвижных вершин, разобрана в [2]. Магистерская работа выполнена под руководством Георгия Анатольевича и продолжает расширять знания в этой области. Основные результаты магистерской диссертации опубликована в [3].

Купить

В работе исследована разрешимость задачи Коши для двух неклассических моделей математической физики: Баренблатта - Желтова - Кочиной и Хоффа, заданных на графе. Разобраны новые случаи, касающиеся постановки задачи на графе: на ребрах графа задаются уравнения с различными коэффициентами, а также сам граф состоит не только из "неподвижных" , но и из "подвижных" вершин. Заметим, что линейные модели Баренблатта - Желтова - Кочиной и Хоффа, относящиеся к классу уравнений соболевского типа, являются лишь простейшей иллюстраций постановки такой задачи на графах, и все проведенные выкладки легко перекладываются на случай полулинейных уравнений, а также исследования разрешимости задачи Коши, задачи Шоуолтера - Сидорова, начальноконечных задач и для других моделей уравнений соболевского типа.
Купить