Предисловие 8
Введение
1. Вспомогательные сведения 11
1.1. Относительно a-ограниченные операторы 11
1.2. Аналитические группы уравнений соболевского типа 15
1.3. Относительный спектр и инвариантные пространства 17
1.4. Банаховы многообразия и векторные поля 19
2. Дихотомии решений в пространствах дифференцируемых "шумов” 22
2.1. Пространства "шумов” 22
2.2. Инвариантные пространства стохастического уравнения соболев¬ского типа 25
2.3. Экспоненциальные дихотомии стохастического уравнения Барен- блата - Желтова - Кочиной
в пространствах дифференциальных форм 28
Библиографический список 33
Постановка задачи. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной
(А — A)U = aAu + f (0.1)
моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-по- ристой среде [1]. Параметры а и А — вещественны и характеризуют соответственно среду и свойства жидкости, функция f = f (x) играет роль внешнего воздействия. Целью работы является исследование дихотомий решений однородного стохастического уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в пространстве дифференциальных форм определенных на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края. Для этого уравнение (0.1) рассматривается как линейное стохастическое уравнение соболевского типа
L Л = МЛ, (0.2)
где Л = Л(t) — искомый стохастический процесс, Л — его производная Нельсона - Гликлиха [2], [24], [31], операторы L,M — линейные и непрерывные, причем оператор М ^,р)-ограничен, р 2 {0} U N.
Актуальность темы исследования. Исследование разрешимости начально-краевых задач для уравнения (0.1) в банаховых пространствах с условием Коши основано на подходе, описанном, например, в [7] — [8], [30] — [31]. Там это уравнение сводилось к абстрактному линейному уравнению соболевского типа
Lu = Mu + f (0.3)
в подходящих функциональных пространствах U и р. В [9] впервые были рассмотрены дихотомии решений абстрактного однородного уравнения соболевского типа (0.1), где оператор М ^,р)-ограничен, р 2 {0} U N. Расщепление подобных пространств и расщепление действия эллиптических операторов в пространствах гладких дифференциальных форм, определенных на гладких рима- новых многообразиях без края, были исследованы в [27]. В [5], [6] рассматривался вопрос существования экспоненциальных дихотомий решений динамических уравнений соболевского типа, рассматриваемых в квазибанаховых пространствах. Работы [22] ,[23] посвящены исследованию асимптотической устойчивости уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в смысле Ляпунова. Здесь применяется метод функций Ляпунова, построен вычислительный эксперимент на основе метода Галеркина.
Далее начались исследования стохастических уравнений [15] — [18], [33] соболевского типа
Ln = Mn + Nu, (0.4)
где n = n(t) — стохастический процесс, П — его производная Нельсона - Глик- лиха, w = w(t) — стохастический процесс, отвечающий внешнему воздействию; операторы L,M,N 2 L(U; F), причем оператор M (Др)-ограничен, р 2 {0}UN. В [15] приведены результаты изучения уравнения (0.4) в случае, когда оператор M ^,р)-секториален, р 2 {0} U N. Затем в [16] было рассмотрено уравнение (0.4) в случае, когда оператор M ^,р)-радиален, р 2 {0} U N. Причем во всех трех случаях [33], [15], [16] наряду с классической задачей Коши
П(0) = П0 (0.5)
рассматривалась и задача Шоуолтера - Сидорова [28], [29]
P(n(0) - По) = 0. (0.6)
В работе [17], где рассмотрены более общие начально-конечные условия для уравнения (0.4), и [18], где задачи Коши и Шоуолтера - Сидорова поставлены для уравнения соболевского типа высокого порядка. Отметим также, что имеются иные подходы к исследованиям стохастических уравнений, например, [12], [14], [20], [21]. В [33] в качестве конкретной интерпретации абстрактного стохастического уравнения (0.4) была рассмотрена стохастическая модель Ба- ренблатта - Желтова - Кочиной с аддитивным "белым шумом", заданная в ограниченной области. В [26], [27] данная модель была перенесена на риманово многообразие без края. В [36] изучался вопрос со разрешимости стохастического уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной пространстве дифференциальных форм.
Работа кроме введения и списка литературы содержит из две главы. Сразу отметим, что список литературы не претендует на полноту, а отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора. Первая глава носит пропедевтический характер. В ней содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно a-ограниченных операторов, а также соответствующих вырожденных аналитических группах операторов. Все факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [31]. Третий параграф первой главы содержит результаты, почерпнутые из работы Г.А. Свиридюка и А.В. Келлер [9]. Здесь приводятся сведения об инвариантных пространствах и экспоненциальных дихотомиях линейных уравнений соболевского типа являющиеся продолжением на работ, например, [4], [10], [11], [27], [19]. В четвертом параграфе изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга [3].
Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В первом параграфе в вводится в рассмотрение производная Нельсона - Гликлиха K- случайного процесса со значениями в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве, строятся пространства "шумов". Во втором параграфе статьи развивается теория стохастических уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами. Доказывается существование экспоненциальных дихотомий решений стохастического уравнения соболевского типа. В третьем параграфе описывается стохастический аналог уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в пространствах дифференциальных форм. Здесь приводится основной результат о существовании экспоненциальных дихотомий решений уравнений, опубликованный в [35].
Благодарности. Автор считает своим приятным долгом выразить свою искреннюю признательность проф. Г.А. Свиридюку за постановку задачи и многочисленные стимулирующие дискуссии.
В работе доказано существование экспоненциальных дихотомий решений стохастического линейного уравнения соболевского типа (0.2) с относительно ограниченным оператором, разделяющих пространство решений на устойчивое и неустойчивое инвариантные подпространства. Описаны устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства стохастического уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной, в пространстве дифференциальных форм, определенных на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края.
