Введение 3
1 Общие сведения о модальных логиках 4
2 Структурная полнота некоторых табличных и предтабличных логик . 11
3 Элементарные эквивалентности алгебраических систем 1-й и 2-й ступени 16
4 Теоретико-модельное соответствие Мальцева для линейных групп и колец 22
Заключение 24
Список использованных источников 25
В работе изучаются вопросы структурной полноты предтабличных модальных логик PT1, PT2 и PT5 и их табличных расширений. Производные правила (см. §1) образуют подкласс в классе всех допустимых в логике правил вывода. Логику называют структурно полной, если множества допустимых и производных правил совпадают. В §2 доказаны структурная полнота логики PT1 и всех её расширений (Теоремы 2.2 и 2.3). С другой стороны, доказана структурная неполнота логик PT2 и PT5 и всех их расширений, кроме a(PC) и ForM (Теоремы 2.6, 2.8 и 2.9). В качестве следствия установлена структурная полнота суперинтуиционистской логики LC и всех её табличных расширений (Теорема 2.5).
Исследования зависимости элементарной эквивалентности 1-й и 2-й сту¬пени и других модельных свойств линейных групп и колец от свойств по¬лей или колец коэффициентов восходят к работам А.И. Мальцева [1]. Одним из главных здесь является вопрос о выполнимости соответствия Мальцева — переносится ли их элементарная эквивалентность 1-й ступени на кольца коэффициентов. Видела [2] установил мальцевское соответствие для колец NT(n, K) (n >3) нильтреугольных n x n-матриц над ассоциативными кольцами с единицей и [6] для унипотентных подгрупп группы Шевалле над полями характеристики = 2, 3. См. также [5, Вопрос 3.2].
Соответствие Мальцева выполняется для унитреугольных групп UT(n, K) и колец Ли, ассоциированных с NT(n, K), когда кольца коэффициентов - коммутативные, [7] и [3]. Однако, в некоммутативном случае соответствие Мальцева может нарушаться, как показано в [3].
В §4 мы покажем, что элементарная эквивалентность 2-й ступени колец NT(n, K) над ассоциативными кольцами с единицей вообще говоря не переносится на кольца коэффициентов (Теорема 4.3).
Наше исследование показало, что предтабличная модальная логика PT 1 и все ее расширения структурно полны, а логики PT2 и PT 5 и все ее рас¬ширения, за исключением a(PC) и F orkне являются структурно полными. В качестве следствия мы установили структурную полноту суперинтуиционистской логики LC и всех ее расширений.
Также выявлено, что мальцевское соответствие для NT(n, K) нарушается в ассоциативном случае в языке второго порядка, т.е. элементарная эквивалентность 2-й ступени колец NT(n, K) над ассоциативными кольцами с единицей вообще говоря не переносится на кольца коэффициентов.
