Алгебру Шевалле над полем K, ассоциированную с произвольной системой корней Φ, характеризуют базисом Шевалле, см. § 1.
Элементы er (r ∈ Φ+) базиса Шевалле образуют базис ее нильтреугольной подалгебры NΦ(K); пишем NΦ(q), когда K = GF (q).
В [4] записаны задачи перечисления специальных идеалов и
всех идеалов алгебр NΦ(q) классических типов, соответственно, проблемы (1) и (2).
Для типа An−1 проблема (1) заключается в перечислении всех
идеалов ассоциативной алгебры NT (n, K) нижних нильтреугольных
n × n матриц над K. В [8] указано комбинаторное выражение числа
всех идеалов ассоциативной алгебры NT (n, q) := NT (n, K), K = GF (q), и
тем самым, проблема (1) из [4] решена для типа An−1.
В случае Φ = An−1 проблему (2) удается решить в § 5, используя
канонический базис лиева идеала NT (n, K), построенный в [11].
Полное решение проблемы (1) дает в § 6 теорема 6.2.
Для любого лиева идеала алгебры NT (n, K) нильтреугольных n×n
матриц над полем K выявлен канонический (единственный) базис.
С его помощью при K = GF (q) найдено комбинаторное выражение
числа всех лиевых идеалов (теорема 4.2). Это решает для одного из
типов записанную в 2001г. проблему (2) перечисления всех идеалов
нильтреугольной подалгебры NΦ(K) алгебр Шевалле классических
типов.
В теореме 6.2 завершается решение записанной там же проблемы (1) перечисления специальных идеалов алгебры Ли NΦ(K). Для
одного из четырех типов она была решена в 2015г.; в этом случае
она заключалась в перечислении всех идеалов (ассоциативной) алгебры NT (n, K), K = GF (q).
