Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОСКОЛКОВА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Актуальность темы исследования
Пусть Q С Rn, n Е N{1}, ограниченная область с границей dQ класса Cгх. В цилиндре Q х R рассмотрим систему уравнений
(1 — ^V2)vt = vV2v — (v • V)v — Vp + f, V • v = 0, (0.0.1)
моделирующую динамику скорости v = (v1,v2,... ,vn), vk = vk(x,t), k = 1,2,...,n, и давления p = p(x,t), (x,t) Е Q х R, вязко-упругой несжимаемой жидкости. Здесь параметр v Е R+ характеризует вязкие, а параметр ;г Е R - упругие свойства жидкости. Прообразом такой жидкости являются высокопарафиновые сорта нефти, добываемые, в частности, на месторождениях Западной Сибири. Систему (0.0.1) впервые получил и исследовал А.П. Осколков [64]. В [80] Г.А. Свиридюком начато изучение модифицированной системы уравнений (0.0.1)
(А — V2)ut = vV2u — a(u • V)u — Vp, V • u = 0, (0.0.2)
которая впоследствии получила название "система Осколкова" [68]. Для решений уравнений (0.0.2) рассмотрим "условие прилипания к границе области"
u(x,t) = 0, (x,t) Е дQ х R. (0.0.3)
Как известно, реологическое соотношение Ньютона, моделирующее динамику вязких несжимаемых жидкостей имеет вид [38], [44], [57]
a = 2vD — pI. (0.0.4)
Здесь а и D - тензоры напряжений и скоростей деформаций соответственно, v Е R+ - коэффициент вязкости, I - единичная матрица, p характеризует давление. После подстановки (0.0.4) в уравнения движения сплошной несжимаемой среды в форме Коши
vt = V • а, V • v = 0, (0.0.5)
получим знаменитую систему уравнений Навье - Стокса
vt = vV2v — (v • V)v — Vp, V • v = 0, (0.0.6)
моделирующую эволюцию скорости и давления вязкой несжимаемой жидкости. Исследованию уравнений (0.0.6) в различных аспектах посвящена обширная литература. Отметим здесь фундаментальные монографии О.А. Ладыженской [60] и Р. Темама [104].
Различные эффекты (например, эффект отдачи или эффект затухающей памяти), возникающие при перекачке нефти по трубопроводам и не укладывающиеся в рамки модели (0.0.6), побудили многих исследователей к ревизии соотношения (0.0.4) [38], [44], [57]. В частности, было предложено реологическое соотношение В.А. Павловского [72]
a = 2vD + &Dt — pI, (0.0.7)
апробированное экспериментально [45]. Здесь коэффициент ш имеет физический смысл релаксационной вязкости, и по замыслу он строго положителен. Из (0.0.7) сразу следует, что скорость жидкости в отсутствие напряжений не сразу становится равной нулю, как в модели Ньютона (0.0.4), а стремится к нулю экспоненциально, что дает требуемый релаксационный эффект.
Однако позже, в экспериментах с водными растворами полимеров выяснилось, что константа ш может принимать и отрицательные значения [36]. Причем при отрицательных значениях ш модель (0.0.7) демонстрирует сильную неустойчивость. Анализ соотношения (0.0.7), проведенный в [93] с позиций реологической теории [38], [44], [57], показал, что в случае ш Е R+ данная модель обнаруживает свойства, характерные для твердых тел. Следовательно, она не может представлять какую-либо неньютонос- кую жидкость [38], и поэтому в [93] предложено называть такие объекты средами.
Если реологическое соотношение (0.0.7) подставить в уравнение (0.0.5), то получим систему уравнений (0.0.1), которая после простейших алгебра
ических преобразований превратится в систему (0.0.2). Здесь а = А = ж-1, но в дальнейшем система (0.0.2) будет рассматриваться при различных значениях параметров а и А. Первоначально различные начально-краевые задачи для уравнений (0.0.1) изучал А.П. Осколков [64], [66], [67], [68], затем к исследованиям присоединились его ученики [71], [70]. Результаты их исследований заключались, главным образом, в доказательстве однозначной разрешимости различных начально-краевых задач для системы (0.0.1) и разнообразных ее обобщений при положительных значениях параметра ж в ограниченных и неограниченных областях пространства Rn, n Е [2,3,4].
Для уравнений вида (??) [121], [69] в специальным образом выбранных пространствах может быть построена абстрактная модель
Ыь = Mu + N (u), (0.0.8)
где L, M - линейные, а N - нелинейный операторы [117]. Рассмотрим линеаризованную абстрактную модель
Lu = Mu + f, (0.0.9)
в банаховых пространствах U и F, причем операторы L Е L(U; F) (т.е. линеен и непрерывен), M Е Cl(U; F) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Пусть оператор M (L, р)-ограничен [2], причем его L-спектр удовлетворяет условию [3]
cL(M) aL(M), m Е N, причем a^(M) = ty, существует
j=o
L замкнутый контур Yj C C, ограничивающий область Dj D aL(M), такой, что Dj П cL(M) = ty, Dk П Di = 0 при всех j, k, l = 1,m,k = l.
(0.0.10) Тогда существуют проекторы
LL(M)d[i Е L(F),j = 0,m (0.0.11)
где замкнутые контуры Yr определены (0.0.10), RL = ([1L-M)-1L - правая, а LL = L(pL - M)-1 - левая L-резольвенты оператора M. Пусть оператор M (Др)-ограничен, тогда существуют проекторы P Е L(U), Q Е L(F) такие, что PPj = PjP = Pj, QQj = QjQ = Qj, j = 0,т,и PkPi = PP = O, QkQi = QiQk = O, k, l = Щт, k = l.
Работа посвящена исследованию детерминированной и стохастической моделями (??), (??), которые рассматривается вместе с многоточечным начально-конечным условием.
Pj (u(Tj) — Uj) = 0, j = 0,m, (0.0.12)
Здесь Tj Е R, j = 0,m, такие, что Tj+1 > Tj, To > 0.
Цели и задачи
Степень разработанности темы исследования
Г.А. Свиридюк [80] первым начал изучение задачи Коши
u(x, 0) = u0(x) (0.0.13)
для уравнений (0.0.2) с условием (0.0.3) при отрицательных значениях параметра А, что эквивалентно отрицательным значениям параметра ;т. Пользуясь методом фазового пространства, разработанного им совместно с Т.Г. Сукачевой [94], он описал фазовое пространство задачи (0.0.2), (0.0.3) в случаях, когда А - однократное собственное значение линейной задачи Стокса
—v V2u — Vp = Аи.
В дальнейшем эти результаты были развиты и обобщены как Т.Г. Сукачевой [100] - [103] и ее учениками [?], [?], так и учениками Г.А. Свиридюка - Г.А. Кузнецовым [58], [90] и М.М. Якуповым [98], [115]. Кстати сказать, именно Г.А. Свиридюк [82] предложил новую трактовку как модели (0.0.2) так и модели (0.0.6), использованную затем в [58], [115].
Первым устойчивость нулевого решения в модели (0.0.1) начал А.П. Осколков [136]. Им доказана устойчивость нулевого решения в классической интерпретации, восходящей к [60], [104], при положительных значениях параметра ж. При отрицательных значениях параметра А устойчивость в двумерной модели (0.0.2), представленной как уравнение Осколкова
(А - Д)Д* = -.Д2^ - ', (0.0.14)
д (Х1,Х2)
впервые рассмотрели О.Г. Китаева и Г.А. Свиридюк [53] (подробности см. в диссертации О.Г. Китаевой [54]). Здесь модель (0.0.14) представляет динамику плоскопараллельного течения вязкоупругой несжимаемой жидкости. Исследование устойчивости и неустойчивости в общей модели Осколкова (0.0.2) при различных значениях параметра А до сих пор не проводились.
Уравнение (??) было получено ранее [117] как модель длинных волн в нелинейных дисперсионных средах
Aut — utxx = vuxx — auxu. (0.0.15)
Здесь было доказано существование солитонных решений, устойчивость и неустойчивость решений не рассматривались. Описание солитонных решений модели (0.0.15) было дано в работе А.П. Осколкова [66] независимо от работы [69]. В работе [84] была доказана простота фазового пространства задачи (0.0.3) для уравнения (0.0.15), устойчивость и неустойчивость тоже не рассматривалась. Уравнения соболевского типа в абстрактной форме имеют вид (0.0.8). Нередко их еще называют "уравнениями не типа Коши - Ковалевской" [62], [74], "псевдопараболическими уравнениями" [132], [136], "уравнениями, неразрешенными относительно старшей производной" [106]. Между тем, термин "уравнения соболевского типа" возник в работах как отечественных [56], так и зарубежных [125], [133] математиков. В диссертации мы будем придерживаться именно этого термина, считая все другие синонимами.
Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики [46], [140], исследования которых в разных аспектах в настоящее время переживают пору бурного расцвета. Одних только монографий полностью или частично посвященных этим уравнениям за последние двадцать лет вышло более двадцати. Назовем здесь только относящиеся к данной диссертации. Это монографии R.E. Showalter [118], [134], [135], A. Favini и A. Yagi [126], Г.В. Демиденко и В.С. Успенского [123], Н.А.Сидорова и соавторов [137], О.Г. Пяткова [131], Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [138], М.О. Корпусова, ?? Плетнера, ?? Свешникова [55]. Таким образом, актуальность темы диссертации заключается в качественном и численном исследовании устойчивости и неустойчивости в ряде моделей Осколкова.
Методология и методы исследования
Одним из основных методов исследования следует назвать теорию вырожденных полугрупп операторов. Основы этой теории были заложены Г.А. Свиридюком [81], а затем развиты в диссертации Т.А. Бокаревой [40], Л.Л. Дудко [48] и в особенности, в кандидатской [107] и докторской [108] В.Е. Федорова. Другим основным методом служит метод фазового пространства, основы которого были заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [94], суть которого заключается в следующем.
Lu = Mu (0.0.16)
или полулинейное
LU = Mu + N (u) (0.0.17)
уравнения соболевского типа в банаховом пространстве U редуцируется к линейному
U = Su
или полулинейному
U = Su + F (u)
стандартным уравнениям соответственно, определенным однако не на всем пространстве U, а на некотором его подмножестве ф, понимаемом как фазовое пространство уравнений (0.0.16), (0.0.17).
Оба метода легли в основу исследований задач оптимального управления как линейными [49], [75], [86], [109], так и полулинейными [63], [91], [92] уравнений соболевского типа. Кроме того, эти методы были основными при изучении дихотомий линейных уравнений соболевского типа (0.0.16) как в случаях (L, ^-ограниченного и (Др)-секториального [52], [89], так и в случае (Др)-радиального [79], [110] оператора M. Благодаря этим методам возникла и активно развивается теория начально-конечных задач для линейных уравнений [50], [51], [87]. Особо отметим роль этих методов в исследовании особенностей фазовых пространств полулинейных уравнений (0.0.17) [47], [88], [95]; и в создании теории уравнений соболевского типа на римановых многообразиях [96], [113]. Наконец, здесь же упомянем диссертации [54] и [152] непосредственно примыкающие к нашей диссертации.
Краткое содержание
Диссертация кроме введения содержит три главы и список литературы, который насчитывает ??? наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Кроме того, список содержит ??? работ, в которых диссертант выступает автором или соавтором (наряду с научным руководителем). В статьях, выполненных в соавторстве, научному руководителю принадлежит постановка задачи и идеи доказательств. Две из этих статей размещены в изданиях из Перечня ВАК РФ [142], [143].
Первая глава носит пропедевтический характер, в ней содержатся, как правило, известные результаты. В п.1 и в п.2 собраны результаты, почерпнутые из гл. 4 и гл. 5 монографии [138] соответственно, адаптированные к нашей ситуации. В п.3 изложена адаптация результатов из [61], [42]. П. 4 посвящен применению первого метода Ляпунова к исследованию устойчивости стационарного (нулевого) решения абстрактного полулинейного уравнения соболевского типа, фазовое пространство которого не является простым банаховым Ck-многообразием. Применение метода в ситуации с простым фазовым пространством впервые предложено в [53] (подробности см. [54]). Возможность распространить метод на случай непростого фазового пространства впервые дана в [144]. В п. 5 представлены результаты из справочника [105]. В п.6 содержится задача задача Штурма - Лиувилля на графе. Впервые она появилась в [145] (подробности см. в [?]), причем и постановка, и результаты отличаются от одноименной задачи в [78].

Купить