Реферат
Введение
1. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 6
1.1. Глобальные и локальные алгоритмы оптимизации 6
1.2. Градиентные и безградиентные методы локальной оптимизации 8
1.3. Детерминированные и стохастические методы оптимизации 11
1.4. Выводы по первой главе 13
2. ВЫБОР ПАРАМЕТРА ДЛЯ МЕТОДА ПИЯВСКОГО 15
2.1. Описание алгоритма метода Пиявского 15
2.2. Тестирование алгоритма Пиявского на различных функциях 16
2.3. Эффективность метода Пиявского в поиске минимумов на различных функциях: результаты экспериментального исследования 37
2.4. Выводы по второй главе 38
3. ЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ПИЯВСКОГО ДЛЯ ФУНКЦИИ
ВИДА |х - с^ 39
3.1. Выбор оптимального параметра 39
3.2. Анализ скорости сходимости метода Пиявского для функций |х — 1.5|9 на интервале [0;1,4] 41
3.3. Тестирование функций 41
3.4. Анализ скорости приближения к £ = 10-9 при различных д 44
3.5. Класс однородных алгоритмов 45
3.6. Ускорение сходимости метода Пиявского для функции |х—1.5|9 на
интервале [0;1,4] 46
3.7. Ускорение скорости сходимости метода Пиявского с помощью
параметра ц 47
3.8. Выводы по третьей главе 47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 49
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Компьютерная оптимизация является одной из наиболее активно развивающихся областей математики и информатики, которая находит применение практически во всех отраслях науки и техники. С ее помощью можно производить оптимальный выбор решений в финансовых вопросах, в проектировании, в сфере медицины и т.д. Кроме того, компьютерная оптимизация нашла свое применение в задачах, связанных с моделированием и анализом процессов, происходящих в сложных системах, таких как экономика, экология, транспортные сети и многое другое. Она позволяет осуществлять поиск оптимальных решений в сложных многокритериальных задачах, где необходимо учитывать множество ограничений. Также компьютерная оптимизация широко используется в науке и инженерии для улучшения производительности и оптимизации технических систем и процессов. Например, в авиационной промышленности эта область находит широкое применение при проектировании самолетов и создании оптимальных маршрутов полетов. В целом, компьютерная оптимизация является мощным инструментом для решения многих актуальных проблем современности и имеет большой потенциал для будущего развития.
Каждый метод оптимизации имеет свои преимущества и недостатки, а их выбор зависит от множества факторов. Успех оптимизации зависит от правильного выбора метода для решения конкретной задачи. Однако, выбор метода оптимизации может быть крайне сложным процессом, так как существует множество методов и подходов для решения задач оптимального управления и проектирования. Некоторые из них могут дать быстрый результат, но не всегда дают гарантию нахождения оптимального решения. Другие методы могут обеспечивать более точное решение, но требуют большого количества вычислительных ресурсов и времени. Необходимость объединения методов также часто возникает при решении сложных задач. Поэтому, правильный выбор метода и его использование является проблемой первостепенной важности.
Целью выпускной квалификационной работы является ускорение локальной сходимости метода Пиявского.
Поставленная цель предполагает необходимость решения следующих
задач:
1) обзор методов локальной и глобальной оптимизации;
2) реализация алгоритма Пиявского и определение оптимального
параметра;
3) исследование локальной сходимости метода Пиявского;
4) ускорение локальной сходимости метода Пиявского.
В ходе данной работы был выполнен обзор методов локальной и глобальной оптимизации. В качестве локальных методов были рассмотрены: метод Ньютона, метод касательных, метод Левенберга-Марквардта и метод сопряженных градиентов. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, а правильный выбор зависит от вида задачи. В качестве глобальных методов были исследованы некоторые методы, например: метод генетических алгоритмов и метод роевой оптимизации. Эти методы позволяют находить глобальный минимум функции без требования постоянного обновления производных, но при этом они могут иметь высокую вычислительную сложность.
Также был реализован метод Пиявского на языке Python. С помощью него был определен оптимальный параметр L = 250 для функции |х — с|9 при различных q. Из результатов исследования можно сделать вывод, что метод Пиявского имеет высокую эффективность в решении задач оптимизации на многомерных функциях с несколькими локальными минимумами.
В процессе работы была исследована скорость локальной сходимости метода Пиявского для функции |х — 1.5|Q при q = — 10,—9.9,... ,10 на интервале [0; 1.4]. Была выявлена зависимость между величиной q и скоростью сходимости. Полученные результаты могут быть применены для оптимальной настройки параметров этого метода при решении задач оптимизации на функции, где значение q имеет важное значение.
В результате работы алгоритм Пиявского был приведен к однородному виду и оптимизирован для функции |х — 1.5|9. Преобразование алгоритма к однородному виду позволило значительно ускорить процесс сходимости и улучшить точность решения задач оптимизации. Эти результаты могут быть использованы для дальнейшего улучшения алгоритма Пиявского и его применения в различных областях.
