Температурные поля при переменных теплофизических параметрах

Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 6
1. Методы решения квазилинейного уравнения теплопроводности 8
1.1. О некоторых сложностях решения квазилинейного уравнения
теплопроводности 8
1.2. Обзор методов решения квазилинейного уравнения
теплопроводности 9
1.3. Выводы по разделу 12
2. Постановка задачи 14
3. Теоретический раздел 16
3.1. Распределение тепла в пространстве 16
3.2. Постановка краевых задач 18
3.3. Разностные схемы 20
3.4. Устойчивая явная схема для уравнения теплопроводности 26
3.5. Приведение задачи к безразмерному виду 50
3.6. Выводы по разделу 53
4. Оценивание точности разработанных алгоритмов 54
4.1. Описание способа оценивания точности 54
4.2. Результаты сравнительных численных расчетов 56
4.3. Поведение схем в случае неустойчивости явной схемы 62
4.4. Машинное время счета для построенных схем 63
4.5. Выводы по разделу 64
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 66
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 68
Купить

Одним из актуальных направлений современной математической физики является изучение нелинейных математических моделей различных физикохимических явлений и процессов. Появление таких моделей обусловлено использованием в современной физике и технике воздействий на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения, пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения, ударных волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков. Линейные математические модели являются лишь определенным приближением при описании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются не в очень широком диапазоне значений.
Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров. При нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов, но и качественную картину их протекания. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теории и общих методов решения задач для которых в настоящее время не разработано.
Нелинейные параболические уравнения второго порядка служат основой многих математических моделей, используемых в физике, механике, биологии, химии и экологии. Например, квазилинейное уравнение теплопроводности
— (1)
при определенных условиях описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, течения крови в мелких кровеносных сосудах, распространения выбросов отрицательной плавучести, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах, химической кинетики и биологической активности.
Использование основных законов сохранения при математическом моделировании различных физических процессов нередко приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Среди уравнений указанного типа особенно часто встречаются квазилинейное уравнение теплопроводности (1). Его универсальный характер дает основание утверждать, что изучение краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой исследования. Несмотря на многочисленные работы по изучению процессов нелинейной теплопроводности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности. Поэтому численные методы решения подобных задач представляют особый интерес.
В работе рассматривается квазилинейное одномерное уравнение теплопроводности (1) в отсутствие источников тепла в среде, что означает ,
и в предложении, что теплоемкость и теплопроводность являются непрерывными функциями температуры:
“ “ — (2)
Целью дипломной работы является построение явной устойчивой разностной схемы для решения смешанной задачи для уравнения вида (2). Выбор смешанной задачи обусловлено тем, что практически интересные постановки задач математической физики содержат условия на границе (краевые условия) именно третьего рода.
Научная новизна работы состоит в построении явной абсолютно устойчивой разностной схемы для решения третьей смешанной задачи для уравнения (2). Выбор третьей смешанной задачи для исследования обусловлен тем, что практически интересные постановки задач математической физики содержат условия на границе (краевые условия) именно третьего рода.
Научная новизна работы состоит в построении явной абсолютно устойчивой разностной схемы для решения третьей смешанной задачи для уравнения (2). В [1] и [2] говорится о нецелесообразности использования явных схем для решения подобных задач. Условия устойчивости: накладывает сильные ограничения на шаг по времени , поэтому авторами [1] и [2] предлагается использовать для расчета безусловно устойчивые неявные схемы.
Практическая значимость работы состоит в возможности использования предложенной схемы для расчета распределения температуры в тонком однородном стержне при наличии существенной зависимости теплоемкости и теплопроводности среды от температуры, а также в возможности обобщения предложенной схемы на ее применения к целому ряду задач, о которых упоминалось ранее.
Купить