РАЗВИТИЕ И ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ВЯЗКОУПРУГИМИ РЕОЛОГИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ В РАМКАХ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Дискретно-элементная модель стандартного вязкоупругого материала 6
1.1 Реологические модели вязкоупругих сред 6
1.2 Реализация реологических моделей эластомеров в рамках метода подвижных
клеточных автоматов 9
1.3 Метод Верле численного интегрирования уравнений движения 18
1.4 Связанная термомеханическая формулировка дискретноэлементной модели
вязкоупругого материала 19
2 Постановка задач численного моделирования 23
2.1 Аналитические соотношения, применяемые для верификации
дискретноэлементной модели вязкоупругих материалов 23
2.2 Методика проведения численного моделирования для верификации
дикретноэлементной модели вязкоупругих материалов 25
2.3 Постановка задачи изучения закономерностей адгезионного износа при контактном взаимодействии вязкоупругопластических материалов 27
2.4 Методика численного изучения закономерностей адгезионного износа на основе
вязкоупругопластической модели 30
3 Результаты верификации связанной термомеханической дискретноэлементной модели вязкоупругих материалов и обсуждение 34
3.1 Верификация несвязанной механической модели на паре элементов
(«безынерционный» образец) 34
3.2 Объемный («инерционный») образец. Несвязанная механическая модель 40
3.2 Объемный («инерционный») образец. Связанная термомеханическая модель 43
4 Численное изучение закономерностей адгезионного износа на основе
вязкоупругопластической модели и обсуждение результатов 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 60
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 62
1 Дискретно-элементная модель стандартного вязкоупругого материала 6
1.1 Реологические модели вязкоупругих сред 6
1.2 Реализация реологических моделей эластомеров в рамках метода подвижных
клеточных автоматов 9
1.3 Метод Верле численного интегрирования уравнений движения 18
1.4 Связанная термомеханическая формулировка дискретноэлементной модели
вязкоупругого материала 19
2 Постановка задач численного моделирования 23
2.1 Аналитические соотношения, применяемые для верификации
дискретноэлементной модели вязкоупругих материалов 23
2.2 Методика проведения численного моделирования для верификации
дикретноэлементной модели вязкоупругих материалов 25
2.3 Постановка задачи изучения закономерностей адгезионного износа при контактном взаимодействии вязкоупругопластических материалов 27
2.4 Методика численного изучения закономерностей адгезионного износа на основе
вязкоупругопластической модели 30
3 Результаты верификации связанной термомеханической дискретноэлементной модели вязкоупругих материалов и обсуждение 34
3.1 Верификация несвязанной механической модели на паре элементов
(«безынерционный» образец) 34
3.2 Объемный («инерционный») образец. Несвязанная механическая модель 40
3.2 Объемный («инерционный») образец. Связанная термомеханическая модель 43
4 Численное изучение закономерностей адгезионного износа на основе
вязкоупругопластической модели и обсуждение результатов 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 60
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 62
Материалы, обладающие вязкоупругими реологическими свойствами, широко используются в различных областях, в частности в качестве материалов контактных пар (шины, демпферные прокладки и др.) [1 - 5]. Следует отметить, что вязкоупругими свойствами также обладают некоторые природные материалы, такие как каучуки, костная и мышечная ткань [6 - 9], имеющие пористую структуру насыщенную жидкостью.
Специфика вязкоупругих материалов заключается в их большой диссипативной способности, определяемой действием вязких сил и позволяющей таким материалам претерпевать большие упругие деформации до разрушения. Наличие вязкости определяет нелинейно-упругий характер отклика, в котором проявляется зависимость от скорости нагрузки [10 - 12]. Это во многом определяет широкое использование вязкоупругих материалов в трибологических парах различного назначения.
При решении контактных, в том числе трибологических задач широко используются модели, основанные на упрощенном описании зоны контактного взаимодействия двух тел или отдельных пятен контакта, и позволяющие получить аналитическое решение или полуаналитическое (интегральные уравнения) [13 - 17]. Однако область применения таких методов, как правило, ограничена малыми скоростями нагружения, отвечающими квазистатическому режиму деформирования, а также телами симметричной формы (например, телами вращения) .
Решение задач динамического контактного взаимодействия вязкоупругих тел сложной формы можно получить с помощью численного моделирования. Во многих случаях эффективным является применение упрощённых контактных моделей основанных на редукции размерности пространства [13 - 14]. Однако подобные редуцированные методы, как правило, не учитывают диссипацию механической энергии в прилегающих к контактной поверхности объемах взаимодействующих тел и поэтому обеспечивают получение точного решения только для тел вращения, деформируемых с малыми скоростями. Для тел с более сложной формой и в динамическом режиме нагружения редуцированные методы и модели дают большую ошибку. Таким образом, для решения динамических задач общего вида необходимо использовать нередуцированные численные методы, учитывающие процессы в объеме контактирующих тел. К таким задачам относятся, в частности, задачи, связанные с определением режима износа поверхностных слоев в парах трения и оценкой спектра размеров частиц износа. В настоящее время существуют различные аналитические модели, позволяющие получать соотношения, связывающие линейные размеры шероховатостей контактирующих поверхностей с режимом их износа. Одной из таких аналитических оценок является рассматриваемый в данной работе критерий Рабиновича (Rabinowicz) для минимального линейного размера шероховатостей, изнашиваемых по механизму отрыва шероховатости как целого от поверхности. Однако такие оценки получены в рамках идеализированных постановок задачи и не учитывают влияние ряда ключевых реологических параметров и условий контактного нагружения. Эффективным подходом к получению уточненных и дополненных оценок и критериев является численное моделирование.
При выборе метода численного моделирования необходимо учитывать специфику контактного взаимодействия на рассматриваемом масштабе. В частности, при изучении процессов в пятнах контакта важно принимать во внимание процессы локального разрушения и переноса оторвавшихся от поверхности частиц, а также адгезию участков поверхностей. Моделирование этих процессов классическими методами механики сплошных сред (в частности, методами конечных элементов и разностей) является затруднительным. Поэтому для решения задач контактного взаимодействия тел на масштабе пятен контакта в настоящее время широко применяется методы частиц, в частности, методы дискретных элементов [18, 19]. Использование методов дискретных элементов обусловлено их хорошо известными преимуществами при описании трещинообразования и массопереноса частиц разрушения [20, 21]. Однако одной из ключевых проблем дискретных методов является относительно слабое развитие математического формализма. Как правило, дискретноэлементные модели материалов основаны на использовании парных потенциалов взаимодействия, которые с хорошей точностью описывают поведение только гранулированные среды и упруго-хрупкие материалы. Одним из способов решения данной проблемы, по аналогии с методом молекулярной динамики, является использование многочастичных потенциалов взаимодействия дискретных элементов. Один из подходов к построению потенциальных сил взаимодействия в многочастичном приближении предложен в работах Псахье С.Г. с коллегами [22]. Данная реализация методов дискретных элементов носит название метода подвижных клеточных автоматов. В рамках этого метода ранее были развиты модели линейно-упругих и упругопластических сред [23, 24].
Исходя из вышеизложенного, основной целью настоящей работы являлось развитие математического формализма метода подвижных клеточных автоматов для описания отклика и разрушения вязкоупругих материалов и сред.
Для достижения этой цели решались следующие задачи:
1) развитие дискретно-элементной модели вязкоупругих материалов с «базовыми» реологическими свойствами (элементы Кельвина и Максвелла и стандартная реологическая модель эластомеров) в рамках многочастичного приближения к описанию межэлементного взаимодействия, аналогичного приближению погруженного атома;
2) построение связанной термомеханической дискретно-элементной модели вязкоупругих материалов, учитывающей влияние тепловыделения на динамическую вязкость и конечное время релаксации теплового потока;
3) применение развитой модели для численного изучения области применимости критерия смены режимы адгезионного износа (критерия Рабиновича) вязкоупругопластических материалов.
На защиту выносятся следующие положения:
1) Дискретноэлементная термомеханическая модель материалов с вязкоупругими реологическими свойствами, отвечающими стандартной реологической модели эластомеров.
2) Результаты численного анализа, демонстрирующие адекватность развитой дискретноэлементной модели и область применимости стандартных аналитических оценок зависимости упругих модулей вязкоупругого материала от частоты циклического нагружения образцов.
3) Результаты численного изучения применимости критерия смены режимы адгезионного износа (критерия Рабиновича) вязкоупругопластических материалов, в том числе оценки интервалов значений механических характеристик, в пределах которых критерий Рабиновича дает достоверные оценки критического размера шероховатостей.
Научная новизна:
1) Впервые проведено развитие математического формализма численного метода дискретных элементов для описания динамического механического отклика материалов с вязкоупругими реологическими свойствами. Полученные в работе соотношения сформулированы в общем виде и могут быть расширены на случай вязкоупругих материалов с широким спектром времен релаксации путем использования рядов Прони.
2) Впервые показано, что критерий Рабиновича, определяющий минимальный характерный размер шероховатостей, изнашиваемых по механизму отрыва от поверхности, применим в ограниченном интервале механических параметров материала и условий нагружения. Получены оценки «предельных» значений этих параметров.
Результаты исследований представлялись на российско-немецком семинаре «Adhesion and Friction: Simulation, Experiment, Applications» (г. Берлин, Германия, 13-16 ноября 2017 года). Поданы тезисы доклада на международную конференцию «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (г. Томск, 1-5 октября 2018 года). Готовится статья для публикации в журнале AIP Conference Proceedings.
Специфика вязкоупругих материалов заключается в их большой диссипативной способности, определяемой действием вязких сил и позволяющей таким материалам претерпевать большие упругие деформации до разрушения. Наличие вязкости определяет нелинейно-упругий характер отклика, в котором проявляется зависимость от скорости нагрузки [10 - 12]. Это во многом определяет широкое использование вязкоупругих материалов в трибологических парах различного назначения.
При решении контактных, в том числе трибологических задач широко используются модели, основанные на упрощенном описании зоны контактного взаимодействия двух тел или отдельных пятен контакта, и позволяющие получить аналитическое решение или полуаналитическое (интегральные уравнения) [13 - 17]. Однако область применения таких методов, как правило, ограничена малыми скоростями нагружения, отвечающими квазистатическому режиму деформирования, а также телами симметричной формы (например, телами вращения) .
Решение задач динамического контактного взаимодействия вязкоупругих тел сложной формы можно получить с помощью численного моделирования. Во многих случаях эффективным является применение упрощённых контактных моделей основанных на редукции размерности пространства [13 - 14]. Однако подобные редуцированные методы, как правило, не учитывают диссипацию механической энергии в прилегающих к контактной поверхности объемах взаимодействующих тел и поэтому обеспечивают получение точного решения только для тел вращения, деформируемых с малыми скоростями. Для тел с более сложной формой и в динамическом режиме нагружения редуцированные методы и модели дают большую ошибку. Таким образом, для решения динамических задач общего вида необходимо использовать нередуцированные численные методы, учитывающие процессы в объеме контактирующих тел. К таким задачам относятся, в частности, задачи, связанные с определением режима износа поверхностных слоев в парах трения и оценкой спектра размеров частиц износа. В настоящее время существуют различные аналитические модели, позволяющие получать соотношения, связывающие линейные размеры шероховатостей контактирующих поверхностей с режимом их износа. Одной из таких аналитических оценок является рассматриваемый в данной работе критерий Рабиновича (Rabinowicz) для минимального линейного размера шероховатостей, изнашиваемых по механизму отрыва шероховатости как целого от поверхности. Однако такие оценки получены в рамках идеализированных постановок задачи и не учитывают влияние ряда ключевых реологических параметров и условий контактного нагружения. Эффективным подходом к получению уточненных и дополненных оценок и критериев является численное моделирование.
При выборе метода численного моделирования необходимо учитывать специфику контактного взаимодействия на рассматриваемом масштабе. В частности, при изучении процессов в пятнах контакта важно принимать во внимание процессы локального разрушения и переноса оторвавшихся от поверхности частиц, а также адгезию участков поверхностей. Моделирование этих процессов классическими методами механики сплошных сред (в частности, методами конечных элементов и разностей) является затруднительным. Поэтому для решения задач контактного взаимодействия тел на масштабе пятен контакта в настоящее время широко применяется методы частиц, в частности, методы дискретных элементов [18, 19]. Использование методов дискретных элементов обусловлено их хорошо известными преимуществами при описании трещинообразования и массопереноса частиц разрушения [20, 21]. Однако одной из ключевых проблем дискретных методов является относительно слабое развитие математического формализма. Как правило, дискретноэлементные модели материалов основаны на использовании парных потенциалов взаимодействия, которые с хорошей точностью описывают поведение только гранулированные среды и упруго-хрупкие материалы. Одним из способов решения данной проблемы, по аналогии с методом молекулярной динамики, является использование многочастичных потенциалов взаимодействия дискретных элементов. Один из подходов к построению потенциальных сил взаимодействия в многочастичном приближении предложен в работах Псахье С.Г. с коллегами [22]. Данная реализация методов дискретных элементов носит название метода подвижных клеточных автоматов. В рамках этого метода ранее были развиты модели линейно-упругих и упругопластических сред [23, 24].
Исходя из вышеизложенного, основной целью настоящей работы являлось развитие математического формализма метода подвижных клеточных автоматов для описания отклика и разрушения вязкоупругих материалов и сред.
Для достижения этой цели решались следующие задачи:
1) развитие дискретно-элементной модели вязкоупругих материалов с «базовыми» реологическими свойствами (элементы Кельвина и Максвелла и стандартная реологическая модель эластомеров) в рамках многочастичного приближения к описанию межэлементного взаимодействия, аналогичного приближению погруженного атома;
2) построение связанной термомеханической дискретно-элементной модели вязкоупругих материалов, учитывающей влияние тепловыделения на динамическую вязкость и конечное время релаксации теплового потока;
3) применение развитой модели для численного изучения области применимости критерия смены режимы адгезионного износа (критерия Рабиновича) вязкоупругопластических материалов.
На защиту выносятся следующие положения:
1) Дискретноэлементная термомеханическая модель материалов с вязкоупругими реологическими свойствами, отвечающими стандартной реологической модели эластомеров.
2) Результаты численного анализа, демонстрирующие адекватность развитой дискретноэлементной модели и область применимости стандартных аналитических оценок зависимости упругих модулей вязкоупругого материала от частоты циклического нагружения образцов.
3) Результаты численного изучения применимости критерия смены режимы адгезионного износа (критерия Рабиновича) вязкоупругопластических материалов, в том числе оценки интервалов значений механических характеристик, в пределах которых критерий Рабиновича дает достоверные оценки критического размера шероховатостей.
Научная новизна:
1) Впервые проведено развитие математического формализма численного метода дискретных элементов для описания динамического механического отклика материалов с вязкоупругими реологическими свойствами. Полученные в работе соотношения сформулированы в общем виде и могут быть расширены на случай вязкоупругих материалов с широким спектром времен релаксации путем использования рядов Прони.
2) Впервые показано, что критерий Рабиновича, определяющий минимальный характерный размер шероховатостей, изнашиваемых по механизму отрыва от поверхности, применим в ограниченном интервале механических параметров материала и условий нагружения. Получены оценки «предельных» значений этих параметров.
Результаты исследований представлялись на российско-немецком семинаре «Adhesion and Friction: Simulation, Experiment, Applications» (г. Берлин, Германия, 13-16 ноября 2017 года). Поданы тезисы доклада на международную конференцию «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (г. Томск, 1-5 октября 2018 года). Готовится статья для публикации в журнале AIP Conference Proceedings.
В работе предложена связанная термомеханическая дискретноэлементная модель вязкоупругих материалов, основанная на использовании трехмерной стандартной модели эластомеров и многочастичных соотношений для описания сил взаимодействия дискретных элементов.
Получены определяющие соотношения этой модели, и проведена верификация модели на задаче знакопеременного циклического нагружения образцов. Верификация проведена на примере точечного (безынерционного) и пространственно распределенного (инерционного) образцов. Результаты показали хорошее согласие результатов моделирования и аналитических оценок в области значений периодов нагружения, меньших времени релаксации вязкоупругого материала т. Полученные результаты подтверждают корректность развитой модели.
Выявлены особенности поведения численных моделей вязкоупругих материалов, основанных на использовании явных схем численного интегрирования уравнений движения дискретных элементов, при высоких частотах/скоростях нагружения (то есть, в условиях динамических воздействий). Использование в явных численных схемах схемной вязкости приводит к тому, что при частотах ы > (3/т) поведение модели соответствует не стандартной модели вязкоупругого материала (определяемой как суперпозиция Кельвиновской пружины и Максвелловского элемента), а более сложной вязкоупругой модели. Поэтому, для адекватного моделирования отклика вязкоупругих материалов и сред со «стандартными» реологическими свойствами необходимо выполнение условия, согласно которому в рассматриваемом интервале скоростей деформирования схемная вязкость должна быть достаточно малой, чтобы не оказывать заметного влияния на эффективные упругие свойства модели. Это может быть осуществлено путем повышения порядка точности численной схемы, либо понижения шага интегрирования.
Показано, что для пространственно распределенных образцов, обладающих конечной инерционностью, в области ыт> 3 наблюдаются расхождения расчетных и аналитических значений жесткости и потерь механической энергии. Данная особенность связана с тем, что аналитические оценки предполагают однородный характер распределения напряжений и деформаций в объеме образцов и не учитывают эффекты, связанные с конечными временами распространения и диссипации упругих волн (то есть, являются строго корректными только в квазистатическом режиме нагружения ыт < 1). Поэтому, корректный анализ отклика вязкоупругих материалов в области высокочастотного или высокоскоростного нагружения может проводиться только на основе численного моделирования на полноразмерных моделях. Данный результат является важным, поскольку позволяет обосновать необходимость полноразмерного моделирования процессов в пятнах контакта вязкоупругих материалов, учитывающих диссипацию энергии не только на поверхности контакта, но и в прилегающих объемах контактирующих вязкоупругих материалов.
С использованием вязкоупругопластической модели проведен численный анализ применимости аналитического критерия Рабиновича для оценки механизма износа шероховатостей в материалах с конечными значениями коэффициента деформационного упрочнения и зависимостью величины сдвиговой прочности от локального давления. Результаты изучения подтвердили адекватность этого критерия в случае «высокопластичных» материалов, у которых величина сдвиговой прочности слабо зависит от величины гидростатического давления (а ~ 1). Для хрупких материалов или материалов с высоким начальным содержанием дефектов (характеризующихся выраженной зависимостью сдвиговой прочности от давления, а > 1) граница раздела режимов износа существенно отличается от результата аналитической оценки. По результатам исследования предложена более общая формулировка критерия Рабиновича и определены интервалы механических параметров (коэффициента влияния давления на сдвиговую прочность, предела текучести, коэффициента деформационного упрочнения), в которых этот критерий дает достоверные оценки.
Получены определяющие соотношения этой модели, и проведена верификация модели на задаче знакопеременного циклического нагружения образцов. Верификация проведена на примере точечного (безынерционного) и пространственно распределенного (инерционного) образцов. Результаты показали хорошее согласие результатов моделирования и аналитических оценок в области значений периодов нагружения, меньших времени релаксации вязкоупругого материала т. Полученные результаты подтверждают корректность развитой модели.
Выявлены особенности поведения численных моделей вязкоупругих материалов, основанных на использовании явных схем численного интегрирования уравнений движения дискретных элементов, при высоких частотах/скоростях нагружения (то есть, в условиях динамических воздействий). Использование в явных численных схемах схемной вязкости приводит к тому, что при частотах ы > (3/т) поведение модели соответствует не стандартной модели вязкоупругого материала (определяемой как суперпозиция Кельвиновской пружины и Максвелловского элемента), а более сложной вязкоупругой модели. Поэтому, для адекватного моделирования отклика вязкоупругих материалов и сред со «стандартными» реологическими свойствами необходимо выполнение условия, согласно которому в рассматриваемом интервале скоростей деформирования схемная вязкость должна быть достаточно малой, чтобы не оказывать заметного влияния на эффективные упругие свойства модели. Это может быть осуществлено путем повышения порядка точности численной схемы, либо понижения шага интегрирования.
Показано, что для пространственно распределенных образцов, обладающих конечной инерционностью, в области ыт> 3 наблюдаются расхождения расчетных и аналитических значений жесткости и потерь механической энергии. Данная особенность связана с тем, что аналитические оценки предполагают однородный характер распределения напряжений и деформаций в объеме образцов и не учитывают эффекты, связанные с конечными временами распространения и диссипации упругих волн (то есть, являются строго корректными только в квазистатическом режиме нагружения ыт < 1). Поэтому, корректный анализ отклика вязкоупругих материалов в области высокочастотного или высокоскоростного нагружения может проводиться только на основе численного моделирования на полноразмерных моделях. Данный результат является важным, поскольку позволяет обосновать необходимость полноразмерного моделирования процессов в пятнах контакта вязкоупругих материалов, учитывающих диссипацию энергии не только на поверхности контакта, но и в прилегающих объемах контактирующих вязкоупругих материалов.
С использованием вязкоупругопластической модели проведен численный анализ применимости аналитического критерия Рабиновича для оценки механизма износа шероховатостей в материалах с конечными значениями коэффициента деформационного упрочнения и зависимостью величины сдвиговой прочности от локального давления. Результаты изучения подтвердили адекватность этого критерия в случае «высокопластичных» материалов, у которых величина сдвиговой прочности слабо зависит от величины гидростатического давления (а ~ 1). Для хрупких материалов или материалов с высоким начальным содержанием дефектов (характеризующихся выраженной зависимостью сдвиговой прочности от давления, а > 1) граница раздела режимов износа существенно отличается от результата аналитической оценки. По результатам исследования предложена более общая формулировка критерия Рабиновича и определены интервалы механических параметров (коэффициента влияния давления на сдвиговую прочность, предела текучести, коэффициента деформационного упрочнения), в которых этот критерий дает достоверные оценки.