ОБОЗНАЧЕНИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 11
ГЛАВА 2. ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВОЙНЫХ СУММ ГАУССА .... 20
ГЛАВА 3. СУММА ОСОБОГО РЯДА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 59
В аналитической теории чисел при доказательстве различных утверждений часто используются тригонометрические суммы.
Пусть ^(%) = а0 + aqx+... +апхп - многочлен с целыми коэффициентами, (а0, а1, ..., ап, q) = 1, тогда сумма
S,(q) = J (cos(2^) +
X=1 X=1
называется тригонометрической суммой, соответствующей функции ф(х).
Простейшими примерами таких функций являются:
2^[ах
1. Сумма геометрической прогрессии Sax(q) = ^Q=1e ч со знаменателем e2ni^, соответствующая линейной функции ф(х) = ах.
а £ 0(mod q),
а = 0(mod q).
2njUx2+vx
Гаусса Sux2+vx = S(q,u,v) = 1^=1 e mч,
соответствующая квадратичной функции ф(х) = их2 + их.
Впервые тригонометрические суммы, соответствующие квадратичной функции ф(х) = ах2, рассмотрел Карл Гаусс [1] в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности. Им были получены следующие точные формулы:
р = 1(mod 2),
р = 0(mod4),
р = 2(mod4),
где р- простое число.
Основной задачей, касающейся тригонометрических сумм, является получение оценок модуля этих сумм, напрямую связанных с точными формулами для них.
Первым получить оценку для тригонометрической суммы удалось Г. Вейлю. В своей работе [2] он доказал, что
^(р) <<п/р.
Тригонометрические суммы S^(q)являются частным случаем сумм
2т!®
вида Ъа<х<ь е q, оценками которых занимались такие математики, как
Хуа Ло-Кен [3], Г. Вейль [4], ван дер Корпут [5], И.М. Виноградов [6].
Пусть р - простое число, тогда для каждого х, не кратного р существует число %*, обратное к х, т.е. х* • х = 1(modp~)и х* = xp-2(modр). Рассмотрим функцию <р(х) = их + ихр~2. Ей соответствует тригонометрическая сумма, которую можем записать в виде ч . *
Z .UX+VX
ет ч ,
Х=1
(x,q)=1
в математической литературе известная как сумма Клостермана.
Наилучшей для отдельного qоценкой суммы Клоостермана является оценка A. Вейля [4], [7]:
K(q,u,u)<
где £ - малое положительное число.
В 1962 году А.В. Малышев [8] получил точные формулы для суммы Клостермана от степени простого числа, т.е. для суммы вида К(ра, и, и).
В своих работах Г.Ф. Харди [9] и С. Рамануджан [10] изучали разложение мультипликативных функций в ряды по тригонометрической сумме
211^ Х' 2пих
сч(и) = У е ч = / cos,
Х=1 Х=1 q
(х,ч)=1 (х,ч)=1
которая является частым случаем суммы Клостермана при v= 0. В математической литературе данная тригонометрическая сумма носит название «суммы Рамануджана». Для нее справедлива оценка:
|cq(u)| <(q,u).
Дальнейшее развитие теории тригонометрических сумм связано с рассмотрением многомерных случаев, когда функция, входящая в тригонометрическую сумму, зависит от нескольких переменных....
В результате изучения точных формул для двойных сумм Гаусса были получены следующие результаты:
1. Проведен анализ точных формул для двойных сумм Гаусса, полученных в работах [14] и [15].
2. Приведены недостатки и достоинства исследуемых формул для сумм Гаусса.
3. Выявлены некоторые несоответствия в представленных формулах.
4. Рассмотрена одна задача аналитической теории чисел, при решении которой используются точные формулы для сумм Гаусса.
5. Проведено доказательство положительности суммы особого ряда асимптотической формулы для числа решений уравнения с квадратичными формами разных дискриминантов.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований, касающихся тригонометрических сумм и их приложений.
