📄Работа №197024
Тема: ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВОЙНЫХ СУММ ГАУССА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Характеристики работы
Тип работы
Бакалаврская работа
Предмет
Математика
Объем:
60 листов
Год:
2019
Просмотров:
50
4740
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ОБОЗНАЧЕНИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 11
ГЛАВА 2. ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВОЙНЫХ СУММ ГАУССА .... 20
ГЛАВА 3. СУММА ОСОБОГО РЯДА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 59
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 11
ГЛАВА 2. ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВОЙНЫХ СУММ ГАУССА .... 20
ГЛАВА 3. СУММА ОСОБОГО РЯДА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 59
📖 Аннотация
В данной бакалаврской работе проводится исследование точных формул для двойных сумм Гаусса и их приложений в аналитической теории чисел, где такие тригонометрические суммы являются фундаментальным инструментом. Актуальность исследования обусловлена важностью сумм Гаусса для решения широкого круга задач теории чисел, включая проблемы распределения значений квадратичных форм. Основные результаты включают детальный анализ точных формул, выявление их достоинств, недостатков и некоторых несоответствий, а также применение этих формул к задаче о положительности суммы особого ряда в асимптотической формуле для числа решений уравнения с квадратичными формами разных дискриминантов. Научная значимость работы заключается в систематизации знаний о двойных суммах Гаусса и продвижении в доказательстве ключевых свойств асимптотических формул, что имеет практическую ценность для дальнейших исследований в аддитивной теории чисел и смежных областях. Теоретической основой послужили классические труды К. Гаусса по теории чисел, работы И.М. Виноградова о методе тригонометрических сумм, исследования А.В. Малышева о представлении чисел квадратичными формами, а также современные публикации, посвященные экспоненциальным суммам.
📖 Введение
В аналитической теории чисел при доказательстве различных утверждений часто используются тригонометрические суммы.
Пусть ^(%) = а0 + aqx+... +апхп - многочлен с целыми коэффициентами, (а0, а1, ..., ап, q) = 1, тогда сумма
S,(q) = J (cos(2^) +
называется тригонометрической суммой, соответствующей функции ф(х).
Простейшими примерами таких функций являются:
2^[ах
1. Сумма геометрической прогрессии Sax(q) = ^Q=1e ч со знаменателем e2ni^, соответствующая линейной функции ф(х) = ах.
а £ 0(mod q),
а = 0(mod q).
2njUx2+vx
Гаусса Sux2+vx = S(q,u,v) = 1^=1 e mч,
соответствующая квадратичной функции ф(х) = их2 + их.
Впервые тригонометрические суммы, соответствующие квадратичной функции ф(х) = ах2, рассмотрел Карл Гаусс [1] в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности. Им были получены следующие точные формулы:
р = 1(mod 2),
р = 0(mod4),
р = 2(mod4),
где р- простое число.
Основной задачей, касающейся тригонометрических сумм, является получение оценок модуля этих сумм, напрямую связанных с точными формулами для них.
Первым получить оценку для тригонометрической суммы удалось Г. Вейлю. В своей работе [2] он доказал, что
^(р) <<п/р.
Тригонометрические суммы S^(q)являются частным случаем сумм
2т!®
вида Ъа<х<ь е q, оценками которых занимались такие математики, как
Хуа Ло-Кен [3], Г. Вейль [4], ван дер Корпут [5], И.М. Виноградов [6].
Пусть р - простое число, тогда для каждого х, не кратного р существует число %*, обратное к х, т.е. х* • х = 1(modp~)и х* = xp-2(modр). Рассмотрим функцию <р(х) = их + ихр~2. Ей соответствует тригонометрическая сумма, которую можем записать в виде ч . *
Z .UX+VX
ет ч ,
Х=1
(x,q)=1
в математической литературе известная как сумма Клостермана.
Наилучшей для отдельного qоценкой суммы Клоостермана является оценка A. Вейля [4], [7]:
K(q,u,u)<
В 1962 году А.В. Малышев [8] получил точные формулы для суммы Клостермана от степени простого числа, т.е. для суммы вида К(ра, и, и).
В своих работах Г.Ф. Харди [9] и С. Рамануджан [10] изучали разложение мультипликативных функций в ряды по тригонометрической сумме
211^ Х' 2пих
сч(и) = У е ч = / cos,
Х=1 Х=1 q
(х,ч)=1 (х,ч)=1
которая является частым случаем суммы Клостермана при v= 0. В математической литературе данная тригонометрическая сумма носит название «суммы Рамануджана». Для нее справедлива оценка:
|cq(u)| <(q,u).
Дальнейшее развитие теории тригонометрических сумм связано с рассмотрением многомерных случаев, когда функция, входящая в тригонометрическую сумму, зависит от нескольких переменных....
Пусть ^(%) = а0 + aqx+... +апхп - многочлен с целыми коэффициентами, (а0, а1, ..., ап, q) = 1, тогда сумма
S,(q) = J (cos(2^) +
называется тригонометрической суммой, соответствующей функции ф(х).
Простейшими примерами таких функций являются:
2^[ах
1. Сумма геометрической прогрессии Sax(q) = ^Q=1e ч со знаменателем e2ni^, соответствующая линейной функции ф(х) = ах.
а £ 0(mod q),
а = 0(mod q).
2njUx2+vx
Гаусса Sux2+vx = S(q,u,v) = 1^=1 e mч,
соответствующая квадратичной функции ф(х) = их2 + их.
Впервые тригонометрические суммы, соответствующие квадратичной функции ф(х) = ах2, рассмотрел Карл Гаусс [1] в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности. Им были получены следующие точные формулы:
р = 1(mod 2),
р = 0(mod4),
р = 2(mod4),
где р- простое число.
Основной задачей, касающейся тригонометрических сумм, является получение оценок модуля этих сумм, напрямую связанных с точными формулами для них.
Первым получить оценку для тригонометрической суммы удалось Г. Вейлю. В своей работе [2] он доказал, что
^(р) <<п/р.
Тригонометрические суммы S^(q)являются частным случаем сумм
2т!®
вида Ъа<х<ь е q, оценками которых занимались такие математики, как
Хуа Ло-Кен [3], Г. Вейль [4], ван дер Корпут [5], И.М. Виноградов [6].
Пусть р - простое число, тогда для каждого х, не кратного р существует число %*, обратное к х, т.е. х* • х = 1(modp~)и х* = xp-2(modр). Рассмотрим функцию <р(х) = их + ихр~2. Ей соответствует тригонометрическая сумма, которую можем записать в виде ч . *
Z .UX+VX
ет ч ,
Х=1
(x,q)=1
в математической литературе известная как сумма Клостермана.
Наилучшей для отдельного qоценкой суммы Клоостермана является оценка A. Вейля [4], [7]:
K(q,u,u)<
В 1962 году А.В. Малышев [8] получил точные формулы для суммы Клостермана от степени простого числа, т.е. для суммы вида К(ра, и, и).
В своих работах Г.Ф. Харди [9] и С. Рамануджан [10] изучали разложение мультипликативных функций в ряды по тригонометрической сумме
211^ Х' 2пих
сч(и) = У е ч = / cos,
Х=1 Х=1 q
(х,ч)=1 (х,ч)=1
которая является частым случаем суммы Клостермана при v= 0. В математической литературе данная тригонометрическая сумма носит название «суммы Рамануджана». Для нее справедлива оценка:
|cq(u)| <(q,u).
Дальнейшее развитие теории тригонометрических сумм связано с рассмотрением многомерных случаев, когда функция, входящая в тригонометрическую сумму, зависит от нескольких переменных....
✅ Заключение
В результате изучения точных формул для двойных сумм Гаусса были получены следующие результаты:
1. Проведен анализ точных формул для двойных сумм Гаусса, полученных в работах [14] и [15].
2. Приведены недостатки и достоинства исследуемых формул для сумм Гаусса.
3. Выявлены некоторые несоответствия в представленных формулах.
4. Рассмотрена одна задача аналитической теории чисел, при решении которой используются точные формулы для сумм Гаусса.
5. Проведено доказательство положительности суммы особого ряда асимптотической формулы для числа решений уравнения с квадратичными формами разных дискриминантов.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований, касающихся тригонометрических сумм и их приложений.
1. Проведен анализ точных формул для двойных сумм Гаусса, полученных в работах [14] и [15].
2. Приведены недостатки и достоинства исследуемых формул для сумм Гаусса.
3. Выявлены некоторые несоответствия в представленных формулах.
4. Рассмотрена одна задача аналитической теории чисел, при решении которой используются точные формулы для сумм Гаусса.
5. Проведено доказательство положительности суммы особого ряда асимптотической формулы для числа решений уравнения с квадратичными формами разных дискриминантов.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований, касающихся тригонометрических сумм и их приложений.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.