УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ ЧАСТИЦ НЕТРИВИАЛЬНОЙ ФОРМЫ НА АДРОНАХ
|
Введений 3
1 Упругое рассеяние на волновом пакете адрона 6
1.1 Основные формулы 6
1.2 Инклюзивная вероятность 7
1.3 Массовый оператор электрона 14
1.4 Частные случаи волнового пакета адрона 17
1.4.1 Гауссов волновой пакет 17
1.4.2 Когерентная суперпозиция N гауссоид 21
2 Рассеяние пучков частиц 24
3 Рассеяние в кулоновском поле 27
Заключение 31
Литература 34
Приложение A. Следы и сокращения 38
Приложение Б. Представление Баргманна-Фока|
1 Упругое рассеяние на волновом пакете адрона 6
1.1 Основные формулы 6
1.2 Инклюзивная вероятность 7
1.3 Массовый оператор электрона 14
1.4 Частные случаи волнового пакета адрона 17
1.4.1 Гауссов волновой пакет 17
1.4.2 Когерентная суперпозиция N гауссоид 21
2 Рассеяние пучков частиц 24
3 Рассеяние в кулоновском поле 27
Заключение 31
Литература 34
Приложение A. Следы и сокращения 38
Приложение Б. Представление Баргманна-Фока|
Когерентные процессы очень редки в физике высоких энергий. Обычно когерентность теряется с увеличением энергии рассеянных частиц, и даже небольшая квантовая отдача приводит к декогеренции. Тем не менее, существует класс квантовых электро-динамических процессов, в которых волновые функции частиц когерентно взаимодействуют с другими частицами даже при больших энергиях [1]. Для таких процессов форма волнового пакета частиц сильно влияет на наблюдаемые даже в том случае, когда в каждом отдельном эксперименте участвует только одна частица в состоянии, описываемом этим волновым пакетом [1-8]. При когерентном рассеянии на волновом пакете частицы амплитуды рассеяния от разных точек волнового пакета складываются конструктивно, и поэтому волновой пакет можно рассматривать как некоторый заряженный газ или жидкость. При некогерентном рассеянии на волновом пакете частицы амплитуды рассеяния от разных точек волнового пакета складываются деструктивно. В результате, в этом случае в определенном приближении суммируются не амплитуды, а вероятности рассеяния от разных точек волнового пакета [9, 10].
Одним из проявлений когерентного рассеяния является наличие новых резонансов, как если бы частица рассеивалась не волновым пакетом одиночной частицы, а пучком модулированных соответствующим образом частиц. В этом случае модуляция реализуется в масштабе волнового пакета одной частицы, что позволяет добиться гораздо меньшего масштаба изменения рассеивателя, чем при модуляции пучков частиц, и, следовательно, получить резонансы при более высоких энергиях [11]. Кроме того, зависимость наблюдаемых от детальной структуры волнового пакета частицы, участвующей в процессе, позволяет восстановить ее волновую функцию, т.е. является одним из средств томографии квантового состояния [11, 12]. Это, в свою очередь, позволяет исследовать влияние фундаментальных особенностей квантовой теории, таких как запутывание и редукция квантового состояния при измерении, на процессы в физике высоких энергий.
В настоящей работе исследуется когерентное электромагнитное рассеяние дираковского фермиона (электрона) на волновом пакете другого дираковского фермиона (адрона со спином 1/2) с электромагнитным током, зависящим от двух формфакторов. Оказывается, вклад в инклюзивную вероятность регистрации электрона, возникающий в результате интерференции ведущего вклада в S-матрицу и ее нетривиальной связной части, описывает когерентное рассеяние этой частицы на волновой функции центра масс адрона [1]. Этот интерференционный вклад таков, как если бы электрон рассеивался классическим электромагнитным полем, создаваемым волновой функцией адрона, даже в том случае, когда в каждом эксперименте принимает участие только один адрон. Квантовая отдача, обусловленная рассеянием, в этом вкладе отсутствует. Другими словами, это интерференционный вклад в инклюзивную вероятность регистрации электрона, содержащего средний адронный электромагнитный ток, который обсуждается в попытках дать точную физическую интерпретацию форм-факторов [13-20]. " Стандартный" вклад в инклюзивную вероятность, пропорциональный дифференциальному сечению в пределе плоских волн, с необходимостью включает в себя квантовую отдачу и определяется недиагональными элементами тока перехода. В результате стандартный вклад в инклюзивную вероятность лучше интерпретировать как описание некогерентного рассеяния волновым пакетом частицы [9, 10, 21-28]. Заметим, что интерференционный вклад имеет меньший порядок по константе связи (порядка а), чем квадрат модуля связной части S-матрицы (порядка а2). Однако этот вклад существует только для неплосковолновых начальных состояний рассеиваемых частиц. В случае, когда начальные состояния частиц представляют собой плоские волны, интерференционный вклад отличен от нуля только на множестве точек меры нуль в пространстве импульсов [1]. Для наблюдения интерференционного вклада в инклюзивную вероятность детектор необходимо разместить перед эмиттером зондирующих частиц и зарегистрировать интерференционную картину, формируемую на ярком пятне, создаваемом свободно пролетевшими частицами. Подобный эффект для рассеяния света на свете исследовался в [29].
Исследование интерференционного вклада в инклюзивную вероятность позволяет в принципе восстановить волновую функцию центра масс адрона и его формфакторы. Однако для восстановления формфакторов необходимо подготовить такие состояния рассеянного электрона, чтобы стандартное отклонение импульсов в этих состояниях было порядка тех переданных импульсов, в области которых исследуется формфактор. Что касается адронов, таких как протоны и нейтроны, то эта величина составляет порядка 1 ГэВ и выше. Большие дисперсии импульсов в волновом пакете зондирующего электрона могут быть созданы, например, за счет поперечного столкновения электрона с другой вспомогательной частицей, обладающей импульсом порядка требуемого нормального отклонения. Этой вспомогательной частицей может быть и электрон. В таком случае весь процесс происходит следующим образом. Сначала электронный волновой пакет рассеивается вспомогательной частицей, приобретая большую дисперсию импульсов. Затем вылетевший электронный волновой пакет рассеивается на адронном волновом пакете. Что касается формы волновой функции центра масс адронов, то нормальное отклонение импульсов в волновом пакете зондирующего электрона может быть много меньше 1 ГэВ. В этом случае нормальное отклонение всего лишь определяет точность, с которой волновая функция центра масс адронов может быть восстановлена по данным рассеяния.
Работа организована следующим образом. В разделе 1.1 приводятся основные определения и обозначения. В разделе 1.2 мы оцениваем инклюзивную вероятность регистрации электрона, рассеянного адронным волновым пакетом. Получим общую фор-мулу и сделаем несколько приближений, чтобы ее упростить. В разделе 1.3 мы даем четкую физическую интерпретацию формулам, полученным в предыдущем разделе и находим эффективный массовый оператор электрона на массовой оболочке. В разделе 1.4 приведены частные выражения для вкладов в инклюзивную вероятность рассеяния электрона с явно заданным начальным состоянием частиц. Рассмотрен случай рассеяния двух гауссовых волновых пакетов и рассеяние на когерентной суперпозиции гауссоид. В разделе 2 приведены общие формулы для вероятности рассеяния пучков частиц. В Приложении А представлены следы и сокращения, возникающие при вычислении инклюзивной вероятности и массового оператора. В Приложении Б приведены основные положения представления Баргманна-Фока.
В работе используется такая система единиц, что h = c=1 и е2= 4па, где а — постоянная тонкой структуры. Греческие индексы ц, v принимают значения от 0 до 3, а латинские — i, jот 1 до 3. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, если не указано обратное. Также предполагается, что состояния частиц нормированы на единицу в некотором большом объёме V. Метрика Минковского имеет вид п = diag(1, -1, -1, -1).
Одним из проявлений когерентного рассеяния является наличие новых резонансов, как если бы частица рассеивалась не волновым пакетом одиночной частицы, а пучком модулированных соответствующим образом частиц. В этом случае модуляция реализуется в масштабе волнового пакета одной частицы, что позволяет добиться гораздо меньшего масштаба изменения рассеивателя, чем при модуляции пучков частиц, и, следовательно, получить резонансы при более высоких энергиях [11]. Кроме того, зависимость наблюдаемых от детальной структуры волнового пакета частицы, участвующей в процессе, позволяет восстановить ее волновую функцию, т.е. является одним из средств томографии квантового состояния [11, 12]. Это, в свою очередь, позволяет исследовать влияние фундаментальных особенностей квантовой теории, таких как запутывание и редукция квантового состояния при измерении, на процессы в физике высоких энергий.
В настоящей работе исследуется когерентное электромагнитное рассеяние дираковского фермиона (электрона) на волновом пакете другого дираковского фермиона (адрона со спином 1/2) с электромагнитным током, зависящим от двух формфакторов. Оказывается, вклад в инклюзивную вероятность регистрации электрона, возникающий в результате интерференции ведущего вклада в S-матрицу и ее нетривиальной связной части, описывает когерентное рассеяние этой частицы на волновой функции центра масс адрона [1]. Этот интерференционный вклад таков, как если бы электрон рассеивался классическим электромагнитным полем, создаваемым волновой функцией адрона, даже в том случае, когда в каждом эксперименте принимает участие только один адрон. Квантовая отдача, обусловленная рассеянием, в этом вкладе отсутствует. Другими словами, это интерференционный вклад в инклюзивную вероятность регистрации электрона, содержащего средний адронный электромагнитный ток, который обсуждается в попытках дать точную физическую интерпретацию форм-факторов [13-20]. " Стандартный" вклад в инклюзивную вероятность, пропорциональный дифференциальному сечению в пределе плоских волн, с необходимостью включает в себя квантовую отдачу и определяется недиагональными элементами тока перехода. В результате стандартный вклад в инклюзивную вероятность лучше интерпретировать как описание некогерентного рассеяния волновым пакетом частицы [9, 10, 21-28]. Заметим, что интерференционный вклад имеет меньший порядок по константе связи (порядка а), чем квадрат модуля связной части S-матрицы (порядка а2). Однако этот вклад существует только для неплосковолновых начальных состояний рассеиваемых частиц. В случае, когда начальные состояния частиц представляют собой плоские волны, интерференционный вклад отличен от нуля только на множестве точек меры нуль в пространстве импульсов [1]. Для наблюдения интерференционного вклада в инклюзивную вероятность детектор необходимо разместить перед эмиттером зондирующих частиц и зарегистрировать интерференционную картину, формируемую на ярком пятне, создаваемом свободно пролетевшими частицами. Подобный эффект для рассеяния света на свете исследовался в [29].
Исследование интерференционного вклада в инклюзивную вероятность позволяет в принципе восстановить волновую функцию центра масс адрона и его формфакторы. Однако для восстановления формфакторов необходимо подготовить такие состояния рассеянного электрона, чтобы стандартное отклонение импульсов в этих состояниях было порядка тех переданных импульсов, в области которых исследуется формфактор. Что касается адронов, таких как протоны и нейтроны, то эта величина составляет порядка 1 ГэВ и выше. Большие дисперсии импульсов в волновом пакете зондирующего электрона могут быть созданы, например, за счет поперечного столкновения электрона с другой вспомогательной частицей, обладающей импульсом порядка требуемого нормального отклонения. Этой вспомогательной частицей может быть и электрон. В таком случае весь процесс происходит следующим образом. Сначала электронный волновой пакет рассеивается вспомогательной частицей, приобретая большую дисперсию импульсов. Затем вылетевший электронный волновой пакет рассеивается на адронном волновом пакете. Что касается формы волновой функции центра масс адронов, то нормальное отклонение импульсов в волновом пакете зондирующего электрона может быть много меньше 1 ГэВ. В этом случае нормальное отклонение всего лишь определяет точность, с которой волновая функция центра масс адронов может быть восстановлена по данным рассеяния.
Работа организована следующим образом. В разделе 1.1 приводятся основные определения и обозначения. В разделе 1.2 мы оцениваем инклюзивную вероятность регистрации электрона, рассеянного адронным волновым пакетом. Получим общую фор-мулу и сделаем несколько приближений, чтобы ее упростить. В разделе 1.3 мы даем четкую физическую интерпретацию формулам, полученным в предыдущем разделе и находим эффективный массовый оператор электрона на массовой оболочке. В разделе 1.4 приведены частные выражения для вкладов в инклюзивную вероятность рассеяния электрона с явно заданным начальным состоянием частиц. Рассмотрен случай рассеяния двух гауссовых волновых пакетов и рассеяние на когерентной суперпозиции гауссоид. В разделе 2 приведены общие формулы для вероятности рассеяния пучков частиц. В Приложении А представлены следы и сокращения, возникающие при вычислении инклюзивной вероятности и массового оператора. В Приложении Б приведены основные положения представления Баргманна-Фока.
В работе используется такая система единиц, что h = c=1 и е2= 4па, где а — постоянная тонкой структуры. Греческие индексы ц, v принимают значения от 0 до 3, а латинские — i, jот 1 до 3. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, если не указано обратное. Также предполагается, что состояния частиц нормированы на единицу в некотором большом объёме V. Метрика Минковского имеет вид п = diag(1, -1, -1, -1).
Подведем итоги. В работе рассмотрено упругое электромагнитное рассеяние вол-нового пакета электрона на волновом пакете адрона спина 1/2. Оказывается, что ведущий нетривиальный вклад в инклюзивную вероятность зарегистрировать электрон в таком процессе имеет порядок а, а не а2, как в формуле Розенблюта [30, 32] для дифференциального сечения. Этот вклад в инклюзивную веротность появляется только для начальных состояний, отличных от плоских волн, так как отличен от нуля только на множестве точек меры нуль в плосковолновом приближении. Это связано с интерференцией тривиального вклада и ведущего вклада в связную часть S-матрицы [1].
В разделе 1.2 получено явное выражение для интерференционного вклада в инклюзивную вероятность рассеяния электрона и рассмотрены его свойства. Изучены частные случаи: рассеяние электрона на заряженном адроне (протоне), когда ведущий вклад определяется электрическим форм-фактором, и рассеяние электрона на нейтральном адроне (нейтроне), когда ведущий вклад определяется магнитным форм-фактором. В разделе 1.4 рассмотрены частные формы начальных состояний приготавливаемых частиц. Показано, что при рассеянии на малые углы двух гауссовых волновых пакетов возникает интерференционная картина от свободно прошедшей части волновой функции электрона и её рассеянной частью. Также показано, что рассеяние электрона на одном заряженном адроне, состояние которого имеет вид когерентной суперпозиции гауссоид, имеет характер брэгговского рассеяния, как если бы оно происходило на кристаллической решётке, узлы которой определялись центрами гауссоид. Эти примеры доказывают, что нетривиальная форма волновых пакетов существенно влияет на интерференционный вклад. Симметрия адронного волнового пакета приводит к соответствующим правилам отбора [1], а большая проекция углового момента заряженного адрона приводит к большому магнитному моменту эффективного тока [33-37] с соответствующим влиянием на данные рассеяния.
В разделе 1.3 получено выражение для массового оператора электрона на массовой оболочке. Установлено, что при интерпретации интерференционного вклада можно рассматривать электрон как рассеянный классическим электромагнитным полем, создаваемым адронным током, усреднённым по свободно эволюционирующей матрице плотности (68). В частности, в этом вкладе отсутствует квантовая отдача, испытываемая адроном из-за рассеяния на электроне. Более того, такая интерпретация справедлива даже в случае рассеяния на одиночном адроне. Также обнаружено, что интерференционный вклад можно использовать для восстановления волновой функции адрона с помощью инклюзивной вероятности регистрации электрона. Получен эффективный электромагнитный потенциал и соответствующий эффективный ток (68), на который можно заменить адронный волновой пакет при описании интерференционного члена в инклюзивной вероятности. Этот эффективный ток и есть средний адронный электро-магнитный ток. Это означает, что интерференционный вклад соответствует когерентному рассеянию электрона адронным волновым пакетом, и поэтому можно использовать
методы классической электродинамики и теории рассеяния электронов классическими электромагнитными полями. Эффективный электромагнитный ток получен для нейтрона как в поляризованных, так и в неполяризованных состояниях. В последнем случае эффективный ток мал, но отличен от нуля и определяется выражением (69), (72).
Эффективный электромагнитный потенциал входит в массовый оператор электрона. Уравнение Дирака с этим массовым оператором обладает связанными состояниями. Ожидается, что эти связанные состояния могут проявить себя как резонансы интерференционного вклада в дополнение к стандартным резонансам, происходящим от связанных состояний электрона и адрона. Детальное исследование дополнительных связанных состояний и разработка соответствующего формализма остаётся предметом будущих исследований. Другим возможным направлением исследований, связанным с результатами настоящей работы, является изучение влияния измерения на вклад помех в инклюзивную вероятность. Как постулируется в квантовой механике, измерение приводит к коллапсу волновой функции частицы. Поскольку интерференционный член зависит от формы волнового пакета и определяется электромагнитным током, построенным в терминах этой волновой функции, ожидается, что измерение серьезно повлияет на этот вклад в инклюзивную вероятность.
В пределе малой отдачи в работе рассмотрен и "стандартный" квадратичный по а вклад (93), обобщающий формулу Розенблюта на случай нетривиальных начальных состояний частиц. Показано, что в отличие от плосковолнового предела, вклад (93) содержит логарифмические инфракрасные расходимости. Эти расходимости имеют от-личную от известных инфракрасных расходимостей, возникающих от интегрирования по петлям в диаграммах Фейнмана, природу. Стандартные методы, описанные, например, в [43], не могут быть использованы для устранения таких расходимостей, так как нет диаграмм с реальными "мягкими" фотонамы в изучаемом порядке теории возмущений. Одно из предположений состоит в том, что инфракрасные расходимости пропадут после суммирования всего ряда теории возмущений. Для проверки этого предположения можно решить более простую задачу рассеяния волнового пакета частицы на кулоновском потенциале. Решение этой задачи остаётся для дальнейшего исследования. Другое предположение состоит в том, что неправильно выбрано разбиение полного га-мильтониана на свободную часть, которым определяется свободная эволюция волнового пакета, и взаимодействие. Идея состоит в переопределении свободной части гамильтониана и модифицикации пространства асимптотически свободных состояний. Кроме того, при изучении расходимостей, необходимо учитывать все возможные вклады в инклюзивную вероятность порядка а2, идущие от произведения сквозной диаграммы и диаграмм с петлевыми поправками. Изучение этих вкладов будет проведено в другой работе.
Используя представление Баргманна-Фока для состояний частиц и действующих на них операторов в разделе 2 обобщены полученные результаты на случай рассеяния пучков частиц (разд. 2). Приведен явный вид для инклюзивной вероятности рассеяния электронов в ведущем порядке по константе связи. Показано, что в ведущем нетривиальном порядке амплитуда адрон-адронного рассеяния не даёт вклада в вероятность зарегистрировать электрон. В дальнейшем планируется подробнее рассмотреть процесс электрон-электронного рассеяния с нетривиальными состояниями приготавливаемых частиц. В первую очередь нас интересует вклад обменной диаграммы в инклюзивную вероятность и в массовый оператор.
В разделе 1.2 получено явное выражение для интерференционного вклада в инклюзивную вероятность рассеяния электрона и рассмотрены его свойства. Изучены частные случаи: рассеяние электрона на заряженном адроне (протоне), когда ведущий вклад определяется электрическим форм-фактором, и рассеяние электрона на нейтральном адроне (нейтроне), когда ведущий вклад определяется магнитным форм-фактором. В разделе 1.4 рассмотрены частные формы начальных состояний приготавливаемых частиц. Показано, что при рассеянии на малые углы двух гауссовых волновых пакетов возникает интерференционная картина от свободно прошедшей части волновой функции электрона и её рассеянной частью. Также показано, что рассеяние электрона на одном заряженном адроне, состояние которого имеет вид когерентной суперпозиции гауссоид, имеет характер брэгговского рассеяния, как если бы оно происходило на кристаллической решётке, узлы которой определялись центрами гауссоид. Эти примеры доказывают, что нетривиальная форма волновых пакетов существенно влияет на интерференционный вклад. Симметрия адронного волнового пакета приводит к соответствующим правилам отбора [1], а большая проекция углового момента заряженного адрона приводит к большому магнитному моменту эффективного тока [33-37] с соответствующим влиянием на данные рассеяния.
В разделе 1.3 получено выражение для массового оператора электрона на массовой оболочке. Установлено, что при интерпретации интерференционного вклада можно рассматривать электрон как рассеянный классическим электромагнитным полем, создаваемым адронным током, усреднённым по свободно эволюционирующей матрице плотности (68). В частности, в этом вкладе отсутствует квантовая отдача, испытываемая адроном из-за рассеяния на электроне. Более того, такая интерпретация справедлива даже в случае рассеяния на одиночном адроне. Также обнаружено, что интерференционный вклад можно использовать для восстановления волновой функции адрона с помощью инклюзивной вероятности регистрации электрона. Получен эффективный электромагнитный потенциал и соответствующий эффективный ток (68), на который можно заменить адронный волновой пакет при описании интерференционного члена в инклюзивной вероятности. Этот эффективный ток и есть средний адронный электро-магнитный ток. Это означает, что интерференционный вклад соответствует когерентному рассеянию электрона адронным волновым пакетом, и поэтому можно использовать
методы классической электродинамики и теории рассеяния электронов классическими электромагнитными полями. Эффективный электромагнитный ток получен для нейтрона как в поляризованных, так и в неполяризованных состояниях. В последнем случае эффективный ток мал, но отличен от нуля и определяется выражением (69), (72).
Эффективный электромагнитный потенциал входит в массовый оператор электрона. Уравнение Дирака с этим массовым оператором обладает связанными состояниями. Ожидается, что эти связанные состояния могут проявить себя как резонансы интерференционного вклада в дополнение к стандартным резонансам, происходящим от связанных состояний электрона и адрона. Детальное исследование дополнительных связанных состояний и разработка соответствующего формализма остаётся предметом будущих исследований. Другим возможным направлением исследований, связанным с результатами настоящей работы, является изучение влияния измерения на вклад помех в инклюзивную вероятность. Как постулируется в квантовой механике, измерение приводит к коллапсу волновой функции частицы. Поскольку интерференционный член зависит от формы волнового пакета и определяется электромагнитным током, построенным в терминах этой волновой функции, ожидается, что измерение серьезно повлияет на этот вклад в инклюзивную вероятность.
В пределе малой отдачи в работе рассмотрен и "стандартный" квадратичный по а вклад (93), обобщающий формулу Розенблюта на случай нетривиальных начальных состояний частиц. Показано, что в отличие от плосковолнового предела, вклад (93) содержит логарифмические инфракрасные расходимости. Эти расходимости имеют от-личную от известных инфракрасных расходимостей, возникающих от интегрирования по петлям в диаграммах Фейнмана, природу. Стандартные методы, описанные, например, в [43], не могут быть использованы для устранения таких расходимостей, так как нет диаграмм с реальными "мягкими" фотонамы в изучаемом порядке теории возмущений. Одно из предположений состоит в том, что инфракрасные расходимости пропадут после суммирования всего ряда теории возмущений. Для проверки этого предположения можно решить более простую задачу рассеяния волнового пакета частицы на кулоновском потенциале. Решение этой задачи остаётся для дальнейшего исследования. Другое предположение состоит в том, что неправильно выбрано разбиение полного га-мильтониана на свободную часть, которым определяется свободная эволюция волнового пакета, и взаимодействие. Идея состоит в переопределении свободной части гамильтониана и модифицикации пространства асимптотически свободных состояний. Кроме того, при изучении расходимостей, необходимо учитывать все возможные вклады в инклюзивную вероятность порядка а2, идущие от произведения сквозной диаграммы и диаграмм с петлевыми поправками. Изучение этих вкладов будет проведено в другой работе.
Используя представление Баргманна-Фока для состояний частиц и действующих на них операторов в разделе 2 обобщены полученные результаты на случай рассеяния пучков частиц (разд. 2). Приведен явный вид для инклюзивной вероятности рассеяния электронов в ведущем порядке по константе связи. Показано, что в ведущем нетривиальном порядке амплитуда адрон-адронного рассеяния не даёт вклада в вероятность зарегистрировать электрон. В дальнейшем планируется подробнее рассмотреть процесс электрон-электронного рассеяния с нетривиальными состояниями приготавливаемых частиц. В первую очередь нас интересует вклад обменной диаграммы в инклюзивную вероятность и в массовый оператор.