Реферат
ВВЕДЕНИЕ 6
1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА 9
1.1. Относительно - ограниченные операторы 9
1.2. Вывод решения уравнений соболевского типа в относительно
ограниченном случае 14
1.3. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной. Редукция к
абстрактному уравнению 17
Вывод по разделу 21
2 РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА -
ЖЕЛТОВА - КОЧИНОЙ 22
2.1. Задача Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в
цилиндрических координатах 22
2.2. Решение уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в
цилиндрических координатах 26
2.3. Алгоритм численного метода 29
2.4 Вычислительный эксперимент 32
Вывод по разделу 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 41
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОД ПРОГРАММЫ 44
Пусть - область в с бесконечно гладкой границей.
Рассмотрим задачу Дирихле
(0.1) для нестационарного уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной
, (0.2)
моделирующего динамику давления вязкоупругой жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде . Параметр X и скалярная функция характеризуют среду; функция играет
роль внешней нагрузки. Вдобавок, тщательный разбор вывода уравнения (0.2), сделанный, выявил, что отрицательные значения параметра X не противоречат физическому смыслу, и поэтому в этом уравнении оператор в правой части может зануляться. Отметим, что уравнение (0.2) вместе с граничными условиями Дирихле (0.1) может являться моделью процесса влагопереноса в почве , а также процесса теплопроводности в среде с «двумя температурами».
Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной относится к неклассическим уравнениям математической физики , иллюстрирующих применение теории уравнений соболевского типа, развиваемой профессором Г. А. Свиридюком и его учениками. В первый раз уравнения, не разрешенные сравнительно выделенной производной, были замечены в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Впрочем, начало регулярных изучений этих уравнений было положено в работе С.Л. Соболева , изданной в 1954 году. С тех пор уравнения соболевского типа активно изучались в связи с большим количеством приложений.
Ранее уравнение (0.2) с различными начальными краевыми условиями рассматривались многими авторами (обзор по этому поводу можно найти , ). Можно еще отметить работу , в которой рассматривается стационарное уравнение БЖК в цилиндрических координатах и основной задачей исследования являются другие вопросы. В отличие от предыдущих исследований мы рассматриваем уравнение (0.2) в нестационарном случае. Так как уравнение БЖК описывает процессы фильтрации и подобные им, то естественно выбирать цилиндрическую систему координат, так как она. Задачу Дирихле (0.1) для уравнения (0.2) будем рассматривать в цилиндрических координатах. Уравнения соболевского типа, с коэффициентами, зависящими от времени, впервые были рассмотрены в диссертации , после чего начали применяться для рассмотрения моделей различных процессов.
Целью выпускной квалификационной работы является исследование решения нестационарного уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в цилиндрических координатах, визуализация и численное моделирование решения в зависимости от заданных параметров уравнения, коэффициентов и начальных данных.
Для достижения цели работы были представлены следующие задачи:
• изучить основную литературу по теме выпускной квалификационной работы;
• найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в цилиндрических координатах;
• решить нестационарное уравнение Баренблатта-Желтова- Кочиной в цилиндрических координатах;
• провести численный эксперимент для нестационарного уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в цилиндрических координатах.
В рамках данной работы происходит ознакомление с теорией уравнений соболевского типа, построение и изучение решения уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в цилиндрических координатах, а так же визуализация процесса. Основными методами исследования являются методы функционального анализа , уравнений математической физики . Для построения численного решения использована среда математических расчетов Maple .
...
В ходе данной работы были изучены основные положения теории уравнения соболевского типа. Был проведен обзор литературы по теме исследования.
В первой главе была рассмотрена предметная область, где описывается теория уравнений соболевского типа, так же приведены определения и формулировки теорем, которые используются для проведения основных построений. В работе были рассмотрены нестационарные уравнения соболевского типа, где один из параметров уравнения является скалярной функцией и характеризует изменение во времени параметров взаимовлияния состояний исследуемой системы. Была исследована модель фильтрации жидкости Баренблатта - Желтова - Кочиной.
Во второй главе описали построение решения уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной. В первом пункте для построения решения описали решение задачи Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в цилиндрических координатах, были найдены собственные значения и собственные функции. Данное уравнение решалось методом Фурье, используя классические учебники по теории уравнений математической физики. Во втором пункте описали построение решения самого нестационарного уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в цилиндрических координатах. В третьем и четвертом пунктах, на основе теоретических результатов приведенных в предыдущих пунктах разработали алгоритм и численный метод решения задачи, а также проведен вычислительный эксперимент на основе разработанного алгоритма и построены графики в зависимости от заданных параметров уравнения, коэффициентов и начальных данных. С помощью теории уравнений соболевского типа решение получено и в случае классической задачи, и в случае, когда оператор при производной по времени зануляется.
Таким образом, выполнены все поставленные задачи, основная цель данной выпускной квалификационной работы достигнута.
