АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 8
1.1. Методы решения квазилинейного уравнения теплопроводности 10
1.1.1. Метод бегущей волны 10
1.1.2. Метод предиктор-корректор для явной устойчивой схемы 11
1.2. Распространение тепла в пространстве 14
1.2.1. Постановка краевых задач 16
1.2.2. Разностные схемы 18
1.4. Вывод по главе 25
Постановка задачи 27
2. ПОЛУЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОЙ ЯВНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ
СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 30
2.1. Вывод расчетной схемы и рабочих формул для задачи с постоянными
коэффициентами 30
2.2. Устойчивость явной схемы для третьей смешанной задачи с постоянными
коэффициентами 34
2.3. Дифференциально-разностная схема для третьей смешанной задачи
теплопроводности с непостоянными коэффициентами 35
2.4. Вывод по главе 36
3. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С НЕПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 37
3.1. Вывод рабочих формул для задачи с непостоянными коэффициентами . 37
3.2. Повышение порядка точности разностной схемы методом предиктор-
корректор 41
3.3. Приближенное решение квазилинейного уравнения теплопроводности способом интегрирования на промежутках линейности непостоянных
коэффициентов 43
3.4. Приведение задачи к безразмерному виду 50
3.5. Оценка результатов программы 53
3.6. Вывод по главе 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 59
ПРИЛОЖЕНИЕ 62
Одним из современных направлений математической физики считается изучение нелинейных математических моделей всевозможных физикохимических процессов и явлений. Появление таких моделей обосновано применениями в современной физике и технике влияний на вещество электрических полей высокой интенсивности, мощного лазерного когерентного излучения, пучков частиц высокой энергии, ударных волн большой интенсивности, мощных тепловых потоков. При описании различных процессов, линейные математические модели представляются всего лишь определенными приближениями. Ими можно воспользоваться только в том случае, когда изучаемые физические величины в исследуемом процессе изменяются в узком диапазоне значений.
Нелинейные модели позволяют нам увидеть процессы в более широком диапазоне изменения параметров. Нелинейности преобразуют качественную картину их протекания, а не только количественные характеристики процессов. В настоящее время не существует законченных теорий и общих методов решения задач нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые лежат в основе нелинейных моделей.
Фундаментом многих математических моделей являются нелинейные параболические уравнения второго порядка, которые используются в биологии и химии, физике и механике. К примеру, квазилинейное уравнение теплопроводности
z ч ди ,. z z . , . ^z ч z,4
c(x, t, u) — = div(g(x, t, u) gradw) + F(x, t,u), (1)
dt
при определенных критериях описывает процессы распространения выбросов отрицательной плавучести, химической кинетики и биологической активности , ионной и электронной теплопроводности в плазме, течения крови в мелких кровеносных сосудах, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах.
Применение основных законов сохранения при математическом моделировании разнообразных физических процессов зачастую приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Особенно часто встречается квазилинейное уравнение теплопроводности (1) среди уравнений данного типа. Поэтому есть основания утверждать, что исследование краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой изучения. Несмотря на бессчетные работы по исследованию процессов нелинейной теплопроводности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности. Поэтому численные методы решения таких задач представляют большой интерес.
...
В ходе выполнения данной работы были получены следующие результаты:
• рассмотрены способы численного решения квазилинейного уравнения с применением чисто неявных схем;
• исходное квазилинейное уравнение теплопроводности с помощью замены сведено к виду, в котором коэффициент теплопроводности не входит под знак дивергенции;
• получено обыкновенное дифференциальное уравнение явной разностной схемы относительно значения неизвестной функции на следующем временном слое;
• для задания краевых условий выбран метод введения фиктивного слоя, получено квадратное уравнение, один из корней которого является значением искомой функции в фиктивном слое;
• выполнено обезразмеривание задачи;
• предложены два варианта реализации явной схемы:
а) с использованием значений коэффициентов уравнения на предыдущем временном слое (коэффициенты уравнения суть константы);
б) с интегрированием полученного дифференциального уравнения по времени на промежутке , где г - временной шаг разностной схемы, и нахождением значения искомой функции методом дихотомии на промежутках монотонности полученной первообразной (коэффициенты уравнения являются непостоянными).
В дальнейшем планируется составить программу на языке программирования C++, реализующие оба варианта построенной явной схемы, а также линейный и нелинейный вариант чисто неявной схемы, провести сравнение решений третьей смешанной задачи, полученных при использовании указанных выше схем. По результатам сравнения сделать заключение о возможностях практического применения построенной явной схемы для решения квазилинейного уравнения теплопроводности.
