АННОТАЦИЯ
ВВЕДЕНИЕ 4
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 7
Относительно секториальный оператор 7
Описание модели Дзекцера. Редукция и абстрактные средства 10
Вывод по разделу 14
МОДЕЛЬ ДЗЕКЦЕРА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 15
Функции Бесселя 15
Задача Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в цилиндрических
координатах 20
Решение нестационарного уравнения Дзекцера в цилиндрических
координатах 24
Вывод по разделу 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 30
Пусть - ограниченная область с границей класса . В цилиндре
рассмотрим задачу Дирихле
(а)
для уравнения соболевского типа
(b) которая моделирует эволюцию поверхности фильтрации жидкости. Здесь
- параметры уравнения и скалярная функция
характеризует среду. Вектор-функция - характеризующая внешнее
воздействие на систему. Вдобавок, тщательный разбор вывода уравнения (b), сделанный , выявил, что отрицательные значения параметра X не противоречат физическому смыслу. Уравнение (b) принадлежит классу уравнений соболевского типа, которые являются основой большого количества неклассических моделей математической физики . Отметим, что уравнение (b) вместе с граничными условиями Дирихле (а) может являться моделью процесса влагопереноса в почве , а также процесса теплопроводности в среде.
Уравнение Дзекцера относится к неклассическим уравнениям математической физики [3], иллюстрирующих применение теории уравнений соболевского типа, развиваемой профессором Г. А. Свиридюком и его учениками. Подробный исторический обзор уравнений соболевского типа и обширную библиографию можно найти. Заметим, что в отличие от ранних исследований уравнения (b), рассмотрим его с коэффициентом, зависящим от времени.
Решение задачи Дирихле для (b) с условием Шоуолтера - Сидорова
(c) которое в этой ситуации более применимо, чем традиционное условие Коши .
Ранее уравнение (b) с различными начальными краевыми условиями рассматривались многими авторами (обзор по этому поводу можно найти). Можно еще отметить работу, в которой рассматривается стационарное уравнение Дзекцера в цилиндрических координатах и основной задачей исследования являются другие вопросы. В отличие от предыдущих исследований уравнение (b) рассматривается в нестационарном случае. Задачу Дирихле для уравнения (b) будем рассматривать в цилиндрических координатах. Уравнения соболевского типа, с коэффициентами, зависящими от времени, впервые были рассмотрены в диссертации , после чего начали применяться для рассмотрения моделей различных процессов.
Целью выпускной квалификационной работы является исследование нестационарной модели Дзекцера в цилиндрических координатах.
Для достижения цели работы были представлены следующие задачи:
• ознакомиться с моделью Дзекцера;
• ознакомиться с теоретической частью;
• решить задачу Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в цилиндрических координатах;
• получить решение.
В рамках данной работы происходит ознакомление знакомимся с теорией уравнений соболевского типа, описываем решение задачи Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в цилиндрических координатах, используя функции Бесселя, выполняем построение и изучаем решения уравнения Дзекцера в цилиндрических координатах. Основными методами исследования являются методы функционального анализа , уравнений математической физики.
...
В ходе данной работы были изучены основные положения теории уравнения соболевского типа. Был проведен обзор литературы по теме исследования. В работе были рассмотрены нестационарные уравнения соболевского типа, где один из параметров уравнения является скалярной функцией и характеризует изменение во времени параметров взаимовлияния состояний исследуемой системы.
Была исследована модель Дзекцера. Рассмотрены функции Бесселя для нахождения решения поставленной задачи в цилиндрических координатах. Для построения решения были найдены собственные значения и собственные функции задачи Штурма - Лиувилля в цилиндрических координатах через функции Бесселя. А также найдено решение нестационарного уравнения Дзекцера в цилиндрических координатах.
Таким образом, выполнены все поставленные задачи, основная цель данной выпускной квалификационной работы.
