ДЕФОРМАЦИОННОЕ КВАНТОВАНИЕ КОНТАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
|
Аннотация
Введение 3
1 Симплектические многообразия 7
2 Предсимплектические многообразия с оснащением 10
2.1 Пуассонова алгебра 12
2.2 Пуассонова алгебра наблюдаемых 15
2.3 Деформационное квантование 16
2.4 Препятствия к существованию кривизны без аномалий 17
3 Контактные многообразия 19
3.1 Деформационное квантование на контактных группах Ли 21
3.2 Общий случай 24
3.2.1 Деформационное квантование методом Федосова 28
3.2.2 Формальная алгебра Вейля 29
3.2.3 Абелева связность Федосова 32
3.2.2 Алгебра плоских сечений 33
3.2.2 Внутренние преобразования алгебры Вейля 35
4 Инварианты на контактных многообразиях 39
4.1 Аномалии и классы квантования 40
Заключение 41
Список использованной литературы 43
Введение 3
1 Симплектические многообразия 7
2 Предсимплектические многообразия с оснащением 10
2.1 Пуассонова алгебра 12
2.2 Пуассонова алгебра наблюдаемых 15
2.3 Деформационное квантование 16
2.4 Препятствия к существованию кривизны без аномалий 17
3 Контактные многообразия 19
3.1 Деформационное квантование на контактных группах Ли 21
3.2 Общий случай 24
3.2.1 Деформационное квантование методом Федосова 28
3.2.2 Формальная алгебра Вейля 29
3.2.3 Абелева связность Федосова 32
3.2.2 Алгебра плоских сечений 33
3.2.2 Внутренние преобразования алгебры Вейля 35
4 Инварианты на контактных многообразиях 39
4.1 Аномалии и классы квантования 40
Заключение 41
Список использованной литературы 43
Настоящая работа посвящена проблеме деформационного квантования предсим- плектических и контактных многообразий. Затрагивая такую обширную область математической физики как квантование, следует сказать несколько слов об основных этапах ее становления. Вопрос о квантовании различных динамических систем занимает умы физиков и математиков уже более века. Начиная с простейших систем, таких как, осциллятор и ротатор, постепенно шло нащупывание той единой и всеобъемлющей конструкции, которая была бы пригодна для квантования любых динамических систем. Первой удачной попыткой сформулировать последовательный рецепт квантования была конструкция канонического квантования, предложенная Дираком в 1927 году. Хотя данный метод блестяще справлялся с поставленной задачей для упомянутых выше простейших систем, он плохо проявлял себя в более сложных ситуациях, например, задачах с калибровочными симметриями. Так, вопрос о построении квантовой электродинамики был, пожалуй, центральным на протяжении тридцати лет середины прошлого столетия.
Наиболее успешным методом квантования такого рода систем к 70-м годам было квантование по Гупту-Блейеру [17] и [6], включающее некоторые феноменологические аспекты. Но данные аспекты не удовлетворяли всей потребностей в простом и изящном алгоритме, поэтому поиски того самого «метода квантования» не останавливались. К началу 80-х годов существовали уже не один, а целых три альтернативных общепризнанных метода: геометрическое [26], деформационное [4] и БРСТ-квантования [28]. Главным преимуществом этих методов являлась объективизация динамических систем, то есть рассмотрение особенностей не конкретных моделей, но особенностей геометрии. Так, наибольшее распространение среди физиков-теоретиков получило БРСТ- квантование за простое определение физических величин, а также близкой связи с калибровочными системами. В то время как с абстрактно математической точки зрения наиболее популярными стали геометрическое и деформационное квантования.
Геометрическое и деформационное квантования представляют из себя две стороны одного вопроса. Первое концентрируется на вопросе о построении пространства состояний квантовой системы, уводя на второй план определение алгебры наблюдаемых, а значит и динамики. Второе же квантование наоборот - делает акцент на определение некоммутативной алгебры квантовых наблюдаемых, а только потом занимается вопросом реализации этих наблюдаемых как операторов в гильбертовом пространстве состояний. Имея свои преимущества и недостатки, оба упомянутых метода развивались параллельно друг с другом, что в итоге принесло свои плоды. Так, полное описание метода геометрического квантования можно найти в [31] с обобщением на полевую теорию. Идея деформационного квантования восходит к работам Ф. Березиана [1], а также французской группы математиков [4]. В своей окончательной форме решение проблемы деформационного квантования было дано Б. Федосовым [12], [11]. «Квантование Федосова», вызвав широкий резонанс как среди математиков, так и физиков, затем переосмысливалось и обобщалось многими авторами. Так, в работах [16], [2] была установлена связь между федосовским квантованием и методом БВФ-БРСТ-квантования гамильтоновых систем со связями. Обобщение на супермногообразия было сформулировано в [5]. Имеется адаптация конструкции к случаям кокасательных расслоений [7] и почти кэлеровых многообразий [19]. Наконец, в [10], [21] метод квантования Федосова был распространен на класс нерегулярных пуассоновых структур (названных ква- зисимплектическими), включающий в себя r-скобки Пуассона. Нельзя не упомянуть и об изящной формуле *-произведения для произвольных пуассоновых многообразий, предложенной М. Концевичем [20].
И геометрическое, и деформационное квантования прекрасно справлялись с простейшей задачей квантования симплектических многообразий [11], что наводило на мысль о реализации этих схем на более общем классе динамических систем - предсим- плектических многообразиях. Но, как было показано [22], деформационное квантование имеет некоторые когомологические препятствия для полной реализации процедуры. Такие препятствия известны также, как аномалии.
Можно подумать, что наличие аномалии связано не только с исследуемой моделью, но и с методом квантования. Но разного рода аномалии присутствуют и во всех трех упомянутых выше методах.
Так, даже для случая симплектического многообразия в геометрическом квантовании поднятие наблюдаемых может нарушать симметрии, присущие классическим величинам. Это является следствием неизоморфности бесконечномерной группы симплек- томорфизмов Sp(M,ш), сохраняющих форму ш, и максимальной группы симметрии PU(H) всех унитарных проективных преобразований квантовой системы. Такой род аномалии называется квантовой аномалией в коммутационных соотношениях.
Аномалии возникают также и в БРСТ-методе. Будем рассматривать общую структуру многообразия с классическим БРСТ-зарядом Q и действием S. Поднятие классической теории на квантовый уровень обеспечивается суперсимметричным обобщением теоремы формальности Концевича [8]. При этом S поднимается до S, которое можно разложить в сумму однородных полидифференциальных операторов S = A + Q + .... Можно показать с использованием мастер-уравнения, что A начинается с кубического члена по },1 а значит не имеет классического аналога. Именно это слагаемое и определяет квантовую аномалию в том смысле, что нарушает не только нильпотенотность Q, но и ассоциативность, и правило Лейбница квантового произведения.
В данной работе исследуется метод деформационного квантования Федосова применительно к предсимплектическим многообразиям. Как было впервые показано в [9], [32], каждая теоретико-полевая модель, заданная функционалом действия, определяет каноническую предсимплектическую структуру на расширенном конфигурационном пространстве полей. Это открывает путь к ковариантному формализму в релятивистской теории поля, не требующему искусственного пространственно-временного разделения.
Данная работа организована следующим образом. В первой главе мы кратко перескажем суть оригинальной работы [11], а именно процедуру деформационного квантования симплектических многообразий. В рамках этой главы мы не будем досконально описывать всю процедуру деформационного квантования Федосова, но опишем ее схематично. Это глава существует по сравнительной причине: для определения различий в процедуре квантования между симплектическим, предсимплектическими и контактными многообразиями.
Во второй главе мы рассмотрим некоторое обобщение идей, описанных в работе [22]. Более конкретно, мы собираемся описать процедуру деформационного квантования предсимплектических многообразий с кривизной, оставаясь в рамках специально выбранного базиса 1-форм - оснащение. Конечно, такой подход не позволит нам претендовать на абсолютную ковариантность описания такого типа многообразий, но это не помешает нам выявить некоторые общие свойства и принципы построения квантования. Как было показано, например, в той же самой работе [22], процедура деформационного квантования предсимплектических многообразий упирается в некоторые глобальные и локальные препятствия ещё на стадии построения связности Федосова. В результате мы попытаемся определить этих препятствий и возможные пути их разрешения.
В главе под номером три исследуется вопрос о применении процедуры деформационного квантования в случае контактных многообразий. В процессе изучения такого типа многообразий, мы поймем, что они не только допускают вполне естественный инвариантный язык описания, но и не имеют даже потенциального препятствия в определении 1что эквивалентно утверждению об отсутствии однопетлевых аномалий для вейлевского символа БРСТ-оператора
связности Федосова. Такое наблюдение связано с особенностью самой структуры многообразия. Дело в том, что ядро предсимплектической структуры, построенной по контактной, имеет лишь одномерное ядро, что в свою очередь дает некоторый тривиальный класс когомологий, определяющий препятствия к построению связности Федосова. При этом сама процедура квантования наблюдаемых наталкивается на препятствия, обсуждение которых и производится не только во второй части главы, но и в заключительной - четвертной главе.
Наиболее успешным методом квантования такого рода систем к 70-м годам было квантование по Гупту-Блейеру [17] и [6], включающее некоторые феноменологические аспекты. Но данные аспекты не удовлетворяли всей потребностей в простом и изящном алгоритме, поэтому поиски того самого «метода квантования» не останавливались. К началу 80-х годов существовали уже не один, а целых три альтернативных общепризнанных метода: геометрическое [26], деформационное [4] и БРСТ-квантования [28]. Главным преимуществом этих методов являлась объективизация динамических систем, то есть рассмотрение особенностей не конкретных моделей, но особенностей геометрии. Так, наибольшее распространение среди физиков-теоретиков получило БРСТ- квантование за простое определение физических величин, а также близкой связи с калибровочными системами. В то время как с абстрактно математической точки зрения наиболее популярными стали геометрическое и деформационное квантования.
Геометрическое и деформационное квантования представляют из себя две стороны одного вопроса. Первое концентрируется на вопросе о построении пространства состояний квантовой системы, уводя на второй план определение алгебры наблюдаемых, а значит и динамики. Второе же квантование наоборот - делает акцент на определение некоммутативной алгебры квантовых наблюдаемых, а только потом занимается вопросом реализации этих наблюдаемых как операторов в гильбертовом пространстве состояний. Имея свои преимущества и недостатки, оба упомянутых метода развивались параллельно друг с другом, что в итоге принесло свои плоды. Так, полное описание метода геометрического квантования можно найти в [31] с обобщением на полевую теорию. Идея деформационного квантования восходит к работам Ф. Березиана [1], а также французской группы математиков [4]. В своей окончательной форме решение проблемы деформационного квантования было дано Б. Федосовым [12], [11]. «Квантование Федосова», вызвав широкий резонанс как среди математиков, так и физиков, затем переосмысливалось и обобщалось многими авторами. Так, в работах [16], [2] была установлена связь между федосовским квантованием и методом БВФ-БРСТ-квантования гамильтоновых систем со связями. Обобщение на супермногообразия было сформулировано в [5]. Имеется адаптация конструкции к случаям кокасательных расслоений [7] и почти кэлеровых многообразий [19]. Наконец, в [10], [21] метод квантования Федосова был распространен на класс нерегулярных пуассоновых структур (названных ква- зисимплектическими), включающий в себя r-скобки Пуассона. Нельзя не упомянуть и об изящной формуле *-произведения для произвольных пуассоновых многообразий, предложенной М. Концевичем [20].
И геометрическое, и деформационное квантования прекрасно справлялись с простейшей задачей квантования симплектических многообразий [11], что наводило на мысль о реализации этих схем на более общем классе динамических систем - предсим- плектических многообразиях. Но, как было показано [22], деформационное квантование имеет некоторые когомологические препятствия для полной реализации процедуры. Такие препятствия известны также, как аномалии.
Можно подумать, что наличие аномалии связано не только с исследуемой моделью, но и с методом квантования. Но разного рода аномалии присутствуют и во всех трех упомянутых выше методах.
Так, даже для случая симплектического многообразия в геометрическом квантовании поднятие наблюдаемых может нарушать симметрии, присущие классическим величинам. Это является следствием неизоморфности бесконечномерной группы симплек- томорфизмов Sp(M,ш), сохраняющих форму ш, и максимальной группы симметрии PU(H) всех унитарных проективных преобразований квантовой системы. Такой род аномалии называется квантовой аномалией в коммутационных соотношениях.
Аномалии возникают также и в БРСТ-методе. Будем рассматривать общую структуру многообразия с классическим БРСТ-зарядом Q и действием S. Поднятие классической теории на квантовый уровень обеспечивается суперсимметричным обобщением теоремы формальности Концевича [8]. При этом S поднимается до S, которое можно разложить в сумму однородных полидифференциальных операторов S = A + Q + .... Можно показать с использованием мастер-уравнения, что A начинается с кубического члена по },1 а значит не имеет классического аналога. Именно это слагаемое и определяет квантовую аномалию в том смысле, что нарушает не только нильпотенотность Q, но и ассоциативность, и правило Лейбница квантового произведения.
В данной работе исследуется метод деформационного квантования Федосова применительно к предсимплектическим многообразиям. Как было впервые показано в [9], [32], каждая теоретико-полевая модель, заданная функционалом действия, определяет каноническую предсимплектическую структуру на расширенном конфигурационном пространстве полей. Это открывает путь к ковариантному формализму в релятивистской теории поля, не требующему искусственного пространственно-временного разделения.
Данная работа организована следующим образом. В первой главе мы кратко перескажем суть оригинальной работы [11], а именно процедуру деформационного квантования симплектических многообразий. В рамках этой главы мы не будем досконально описывать всю процедуру деформационного квантования Федосова, но опишем ее схематично. Это глава существует по сравнительной причине: для определения различий в процедуре квантования между симплектическим, предсимплектическими и контактными многообразиями.
Во второй главе мы рассмотрим некоторое обобщение идей, описанных в работе [22]. Более конкретно, мы собираемся описать процедуру деформационного квантования предсимплектических многообразий с кривизной, оставаясь в рамках специально выбранного базиса 1-форм - оснащение. Конечно, такой подход не позволит нам претендовать на абсолютную ковариантность описания такого типа многообразий, но это не помешает нам выявить некоторые общие свойства и принципы построения квантования. Как было показано, например, в той же самой работе [22], процедура деформационного квантования предсимплектических многообразий упирается в некоторые глобальные и локальные препятствия ещё на стадии построения связности Федосова. В результате мы попытаемся определить этих препятствий и возможные пути их разрешения.
В главе под номером три исследуется вопрос о применении процедуры деформационного квантования в случае контактных многообразий. В процессе изучения такого типа многообразий, мы поймем, что они не только допускают вполне естественный инвариантный язык описания, но и не имеют даже потенциального препятствия в определении 1что эквивалентно утверждению об отсутствии однопетлевых аномалий для вейлевского символа БРСТ-оператора
связности Федосова. Такое наблюдение связано с особенностью самой структуры многообразия. Дело в том, что ядро предсимплектической структуры, построенной по контактной, имеет лишь одномерное ядро, что в свою очередь дает некоторый тривиальный класс когомологий, определяющий препятствия к построению связности Федосова. При этом сама процедура квантования наблюдаемых наталкивается на препятствия, обсуждение которых и производится не только во второй части главы, но и в заключительной - четвертной главе.
В ходе выполнения первой части работы поднимался вопрос о процедуре деформационного квантования методом Федосова в широком классе многообразий с 2-формой постоянного, но не максимального ранга, называемых предсимплектическими многообразиями. Находясь в рамках особо выбранного базиса - оснащения, анализ дал следующие результаты. Построение связанности Федосова возможно только при некоторой «хорошо» определенной связанности, диктуемой уравнениями (51) или (54). Было показано, что первое условие эквивалентно ацикличности класса Атьи кривизны.
Необходимо отметить, что существует статья [29], в которой подробно обсуждается вопрос деформационного квантования для более широкого класса систем, а именно для окольцованных симплектических многообразий. В то время, как в настоящей работе исследуются препятствия к Федосовскому квантованию, в статье [29] делаются предположения об их отсутствии. Например, переводя на наш язык повествования, уравнение (54) считается выполненным тождественно.
Помимо этого вторая часть работы посвящена исследованию вопроса о деформационном квантовании контактных многообразий (M, Л) с векторным полем Рибба £. Являясь оригинальной, глава под номером четыре демонстрирует метод деформационного квантования Федосова, применительно к исследуемой структуре. И, как результат, приводит к некоторым, на первый взгляд неожиданным, выводам. В первую очередь, на классическом уровне, это невозможность инвариантного определения скобки Пуассона на всей алгебре функций C 1(M), так как билинейная форма имеет ноль-вектор, который лишает скобку правила Лейбница. Для обхода данной проблемы мы решили ограничится некоторой подалгеброй C1(M), в которой сконструированные скобки являются скобкой Пуассона. Но наше первое ограничение оказалось не единственным.
Как и ожидалось, построение связанности Федосова не встречается с какими-либо препятствиями и может быть реализовано во всех порядках. Следуя процедуре Федосова, была предпринята попытка поднятия всей алгебры C1(M) на квантовый уровень. В итоге, были получены некоторые дополнительные ограничения (125) не только на классическую наблюдаемую а0, но и на квантовые поправки с четной степенью по }: }2а2, }4а4,.... Необходимо заметить, что естественным образом возникает наше первое ограничение на подпространство C1(M).
Если первое ограничение можно удовлетворить всегда, ограничиваясь функциям инвариантными относительно векторного поля Рибба, то разрешимость высших уравнений сталкивается, вообще говоря, с некоторыми глобальными препятствиями. Такие препятствия обусловлены наличием некоторых инвариантов - чисел Ai, B. Так, первая группа диктуется наличием замкнутых траекторий векторного поля Рибба, наличие которых известно, как гипотеза Вайнштейна [30]. Вторая группа имеет единственного представителя и связана со существованием корректно определенного понятия интеграла по компактному контактному многообразию.
В будущем планируется дальнейшее исследование полученных инвариантов на предмет совпадение с уже известными в литературе. Кроме того, интересно найти подходящее физическое приложение для получения, возможно, нового спектра чисел, обуславливающих ту или иную модель.
Необходимо отметить, что существует статья [29], в которой подробно обсуждается вопрос деформационного квантования для более широкого класса систем, а именно для окольцованных симплектических многообразий. В то время, как в настоящей работе исследуются препятствия к Федосовскому квантованию, в статье [29] делаются предположения об их отсутствии. Например, переводя на наш язык повествования, уравнение (54) считается выполненным тождественно.
Помимо этого вторая часть работы посвящена исследованию вопроса о деформационном квантовании контактных многообразий (M, Л) с векторным полем Рибба £. Являясь оригинальной, глава под номером четыре демонстрирует метод деформационного квантования Федосова, применительно к исследуемой структуре. И, как результат, приводит к некоторым, на первый взгляд неожиданным, выводам. В первую очередь, на классическом уровне, это невозможность инвариантного определения скобки Пуассона на всей алгебре функций C 1(M), так как билинейная форма имеет ноль-вектор, который лишает скобку правила Лейбница. Для обхода данной проблемы мы решили ограничится некоторой подалгеброй C1(M), в которой сконструированные скобки являются скобкой Пуассона. Но наше первое ограничение оказалось не единственным.
Как и ожидалось, построение связанности Федосова не встречается с какими-либо препятствиями и может быть реализовано во всех порядках. Следуя процедуре Федосова, была предпринята попытка поднятия всей алгебры C1(M) на квантовый уровень. В итоге, были получены некоторые дополнительные ограничения (125) не только на классическую наблюдаемую а0, но и на квантовые поправки с четной степенью по }: }2а2, }4а4,.... Необходимо заметить, что естественным образом возникает наше первое ограничение на подпространство C1(M).
Если первое ограничение можно удовлетворить всегда, ограничиваясь функциям инвариантными относительно векторного поля Рибба, то разрешимость высших уравнений сталкивается, вообще говоря, с некоторыми глобальными препятствиями. Такие препятствия обусловлены наличием некоторых инвариантов - чисел Ai, B. Так, первая группа диктуется наличием замкнутых траекторий векторного поля Рибба, наличие которых известно, как гипотеза Вайнштейна [30]. Вторая группа имеет единственного представителя и связана со существованием корректно определенного понятия интеграла по компактному контактному многообразию.
В будущем планируется дальнейшее исследование полученных инвариантов на предмет совпадение с уже известными в литературе. Кроме того, интересно найти подходящее физическое приложение для получения, возможно, нового спектра чисел, обуславливающих ту или иную модель.
