Аннотация
1 Введение 3
2 Fa-исчисление 4
3 Ли-групповой подход к уравнениям с фрактальной производной 19
4 Продолжение 28
5 Вычисление групп симметрии дифференциальных уравнений 40
Заключение 49
Список использованной литературы 50
Обычно в физике рассматриваются гладкие функции, либо функции с счетным числом сингулярностей. Данный подход приемлем для множества моделей, однако, имеются теории требующие другого подхода, например, диффузия в пористой среде. Для таких случаев требуется переход от обычной геометрии к геометрии фракталов, представляющих собой множества с размерностью не являющейся целым числом и, в каком-то смысле, являются промежуточным звеном между целочисленными размерностями. Отличия фракталов от обычных геометрических объектов проявляются в неприменимости стандартного математического анализа, в связи с их иррегулярной структурой, соответственно, возникает нужда в построении новых подходов, расширяющих имеющийся математический аппарат.
Хотя простейшие фракталы, такие как множество Кантора, кривая Коха и салфетка Серпинского и не встречаются в природе они, являясь наиболее простыми структурами для анализа, могут служить некой отправной точкой для изучения фрактальных явлений и их основных свойств.
При описании фрактальных сред неудивительна встреча с дробными размерностями. Во фрактальных средах случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, чем в обычной среде, так как структура фрактала допускает не все направления движения, а только направления образующие фрактал. В связи с этим наблюдается замедление диффузии в фрактальных средах, причем, настолько существенное, что физические величины могут изменяться медленнее первой производной и данный эффект учитывается либо интегро-дифференциальным уравнением с дробной производной, либо с помощью, описанной далее, ^"-производной .
На основе этих идей были разработаны различные подходы к фрактальному анализу. Примером является использование дробных производных и интегралов при исследовании аномальной диффузии и стохастических процессов различной природы . Однако дробные производные, являясь нелокальными операторами, в ряде случаев, не подходят для прямого моделирования фракталов, так как могут быть упущены локальные особенности фракталов.
Интерес представляет аналитический метод, так называемого, F"-исчисления, в рамках которого, аналогично мат. анализу, вводятся понятия предела, непрерывности, производной и интеграла, применимые к фракталам . В формализме F"-исчисления вводятся гладкие функции от фрактальных переменных, позволяющие рассматривать аналоги обычных дифференциальных уравнений, с заменой обычных производных на фрактальные F"- производные. Далее возникает возможность построения моделей физический процессов в терминах фрактальных F"-производных и F"-интегралов, что, в свою очередь, приводит к задаче исследования свойств этих уравнений и поиску их решений.
Мощным инструментов для аналитического исследования дифференциальных уравнений являются методы группового и симметрийного анализа , которые применимы не только для дифференциальных уравнений . В работе данный метод был использован при исследовании симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений с фрактальными F"-производными, основной акцент сделан на рассмотрении аналогов обыкновенных дифференциальных уравнений и теореме Нетер.
Основной целью данной работы является изучение F"-исчисления и его свойств для дальнейшего построения аналога Ли группового подхода к симметрийному анализу дифференциальных уравнений на примере уравнения диффузии с фрактальной производной по времени, основываясь
В разделе 2 кратко изложено построение F"-исчисления в случае одномерных фрактальных множеств и изучено несколько примеров дифференциальных уравнений с фрактальной производной. Разделы 3-4 посвящены Ли-групповому подходу к дифференциальным уравнениям, с параллельным построением аналога, применимого для уравнений с фрактальной производной. В разделе 5 проведено построение 1-параметрических подгрупп симметрий уравнения диффузия для обычной производной и F "-производной.
В работе получены следующие результаты: изучены методы F"-исчисления, подход группового анализа дифференциальных уравнений применен к уравнениям с фрактальными производными, найдены лиевские симметрии (1+1)-мерного уравнения диффузии с фрактальной производной по времени.
Результаты работы докладывались на 28-й Международной конференции Математика. Компьютер. Образование. Москва, Пущино, 25-30 января 2021 - и опубликованы в журнале "Известия вузов. Физика"
Целью настоящей работы является изучение свойств фрактальных дифференциальных уравнений, а также их преобразований симметрии, на примере (1+1)-мерного уравнения диффузии с фрактальной производной по времени. Поставленная задача была решена путем построения аналога классического группового анализа с помощью, так называемого, F"- исчисления.
Упомянутое выше F"-исчисление представляет собой аналитический метод, позволяющий применять операции дифференцирования и интегрирования на фрактальных множествах. Ключевым объектом данного метода является интегральная ступенчатая функция S"(x) (2.10). Она представляет собой гладкую функцию от фрактальной переменной х, на основе которой вводятся все понятия Fa-производной и Fa-интеграла.
Для изучения свойств симметрии фрактальных уравнений, на основе F"-исчисления, был построен аналог классического групповго анализа. Рассмотрены продолжения преобразований зависимых и независимых переменных (1+1)-мерном случае (4.29), где роль переменных играет интегральная ступенчатая функция. Из соображений простоты, рассмотрены продолжения не выше второго порядка. Для уравнения второго порядка с фрактальной производной получен аналог условия инфинитезимальной инвариантности относительно однопараметрической группы преобразований.
Итогом работы является применение полученного аналога классического группового анализа к (1+1)-мерному уравнению диффузии с фрактальной производной по времени для получения однопараметрических подгрупп симметрий. Для решений уравнений, определяющих аналоги векторных полей и условий инвариантности, используются свойства F"-производной и F"-интеграла, изложенные в разделе 2 и подробно рассмотренные в работе [4].
Хотя ключевым объектом работы являются изучение свойств фрактальных сред и уравнений на них, в ходе вычислений встречаются, в основном, гладкие функции независимых и зависимых переменных, фрактальные же свойства целиком проявляются через интегральную ступенчатую функцию S"(t), характеристическую функцию у(х) и свойства F"-производных и интегралов. Данное замечание объясняет идентичность полученных лиевских симметрий с известными подгруппами обычного уравнения диффузии. Тем не менее, в итоге все фрактальные свойства заключены в ступенчатой функции S"(t) и характеристической функции y(t), вид которых зависит от рассматриваемого множества, и при рассмотрении обычной числовой прямой подгруппы преобразований идентичны случаю обычного уравнения диффузии.
Полученные результаты могут представлять интерес при изучении преобразований симметрии более сложных уравнений, в том числе при изучении различных нелинейных уравнений с фрактальными производными.
