Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 5
1. МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7
2. СЛЕДСТВИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 10
3. КОНГРУЭНТНЫЕ И РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 14
4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАД РАЗЛОЖИМЫМИ МОДУЛЯМИ 19
5. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫЕ С
ПОЛУЛИНЕЙНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ МОДУЛЕЙ 21
6. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫМ МОДУЛЕМ 23
Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, А - левый унитарный R —модуль.
Системой линейных уравнений над модулем А назовем систему вида(1)
где А Е Rmn,pl Е Л(т) и решения — векторы из Л(п). Везде далее через Rmn обозначаем множество всех (т X и)-матриц с элементами из кольца R, а через Л(к) — множество вектор-столбцов длины к с элементами из модуля А. Изучению систем уравнений такого рода посвящены работы . Если в качестве А взять кольцо R, то имеем систему линейных уравнений над кольцом R, которую можно записать как
АХ1 = В1 (2)
Через Ь(А,р1) и Ь(А,В1) обозначаем множества любых решений систем (1) и (2) соответственно.
Если А — правый R-модуль, можно рассматривать также системы уравнений вида
2Хг = р1 (3)
где 2 Е Атп,р1 Е А(т) и решения X1 — векторы из R(n).
В большинстве рабо, рассматривается случай, когда кольцо R - коммутативное. Сначала проводится исследование системы на разрешимость. Затем, если она такова (разрешима), выясняется сколько решений она имеет. Однако, даже для разрешимых систем вида (2), в случае коммутативного кольца R известно мало практических способов нахождения множества решений. Для случая же, когда система (2) рассматривается над некоммутативным кольцом или для систем вида (1) или (3) эта проблема стоит еще острее.
Цель данной работы — изучить и изложить некоторые общие методы возможных «упрощений» систем уравнений над модулями вида (1) и, как следствие, систем уравнений вида (2) над кольцами, не обязательно коммутативными.
Под упрощением системы (1) будем понимать построение такой системы уравнений
Ft]1 = у1
где F Е Rk't.y1 Е Л(к) или у1 Е П[ над модулем иЛ или над связанным с ним модулем s^, чтобы систему (4) было «проще» решать, чем систему (1) и чтобы по множеству L(F, у1) можно было получить содержательную информацию о множестве L(A,ft1'). Иногда требуется использовать несколько систем вида (4) для нахождения множества L(A,p^) решений системы (1).
Будем считать, что система (4) «проще», чем система (1), если:
• система (4) является системой над модулем, устроенным «проще»;
• содержит меньше уравнений и/или неизвестных, чем система (1);
• если при к = т и п = t матрица F более простого вида, чем матрица А.
Система (4) над модулем иЛ дает содержательную информацию о системе (1), если, например, известно множество L(F, у1) и для некоторой матрицы D Е Rn,t справедливо включение
L(A,pi)^DL(F,yi)
или включение
DI.(F,y)< L(A,pl).
Система (4) над модулем s_Q дает содержательную информацию о системе (1), если, например,
L(A^)c
где ф: Л(п) ^ ^(t) — отображение, индуцированное полулинейным отображением модулей иЛ ^ s.Q или если
^-1(L(F,yi))^L(A,pi)
В данной выпускной квалификационной работе были изучены системы линейных уравнений над модулями и некоторые методы упрощения такого рода систем. Под упрощением системы линейных уравнений мы понимаем нахождение новой системы уравнений, связанной с исходной, однако, устроенной в некоторых смыслах «проще» - например, имеющей меньшее количество уравнений или неизвестных, или с матрицей системы более «простого» вида - вместе с тем, по множествам решений которой можно сделать выводы о решениях изначальной системы.
• В первых трех параграфах изучены методы упрощения для систем вида (1), связанные с преобразованиями матрицы (Д,^) в матрицу (F, у1) при фиксированном модуле rA,
• В параграфах четвертом и пятом рассматривались методы упрощения, когда исходный модуль rA заменяется модулем .4'1 где либо S - прямое слагаемое кольца R, либо Н - прямое слагаемое в разложении модуля rA.
• В параграфе 6 рассматривается случай, когда модуль иЛ конечно порожденный или свободный.
