Тема: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД МОДУЛЯМИ

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, А - левый унитарный R —модуль.
Системой линейных уравнений над модулем А назовем систему вида(1)
где А Е Rmn,pl Е Л(т) и решения — векторы из Л(п). Везде далее через Rmn обознача­ем множество всех (т X и)-матриц с элементами из кольца R, а через Л(к) — множество вектор-столбцов длины к с элементами из модуля А. Изучению систем уравнений такого рода посвящены работы . Если в качестве А взять кольцо R, то имеем систему линейных уравнений над кольцом R, которую можно записать как
АХ1 = В1 (2)
Через Ь(А,р1) и Ь(А,В1) обозначаем множества любых решений систем (1) и (2) соответ­ственно.
Если А — правый R-модуль, можно рассматривать также системы уравнений вида
2Хг = р1 (3)
где 2 Е Атп,р1 Е А(т) и решения X1 — векторы из R(n).
В большинстве рабо, рассматривается случай, когда кольцо R - коммутативное. Сначала проводится исследование системы на разреши­мость. Затем, если она такова (разрешима), выясняется сколько решений она имеет. Од­нако, даже для разрешимых систем вида (2), в случае коммутативного кольца R известно мало практических способов нахождения множества решений. Для случая же, когда си­стема (2) рассматривается над некоммутативным кольцом или для систем вида (1) или (3) эта проблема стоит еще острее.
Цель данной работы — изучить и изложить некоторые общие методы возможных «упрощений» систем уравнений над модулями вида (1) и, как следствие, систем уравне­ний вида (2) над кольцами, не обязательно коммутативными.
Под упрощением системы (1) будем понимать построение такой системы уравне­ний
Ft]1 = у1
где F Е Rk't.y1 Е Л(к) или у1 Е П[ над модулем иЛ или над связанным с ним модулем s^, чтобы систему (4) было «проще» решать, чем систему (1) и чтобы по множеству L(F, у1) можно было получить содержательную информацию о множестве L(A,ft1'). Иногда требу­ется использовать несколько систем вида (4) для нахождения множества L(A,p^) решений системы (1).
Будем считать, что система (4) «проще», чем система (1), если:
• система (4) является системой над модулем, устроенным «проще»;
• содержит меньше уравнений и/или неизвестных, чем система (1);
• если при к = т и п = t матрица F более простого вида, чем матрица А.
Система (4) над модулем иЛ дает содержательную информацию о системе (1), если, например, известно множество L(F, у1) и для некоторой матрицы D Е Rn,t справедливо включение
L(A,pi)^DL(F,yi)
или включение
DI.(F,y)< L(A,pl).
Система (4) над модулем s_Q дает содержательную информацию о системе (1), если, например,
L(A^)c где ф: Л(п) ^ ^(t) — отображение, индуцированное полулинейным отображением модулей иЛ ^ s.Q или если
^-1(L(F,yi))^L(A,pi)
Купить

В данной выпускной квалификационной работе были изучены системы линейных уравнений над модулями и некоторые методы упрощения такого рода систем. Под упро­щением системы линейных уравнений мы понимаем нахождение новой системы уравне­ний, связанной с исходной, однако, устроенной в некоторых смыслах «проще» - напри­мер, имеющей меньшее количество уравнений или неизвестных, или с матрицей системы более «простого» вида - вместе с тем, по множествам решений которой можно сделать выводы о решениях изначальной системы.
• В первых трех параграфах изучены методы упрощения для систем вида (1), связанные с преобразованиями матрицы (Д,^) в матрицу (F, у1) при фиксированном модуле rA,
• В параграфах четвертом и пятом рассматривались методы упрощения, когда исходный модуль rA заменяется модулем .4'1 где либо S - прямое слагаемое кольца R, либо Н - прямое слагаемое в разложении модуля rA.
• В параграфе 6 рассматривается случай, когда модуль иЛ конечно порожденный или свободный.
Купить