Система компьютерной алгебры Mathematica известна, как мощное вычислительное приложение. В течение более 25-ти лет она определяет передовой край технических вычислений - и является основной средой для проведения расчётов для миллионов инженеров, преподавателей, студентов и других пользователей во всём мире. Mathematica позволяет осуществлять широкий спектр символьных преобразований, в том числе и операции математического анализа: дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд и другие. Помимо аналитических расчётов программа обеспечивает возможность применения разнообразных численных методов. Mathematica обладает развитой двух- и трёхмерной графикой, позволяющей как нельзя более наглядно для пользователя представить результаты расчётов. По сущности своей Mathematica представляет собой язык программирования высокого уровня (сейчас этот язык носит название Wolfram), который позволяет реализовать различные стили программирования. В своей совокупности перечисленные возможности превращают в удобный и мощный инструмент физических и математических исследований.
Возможности системы Mathematica [1]:
1) Аналитические преобразования
• Решение систем полиномиальных и тригонометрических уравнений и неравенств, а также трансцендентных уравнений, сводящихся к ним.
• Решение рекуррентных уравнений.
• Упрощение выражения.
• Нахождение пределов.
• Интегрирование и дифференцирование функций.
• Нахождение конечных и бесконечных сумм и произведений.
• Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
• Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование.
• Преобразование функции в ряд Тейлора, операции с рядами Тейлора: сложение, умножение, композиция, получение обратной функции и т. д.
2) Численные расчёты
• Вычисление значений функций, в том числе специальных, с произвольной точностью.
• Решение систем уравнений.
• Нахождение пределов.
• Интегрирование и дифференцирование.
• Нахождение сумм и произведений.
• Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
• Полиномиальная интерполяция функции от произвольного числа аргументов по набору известных значений.
• Расчет вероятностей.
3) Теория чисел
• Определение простого числа по его порядковому номеру, определение количества простых чисел, не превосходящих данное.
• Дискретное преобразование Фурье.
• Разложение числа на простые множители, нахождение НОД и НОК.
4) Линейная алгебра
• Операции с матрицами: сложение, умножение, нахождение обратной матрицы, умножение на вектор, вычисление экспоненты, получение определителя.
• Поиск собственных значений и собственных векторов.
...
Была изучена система Mathematica и в работе рассмотрено 74 различных примера применения Mathematica для решения разнообразных традиционных задач математического анализа:
1) Нахождение пределов и предельных множеств;
2) Полные и частные производные различных порядков, в общем случает от функции нескольких переменных;
3) Вычисление первообразных;
4) Численное и символьное интегрирование, в том числе нахождение кратных интегралов и вычисление с их помощью площадей и объемов;
5) Изучение сумм Римана;
6) Нахождение критических точек и локальных экстремумов для функции нескольких переменных.
Система Mathematica позволяет типичные задачи решать достаточно легко, давая возможность пользователю больше внимания уделить творчеству.
Подготовлено учебно -методическое пособие, которое описывает наиболее эффективные способы решения выше перечисленных задач. Это пособие полезно для студентов, изучающих математический анализ.
