Аннотация
Введение 3
1 Калибровочные симметрии линеаризованной гравитации
Нордстрема 7
2 Уравнения для поля спина 2 в терминах тензора с симметрией типа «крюк» 16
3 Подсчет числа степеней свободы 19
Заключение 24
Список использованной литературы 28
Безмассовое неприводимое представление спина два допускает, помимо линеаризованных уравнений Эйнштейна, альтернативные теоретикополевые описания тензором третьего ранга с диаграммой Юнга типа «крюк» . Эти альтернативные описания связаны с симметричным тензорным представлением дуализациями Ходжа в d > 5 и не применимы к d < 4. Известно, что данные формулировки непротиворечивы на свободном уровне и препятствуют включению взаимодействий . Дуализации рассматриваемого типа для высшеспиновых аналогов и обзор последних исследований содержатся в работах . Также следует упомянуть недавнюю работу , в которой рассматривается дуальная формулировка другого типа для полей высших спинов, допускающая дополнительные вершины взаимодействия по сравнению с аналогами, основанными на симметричных тензорах.
Ещё одним дуальным описанием гравитации является потенциал Ланцоша, также представляющий собой тензор третьего ранга с симметрией типа «крюк». Тензор Ланцоша можно рассматривать как потенциал для тензора Вейля по аналогии с векторным потенциалом для тензора напряженности электромагнитного поля. Эта аналогия исходит из того, что следствием тождеств Бьянки, наложенных на тензор Вейля C, является то, что C представляет собой комбинацию первых производных тензора третьего ранга с симметрией типа «крюк». Физических интерпретация тензора Ланцоша и последние исследования на эту тему приведены. Тензор Ланцоша представляет собой структуру в пространстве размерности d = 4 , хотя аналоги с другими диаграммами Юнга существуют и в более высоких измерениях.
В настоящей работе предлагается альтернативное представление для спина 2 тензором третьего ранга с диаграммой Юнга типа «крюк». Ключевая идея предлагаемой дуализации поля спина два апеллирует к той же аналогии с уравнением dF = 0 для напряженности поля со спином один, что и мотивирует введение потенциала Ланцоша для тензора Вейля. Однако в этой работе рассматривается она интерпретируется иначе, что приводит к другому результату. Так, уравнение dF = 0, рассматриваемое само по себе, независимо от остальной системы Максвелла, описывает топологическую теорию поля. Калибровочная симметрия для этого уравнения записывается в виде 5F = dA, где A - калибровочный параметр, являющийся произвольной один-формой. Общее решение
• чисто калибровочное, F = dA. Подставляя это решение в оставшиеся уравнения Максвелла d * F = 0, приходим к уравнениям для потенциала A. Аналогично, система уравнений Эйнштейна в отсутсвие материи включает уравнение Нордстрема
R=-Т^2Л - (1)
где R - скалярная кривизна, d - размерность пространства-времени, а Л
• космологическая постоянная. Это уравнение, если рассматривать его само по себе, независимо от всей системы Эйнштейна, представляет собой топологическую теорию поля. Для полной нелинейной теории (1) полный набор бесконечно малых калибровочных преобразований в явном виде не был ранее известен. Очевидной калибровочной симметрией уравнения Нордстрема является диффеоморфизм, однако его недостаточно, чтобы откалибровать все локальные степени свободы уравнения (1). Кроме того, общее решение уравнения (1) не может быть сведено к диффеоморфизму, потому что это означало бы, что уравнения Эйнштейна, среди которых содержится (1), допускают только тривиальные решения. Неявно существование дополнительной калибровочной симметрии для уравнения (1) подтверждается теоремой Койсо (см. также), в которой утверждается, что метрики постоянной кривизны допускают бесконечно малые деформации. Однако теорема существования Койсо не дает явного вида преобразования калибровочной симметрии линеаризованного уравнения (1).
...
Обсудим основные результаты, полученные в настоящей работе.
Первый результат состоит в том, что была найдена полная приводимая калибровочная симметрия уравнения Нордстрема на линеаризованном уровне. С учётом полученной калибровочной симметрии, было доказано, что теория является топологической в том смысле, что все локальные степени свободы откалибровываются. За пределами линеаризованного уровня полная калибровочная симметрия уравнения Нордстрема
остается открытым вопросом. Нелинейная теория, очевидно, непротиворечива, поскольку решения полевых уравнений существуют. Уравнение
Нордстрема допускают гладкую линеаризацию, поэтому можно думать,
что калибровочная симметрия линейного приближения может быть последовательно деформирована пертурбативным образом. Еще одним аргументом в пользу существования калибровочной симметрии уравнения
Нордстрема, помимо диффеоморфизма, является теорема Койсо [15],
[16]. Данная теорема утверждает, что пространства постоянной скалярной кривизны допускают бесконечно малые деформации в окрестности
общих метрик с R = Λ. Эта теорема является теоремой существования,
которая не дает явной формы для калибровочных генераторов. Также
данная теорема утверждает, что возможны исключительные метрики постоянной скалярной кривизны, для которых существование деформации
находится под вопросом. Эти исключения возникают в случаях, когда Λ
определенным образом соотносится с собственными значениями лапласиана для пространства с рассматриваемой метрикой. Это может свидетельствовать о том, что калибровочная симметрия нелинейного уравнения Нордстрема допускает некоторые стационарные точки в пространстве метрик. Пример игрушечной модели для подобного явления можно найти в статье [24]. Это пример представляет собой простую топологическую теорию поля, калибровочная симметрия которой допускает стационарные точки в пространстве полей. Как видно из этого примера, линейный предел калибровочной симметрии приводим, и он все еще имеет
стационарные точки, в то время как гладкий линейный предел полевых уравнений допускает неприводимую калибровочную симметрию без
стационарных точек. Это может свидетельствовать о том, что задача
нахождения калибровочной симметрии для уравнения Нордстрема вне
линеаризованного уровня не обязательно разрешима путем деформации
преобразований линейной теории.
Вторым результатом, полученным в результате выполнения данной
работы, является дуальная формулировка теории безмассового спина 2 в
терминах тензоров третьего ранга с диаграммой Юнга типа «крюк», подчиненных уравнениям (18). Этот результат является следствием предыдущего. Поскольку линеаризованное уравнение Нордстрема представляет собой топологическую теорию поля, общее решение является чистой калибровкой. В этом смысле тензор с симметрией типа «крюк»
представляет собой потенциал для метрик Нордстрема. Подставляя метрику в терминах «крюкового» потенциала в линеаризованную систему
Эйнштейна, приходим к уравнениям (18). По построению, эти уравнения
эквивалентны исходным уравнениям для симметричного тензора ранга 2.
Уравнения (18) обладают приводимой калибровочной симметрией, которая включает в себя преобразования диффеоморфизма, сохраняющего
объём, и некоторые другие симметрии, геометрическая интерпретация
которых на данный момент не очевидна. Учитывая полную калибровочную симметрию, подсчет степеней свободы подтверждает, что это теория
безмассового спина 2
...
