ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 Основные понятия теории функций комплексного переменного 4
1.1 Формы записи z 4
1.2 Нахождение корня степени n из комплексного числа 5
1.3 Функция Жуковского и обратная к ней 5
1.4 Границы выпуклости и звёздности 6
Глава 2 Задача о прообразе луча 9
2.1 Формулировка задачи о прообразе луча 9
2.2 Анализ прообраза луча 10
Глава 3 Задача о прообразе окружности 13
3.1 Формулировка задачи о прообразе окружности 13
3.2 Анализ прообраза окружности 14
Глава 4 Исследование звёздности прообраза луча 18
4.1 Звёздность 18
Заключение 21
Список используемой литературы 22
Приложение А 23
Приложение Б 26
Первые задачи и методы их решения, давшие начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного (то есть f : D ^С таких, что для любых различных точек z1 и z2 G D с С оказывается f(z 1) ^ f(z2)), появились во втором десятилетии ХХ века. Исходные, а также многие задачи формулировались или могли быть сформулированы как задачи на экстремум определённых функционалов. Отсутствие в множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создание оригинальных методов исследования экстремальных задач.
Геометрические соображения стали основой для метода площадей, использованного в 1914 году Гронуоллом и затем Фабером, Бибербахом в задачах о постоянной Кёбе и коэффициентом на классе S голоморфных нормированных однолистных в единичном круге функций. Метод площадей, являющийся в первооснове самым элементарным среди методов геометрической теории функций, получил развитие и многочисленные приложения особенно за последние 40-50 лет. Этому направлению исследований однолистных функций посвящена замечательная монография Н.А. Лебедев “Принцип площадей в теории однолистных функций”.
Используя теорему Каратеодори о сходимости семейства плоских областей к ядру, в 1923 году Лёвнер вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса S. Уравнение Лёвнера легло в основу одного из главных методов исследования в геометрической теории функций, позволившим достичь важных результатов.
Цель работы - исследование свойств функций семейства Кебе, а именно исследование свойств прообразов луча w = r elv° и окружности w = roelф при отображении z w = —— .
z2+Az+l
Задачи:
1) Выяснить, какая кривая является прообразом луча при отображении функцией семейства Кебе
2) Выяснить, какая кривая является прообразом окружности при отображении функцией семейства Кебе
3) Аналитически записать прообразы луча и окружности
4) Выяснить, когда прообразы луча и окружности будут звездными кривыми
Методы исследования:
- Методы теории функций комплексного переменного
Задача изучения свойств функций семейства Кебе является актуальной, поскольку развивает геометрическую теорию функций комплексного переменного.
В работе при помощи программы “wolfram” найдены прообразы луча и окружности, аналитически записаны уравнения прообразов луча и окружности, в том числе и в показательной форме. Аналитически показано, что прообраз луча не является звездной кривой.
