Тема: НЕЛИНЕЙНЫЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБЪЕКТА С ХАОТИЧЕСКИМИ РЕЖИМАМИ

Динамический подход к описанию систем самого различного происхождения известен со времен Ньютона. Он является основой анализа большинства классических явлений в физике и других естественных науках. Сначала строится соответствующая математическая модель в виде динамических уравнений, а затем тем или иным способом изучаются их решения, которые в принципе, можно сопоставить с экспериментальными данными [1].
Детерминированный хаос это явление в теории динамических систем, которое предлагает объяснение нерегулярного поведения в детерминированных системах, как результат сложных нелинейных взаимодействий внутренних параметров данных систем. Основным проявлением динамического хаоса является чувствительность системы к заданию начальных условий или внешним воздействиям, т.е. экспоненциальное разбегание близких траекторий [2]. Развитие теории динамического хаоса связано с именами H. Poincare, А.М. Ляпунова, E. Hopfa, А.Н. Колмогорова, H. Hakena, M. Feigenbauma, В.И. Арнольда.
Среди наших современников, которые продолжают развивать это направление, стоит отметить работы таких авторов, как И.И. Пригожин, И. Стенгерс [3], Н.Н. Моисеев [4] (нобелевские лауреаты), А.А. Колесников [5], С.П. Курдюмов [6], Г.Г. Малинецкий [7].
Методы анализа и управления, реализующие принцип направленной самоорганизации и декомпозиции нелинейных динамических систем в настоящее время стремительно набирают популярность в теории нелинейных систем [8]. Особенностью методов, таких как метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) А.А. Колесникова, бэкстеппинг (P.V. Kokotovic) [9], управление в скользящем режиме [10] (В.И. Уткин) является то, что в процессе синтеза системы управления производится учет физических особенностей управляемого объекта (согласно А.А. Красовскому) через специально выбранные инварианты, образующие целевые многообразия или желаемые целевые аттракторы нелинейной системы (H.W. Lorenz, И.Ю. Тюкин).
Анализ нелинейных моделей малых размерностей реальных экономических процессов широко рассматривается в работах W.-B. Zhang [11].
Управление нелинейными техническими объектами более высоких порядков было исследовано ранее С.И. Колесниковой, А.А. Колесниковым [12].
Отметим, что многомерные, многосвязные, нелинейные объекты с неопределенностью в описании называются сложными (по Л.А. Растригину). Напомним также, что по словам Дж. фон Неймана, «невозможно найти общие закономерности в поведении сложных систем».
Несмотря на большое число работ по нелинейной хаотической динамике, как за рубежом, так и в Российской Федерации, проблема управления нелинейными объектами выше 2-го порядка по-прежнему является открытой. В этой связи работа представляется в определенной степени перспективной именно в экономических задачах, так как подобных работ, по управлению экономическими моделями 3-го и выше порядка, на данный момент не существует. Полученные результаты по организации управления оптимальными движениями финансовых потоков [13]-[18] уже на данном этапе работы могут быть интересны во многих прикладных задачах. Так, конструирование нелинейных моделей банковских систем - задача в целом не решенная, так как существующее моделирование финансовых потоков основано на линеаризации исходных допущений, что неизбежно приводит к большой погрешности в прогнозировании временных финансовых рядов. Используемые в работе методы аналитического конструирования агрегированных регуляторов научной школы А.А. Колесникова [5] и метод нелинейной адаптации на многообразиях [19], впервые примененные к такого рода прикладной задаче, позволяют учитывать ограничения, не предполагают линейную предобработку исходных данных и устойчивы к внешним помехам. Поэтому есть небезосновательная уверенность, что соответствующий прогноз относительно целесообразного поведения руководства малой фирмы будет эффективней (точней).
В первом разделе ставится задача исследовать нелинейную трехмерную модель, предложенную профессором В.И. Шаповаловым [1].
Модель описывает экономическую деятельность фирмы и представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейной правой частью. Для модели фирмы осуществляется поиск устойчивых и неустойчивых состояний, и выявляются области значений параметров модели, приводящих объект, как в устойчивое, так и в неустойчивое положение.
Во втором разделе рассматривается задача приложения метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) к управлению финансовой составляющей малой фирмы с учетом ограничения на одну из компонент модели, и проводится исследование зависимости переходного процесса от значений управляющих параметров для построенной системы управления.
В третьем разделе основной целью является нахождение законов управления (скалярного, векторного) для нелинейных объектов третьего порядка с общим описанием в условиях неизвестных внешних возмущений с помощью метода АКАР и метода нелинейной адаптации на многообразиях. Затем приводится общее теоретическое обоснование условий управляемости для трехмерных нелинейных объектов и апробирование полученных результатов на конкретной модели фирмы.
Купить

В работе поставлена и решена задача управления трехмерным нелинейным объектом, описание которого представлено системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей хаотические предельные состояния (модель детерминированного хаоса). Рассмотрены два варианта задач управления: 1) объект имеет полное нелинейное описание; 2) объект имеет неполное описание в виде неизвестных ограниченных возмущающих воздействий. Показано, что в обоих случаях возможен синтез систем управления на основе единой методологии, совмещающей метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) научной школы А.А. Колесникова и метод нелинейной адаптации на многообразиях, и позволяющей «напрямую» конструировать системы управления без громоздких аналитических выкладок.
В ВКР получены следующие результаты:
1. проведено исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений описывающей экономическое развитие малой фирмы при различных значениях параметров;
2. на основе критерия устойчивости Гурвица получено условие устойчивости для рассматриваемой модели фирмы;
3. получены состояния, соответствующие различным типам аттракторов, конфигурации которых являются интерпретацией степени сложности экономической деятельности фирмы, необходимой для обеспечения устойчивости в условиях той или иной жесткости кредитных обязательств;
4. получены показатели Ляпунова, являющиеся мерой хаотичности динамических систем, с помощью которых, было выявлено, что при определенном соотношении параметров фирма имеет возможность попасть в область притяжения странного аттрактора, в котором, как экономическая система может разрушиться;
5. на основе модельных данных составлена бухгалтерская отчетность и рассчитаны значения коэффициентов, входящих в исследуемую систему;
6. с помощью метода АКАР синтезировано управление, учитывающее ограничение на одну из координат системы;
7. система управления исследована на устойчивость, проведено численное моделирование полученных результатов и проведен анализ поведения системы при различных значениях параметров модели, который показал, что благодаря синтезируемому управлению, возможно не только выводить систему в заданные состояния, но и «отслеживать» наиболее «экономичные» пути их достижения;
8. получены законы управления, для нелинейных объектов третьего порядка с общим описанием в условиях неизвестных внешних возмущений;
9. проведено апробирование полученных результатов на исследуемой ранее модели фирмы.
Результаты могут быть полезны в системах поддержки принятия решений. Работа выполнялась при поддержке гранта РФФИ № 17-08-00920.
Купить