О КАРДИНАЛЬНЫХ СПЛАЙНАХ ВЕЙВЛЕТОВ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Базисные функции кардинальных сплайнов и вейвлетов 12
1.1 Построение интерполяционного сплайна с помощью базисных
функций 12
1.2 Кардинальные B-сплайны 18
2. Вейвлет-анализ дискретных сигналов на сеточных графах 23
2.1 Основные характеристики вейвлетов Хаара 23
2.2 О масштабирующих функциях вейвлетов 32
2.3 Пример вейвлет-преобразования сигнала 41
3. Фильтрация и восстановление сигналов 49
3.1 Сглаживание 49
3.1 Восстановление сигналов по частоте Найквиста 55
Заключение 58
Список используемой литературы 59
Приложение (программы расчетов)
1 Базисные функции кардинальных сплайнов и вейвлетов 12
1.1 Построение интерполяционного сплайна с помощью базисных
функций 12
1.2 Кардинальные B-сплайны 18
2. Вейвлет-анализ дискретных сигналов на сеточных графах 23
2.1 Основные характеристики вейвлетов Хаара 23
2.2 О масштабирующих функциях вейвлетов 32
2.3 Пример вейвлет-преобразования сигнала 41
3. Фильтрация и восстановление сигналов 49
3.1 Сглаживание 49
3.1 Восстановление сигналов по частоте Найквиста 55
Заключение 58
Список используемой литературы 59
Приложение (программы расчетов)
Термин «вейвлет» в переводе с английского означает «маленькая волна» или «короткий всплеск» [1].
Вейвлет-анализ сегодня является одним из востребованных разделов математики и ее приложений. Он применяется, например, при решении задач молекулярной динамики, физики плазмы, квантовой механики, сейсмической геофизики, вычислительной томографии, компьютерной графики и распознавания речи, обработки изображений и сжатия данных, компьютерной безопасности и анализа кровяного давления, исследования климата, анализа ДНК, предсказании и предотвращении возможных катастроф, выявлении и предсказании экономических и социальных явлений и др. В отличие от теории Фурье, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерное представление исследуемого сигнала в частотной области.
Основной идеей этой теории является разделение исходного потока информации на два потока, один из которых отображает грубую часть, а другой напротив - быстроменяющуюся часть потока. За несколько итераций первичный массив при помощи формул сжатия можно существенно уменьшить, передать информацию, а уже потом при помощи формул восстановления получить первоначальный вид.
Полиномиальные интерполяционные сплайны впервые рассматривались в работах И. Шенберга в середине прошлого века, а сегодня они активно используется в современной математике и ее приложения [2]. Сплайны - это функции, которые заданы неодинаковым образом на сетке щ = {а = х0< х1 < ■■ ■
у(%) = Asin(a)x+ ф),или у(%) = Acos(a)x+ ф),
где A- амплитуда колебаний; щ = 2у — круговая частота колебаний, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с, Т - период колебаний, ф - начальная фаза, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины у) в момент времени x= 0.
Амплитуда колебаний - это величина, характеризующая наибольшее отклонение от нулевого значения величины, колеблющейся по определенному закону.
Период колебаний - наименьший промежуток времени, через который колеблющаяся система возвращается к исходному состоянию. Период колебаний - величина, обратная частоте колебаний.
Круговая частота - число колебаний, совершаемых за единицу времени ([&» ]= рад/с).
ш = 2nQ = 2р, Q = 1 - частота колебаний (Гц). Фаза колебания (®1+ф0) - это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Гармонические колебания являются всегда синусоидальными.
На рисунках 1-9 приведены графики различных типов колебаний:
Вынужденные колебания совершаются под воздействием некоторой внешней периодической силы.
Гармонические колебания занимают особое место среди остальных видов колебаний. Например, малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
Жозеф Фурье [4] предложил любую периодическую функцию представлять в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов.
Тригонометрическим рядом Фурье функции fе L2([-л, л]) называется
а
функциональный ряд вида f (x)= — + ^(an cos пх + bnsm nx),
2 n=1
где a0, anи bn (n=1,2,... ) - коэффициенты Фурье функции f ,
1 f
an =- J f (x)cos(nx)dx,
Л-л
1 л
bn=Л f f (x)sln(nx)dx-
-л
С помощью такого ряда можно изучать периодические (непериодические) функции путем их разложения на компоненты. Применение математических преобразований к сигналу позволяет получить дополнительную информацию об этом сигнале, которая была недоступна в исходном виде. Существует много известных преобразований сигналов, среди которых чаще всего применяют преобразование Фурье (ПФ). Сигналы, встречающиеся в практических задачах, в большинстве своем являются функциями времени. Во многих случаях амплитудно-временное представление не дает полного представления о сигнале. Часто важная информация о сигнале скрыта в его частотной области. Частотным спектром сигнала называют совокупность его частотных (спектральных) компонент. Спектр показывает наличие в сигнале гармоник, имеющих определенные частоты. На рисунках 10,11 представлены два сигнала с разной частотой.
Определение частотного состава сигнала производится с помощью спектра сигнала на основе ПФ. Пусть f(x) - исходный сигнал, который требуется проанализировать. ПФ сигнала задается формулой [5]:
ТО
F[f] = f (o) = J f(xWoxdx ,oe R.
-TO
С помощью этой формулы осуществляется переход из пространственной области в частотную. Обратное преобразование имеет вид
TO
J f (o)e'oxd o .
-TO
Спектр Фурье сигнала
^ (o) = f (o)
можно сравнить с обычным оптическим. Подобно тому, как луч света
разлагается призмой на отдельные частоты (цвета), так и интеграл Фурье
показывает, на каких частотах ш сосредоточена его энергия. Преобразование
Фурье отличается от ряда Фурье тем, что оно разлагает функцию по непрерывным частотам, а не по дискретным.
Отметим некоторые недостатки преобразования Фурье [5]:
1. Невысокая информативность при анализе нестационарных сигналов, а также отсутствие возможности анализа особенностей (сингулярностей) таких сигналов. Это связано с «размазыванием» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) в частотной области по всему частотному диапазону спектра. Это приводит к появлению высокочастотных составляющих, которых не было в исходном сигнале, несмотря на наличие в нём скачков и разрывов.
2. Неспособность гармонических базисных функций разложения отображать перепады сигналов типа прямоугольных импульсов, потому что это требует бесконечно большого числа членов ряда. В случае конечного числа членов ряда Фурье в окрестностях скачков, разрывов и т.п. при восстановлении сигнала появляются заметные осцилляции (явление Гиббса).
3. Преобразование Фурье позволяет получить только общие сведения о частотах сигнала и не позволяет получить данные о локальных свойствах сигнала в случае быстрых временных изменений его спектрального состава. Это преобразование дает возможность исследования сигнала либо только во временной области, либо только в частотной.
Для передачи аналогового сигнала его необходимо с помощью квантования и дискретизации, представить в цифровой форме (оцифровать). Процедура квантования разделяет область изменения значений сигнала на определенное число уровней. Процедурой дискретизации называется замена непрерывного сигнала дискретными значениями, взятыми через определенный интервал времени. После совместного применения к сигналу процедур дискретизации и квантования получается цифровой сигнал, пример которого представлен на рисунке 13.
Освоение, совершенствование и применение математического моделирования структуры сложных нестационарных сигналов с помощью вейвлет-преобразования является актуальной задачей науки и техники.
Целью работы является исследование свойств кардинальных сплайнов и их практическое использование в вейвлет-анализе.
Вейвлет-анализ сегодня является одним из востребованных разделов математики и ее приложений. Он применяется, например, при решении задач молекулярной динамики, физики плазмы, квантовой механики, сейсмической геофизики, вычислительной томографии, компьютерной графики и распознавания речи, обработки изображений и сжатия данных, компьютерной безопасности и анализа кровяного давления, исследования климата, анализа ДНК, предсказании и предотвращении возможных катастроф, выявлении и предсказании экономических и социальных явлений и др. В отличие от теории Фурье, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерное представление исследуемого сигнала в частотной области.
Основной идеей этой теории является разделение исходного потока информации на два потока, один из которых отображает грубую часть, а другой напротив - быстроменяющуюся часть потока. За несколько итераций первичный массив при помощи формул сжатия можно существенно уменьшить, передать информацию, а уже потом при помощи формул восстановления получить первоначальный вид.
Полиномиальные интерполяционные сплайны впервые рассматривались в работах И. Шенберга в середине прошлого века, а сегодня они активно используется в современной математике и ее приложения [2]. Сплайны - это функции, которые заданы неодинаковым образом на сетке щ = {а = х0< х1 < ■■ ■
у(%) = Asin(a)x+ ф),или у(%) = Acos(a)x+ ф),
где A- амплитуда колебаний; щ = 2у — круговая частота колебаний, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с, Т - период колебаний, ф - начальная фаза, которая определяет значение полной фазы колебания (и самой величины у) в момент времени x= 0.
Амплитуда колебаний - это величина, характеризующая наибольшее отклонение от нулевого значения величины, колеблющейся по определенному закону.
Период колебаний - наименьший промежуток времени, через который колеблющаяся система возвращается к исходному состоянию. Период колебаний - величина, обратная частоте колебаний.
Круговая частота - число колебаний, совершаемых за единицу времени ([&» ]= рад/с).
ш = 2nQ = 2р, Q = 1 - частота колебаний (Гц). Фаза колебания (®1+ф0) - это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Гармонические колебания являются всегда синусоидальными.
На рисунках 1-9 приведены графики различных типов колебаний:
Вынужденные колебания совершаются под воздействием некоторой внешней периодической силы.
Гармонические колебания занимают особое место среди остальных видов колебаний. Например, малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
Жозеф Фурье [4] предложил любую периодическую функцию представлять в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов.
Тригонометрическим рядом Фурье функции fе L2([-л, л]) называется
а
функциональный ряд вида f (x)= — + ^(an cos пх + bnsm nx),
2 n=1
где a0, anи bn (n=1,2,... ) - коэффициенты Фурье функции f ,
1 f
an =- J f (x)cos(nx)dx,
Л-л
1 л
bn=Л f f (x)sln(nx)dx-
-л
С помощью такого ряда можно изучать периодические (непериодические) функции путем их разложения на компоненты. Применение математических преобразований к сигналу позволяет получить дополнительную информацию об этом сигнале, которая была недоступна в исходном виде. Существует много известных преобразований сигналов, среди которых чаще всего применяют преобразование Фурье (ПФ). Сигналы, встречающиеся в практических задачах, в большинстве своем являются функциями времени. Во многих случаях амплитудно-временное представление не дает полного представления о сигнале. Часто важная информация о сигнале скрыта в его частотной области. Частотным спектром сигнала называют совокупность его частотных (спектральных) компонент. Спектр показывает наличие в сигнале гармоник, имеющих определенные частоты. На рисунках 10,11 представлены два сигнала с разной частотой.
Определение частотного состава сигнала производится с помощью спектра сигнала на основе ПФ. Пусть f(x) - исходный сигнал, который требуется проанализировать. ПФ сигнала задается формулой [5]:
ТО
F[f] = f (o) = J f(xWoxdx ,oe R.
-TO
С помощью этой формулы осуществляется переход из пространственной области в частотную. Обратное преобразование имеет вид
TO
J f (o)e'oxd o .
-TO
Спектр Фурье сигнала
^ (o) = f (o)
можно сравнить с обычным оптическим. Подобно тому, как луч света
разлагается призмой на отдельные частоты (цвета), так и интеграл Фурье
показывает, на каких частотах ш сосредоточена его энергия. Преобразование
Фурье отличается от ряда Фурье тем, что оно разлагает функцию по непрерывным частотам, а не по дискретным.
Отметим некоторые недостатки преобразования Фурье [5]:
1. Невысокая информативность при анализе нестационарных сигналов, а также отсутствие возможности анализа особенностей (сингулярностей) таких сигналов. Это связано с «размазыванием» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) в частотной области по всему частотному диапазону спектра. Это приводит к появлению высокочастотных составляющих, которых не было в исходном сигнале, несмотря на наличие в нём скачков и разрывов.
2. Неспособность гармонических базисных функций разложения отображать перепады сигналов типа прямоугольных импульсов, потому что это требует бесконечно большого числа членов ряда. В случае конечного числа членов ряда Фурье в окрестностях скачков, разрывов и т.п. при восстановлении сигнала появляются заметные осцилляции (явление Гиббса).
3. Преобразование Фурье позволяет получить только общие сведения о частотах сигнала и не позволяет получить данные о локальных свойствах сигнала в случае быстрых временных изменений его спектрального состава. Это преобразование дает возможность исследования сигнала либо только во временной области, либо только в частотной.
Для передачи аналогового сигнала его необходимо с помощью квантования и дискретизации, представить в цифровой форме (оцифровать). Процедура квантования разделяет область изменения значений сигнала на определенное число уровней. Процедурой дискретизации называется замена непрерывного сигнала дискретными значениями, взятыми через определенный интервал времени. После совместного применения к сигналу процедур дискретизации и квантования получается цифровой сигнал, пример которого представлен на рисунке 13.
Освоение, совершенствование и применение математического моделирования структуры сложных нестационарных сигналов с помощью вейвлет-преобразования является актуальной задачей науки и техники.
Целью работы является исследование свойств кардинальных сплайнов и их практическое использование в вейвлет-анализе.
В работе рассматривается математическое моделирование структуры сложных нестационарных сигналов с помощью вейвлет - преобразования, основой которого является масштабирующая функция и материнский вейвлет. Рассмотрены свойства масштабирующих функций кардинальных сплайнов. Исследованы алгоритмы фильтров низкой частоты и примеры применения вейвлетов Хаара для анализа сигналов. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что вейвлет-анализ может эффективно использоваться для подробного анализа и сжатия нестационарных сигналов.