Аннотация 2
Введение 3
1 Численные методы решения дифференциальных уравнений 4
1.1 Методы Рунге-Кутты 4
1.2 Интегратор Эверхарта 7
1.3 Методы Адамса 10
1.4 Предиктор-корректор 13
1.5 Метод Гира 14
1.6 Выбор шага 15
1.7 Самостартующий алгоритм 17
1.8 Устойчивость многошаговых методов 18
2 Алгоритмизация метода Гира и его программная реализация 20
3 Численные результаты 22
Заключение 36
Список используемых источников 37
Орбитальное движение небесных тел описывается достаточно сложными дифференциальными уравнениями, которые не интегрируются аналитически. В современной практике они решаются приближенными численными методами, среди которых широко используются явные и неявные одношаговые методы Рунге-Кутты и неявные многошаговые методы Адамса. Примечательно, что при моделировании почти круговых орбит методы Адамса оказываются более эффективными, нежели методы Рунге-Кутты. Так, методы Адамса позволяют достигать заданный уровень модельной точности в несколько раз быстрее.
Альтернативными многошаговыми методами являются так называемые методы Гира, которые составляют подкласс многошаговых методов, основанных на дифференцировании полиномиального приближения решения. Методы Гира, насколько нам известно, очень редко применяются для численного моделирования орбит. Поэтому мы поставили перед собой цель разработать интегратор Гира и скрупулезно исследовать его возможности применительно к задачам орбиталь¬ной динамики.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1) составить алгоритм для программной реализации неявного метода Гира; 2) на его основе написать процедуру многошагового интегратор в среде Delphi; 3) используя принцип последовательной сборки от низшего порядка к высшему, разработать и реализовать алгоритм самостартующей многошаговой схемы интегрирования; 4) провести численный эксперимент по исследованию эффективности неявного многошагового метода Гира применительно к некоторым задачам небесной механики; 5) выполнить анализ полученных численных результатов и выработать соответствующие рекомендации по использованию ме¬тодов Гира в задачах орбитальной динамики.
Таким образом, в работе были получены следующие результаты:
1. Составлен и программно реализован алгоритм многошаговой неявной схемы Гира, разработан интегратор в среде Delphi. Реализован алгоритм само- стартующей многошаговой схемы интегрирования.
2. Проведены численные эксперименты по исследованию эффективности метода Гира в задачах орбитальной динамики.
3. Выбраны оптимальные параметры интегратора Гира для высокоэффективного моделирования орбитального движения. Установлено, что интегратор наиболее эффективен при использовании схемы шестого порядка с одной итера¬цией для корректора.
4. Проведён сравнительный анализ эффективности методов Адамса, Рунге-Кутты, Эверхарта и Гира шестого порядка. В частности, экспериментально показано, что метод Гира, как и метод Адамса, значительно эффективнее при интегрировании почти круговых орбит при невысоких требованиях к точности . К сожалению, вычислительные ошибки в многошаговых схемах накапливаются более интенсивно, нежели в одношаговых, поэтому для высокоточных вычислений целесообразно прибегать к последним.
5. Установлено, что метод Гира шестого порядка даёт удовлетворитель¬ные результаты применительно к задачам расчёта эфемерид КА ГЛОНАСС, КА типа «Молния» и КА типа «Прогноз» с целью высокоточной навигации.
6. При численном интегрировании почти кругового движения интегратор Гира работает вдвое быстрее одношаговых методов; в эксцентричных задачах, а также задачах возмущенного астероидного движения, как показывают результаты, эффективности одношаговых и многошаговых схем приблизительно сопоставимы; в случае нерегулярного движения, усложненного гравитационными ма¬неврами, характеристики метода вдвое уступают одношаговым схемам.
