Помощь студентам в учебе
Численное моделирование течения вязкой жидкости в плоской и кубической кавернах
|
РЕФЕРАТ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Постановка задачи 9
1.1 Математическая постановка задачи 9
2 Метод расчета 12
2.1 Дискретизация области 12
2.2 Дискретизация уравнений 13
2.2.1 Экспоненциальная схема 13
2.2.2 Схема против потока 15
2.2.3 Дискретные аналоги для двумерной задачи 16
2.2.4 Дискретный аналог для трехмерной задачи 19
2.3 Алгоритм SIMPLE 20
2.4 Функция тока 23
2.5 Метод распараллеливания 25
3 Результаты исследований 26
3.1 Результаты для двумерного случая 26
3.2 Результаты для трехмерного случая 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Постановка задачи 9
1.1 Математическая постановка задачи 9
2 Метод расчета 12
2.1 Дискретизация области 12
2.2 Дискретизация уравнений 13
2.2.1 Экспоненциальная схема 13
2.2.2 Схема против потока 15
2.2.3 Дискретные аналоги для двумерной задачи 16
2.2.4 Дискретный аналог для трехмерной задачи 19
2.3 Алгоритм SIMPLE 20
2.4 Функция тока 23
2.5 Метод распараллеливания 25
3 Результаты исследований 26
3.1 Результаты для двумерного случая 26
3.2 Результаты для трехмерного случая 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36
Течение жидкости является неотъемлемой частью многих природных и технологических процессов, где оно играет важную роль. Это определяет большой интерес к экспериментальному и численному изучению движения жидкости. По разным причинам экспериментальное исследование не всегда возможно осуществить, поводом может стать отсутствие производственной базы, длительность эксперимента, недостаток финансов. В настоящее время вычислительный эксперимент является мощным инструментом в моделировании гидродинамических процессов. Существует большое количество подходов и способов моделирования гидродинамических процессов.
В данной работе численно решались задачи о двумерном и пространственном течении ньютоновской несжимаемой жидкости в каверне с подвижной верхней стенкой. Эти задачи чаще всего решаются исследователями для проверки численного алгоритма расчета более сложных задач. Отметим, что решение двумерной задачи является хорошо изученным, что дает возможность сравнения с работами других авторов. Одни из первых результатов численного исследования течения в каверне с подвижной крышкой представлены в работе [1], в которой, используя релаксационный метод, выполнены расчеты для значений числа Рейнольдса: Re=0-400, и получены графики распределения функции тока, вихря, давления. В 1967 году группа ученых решала задачу о течении в каверне с помощью релаксационного метода в диапазоне значений числа Рейнольдса от 20 до 4000 [2]. Исследовался характер течения в зависимости от отношения
глубины каверны к длине движущейся крышки - Г, которое принимало значения от 0,25 до 5. В ходе численных экспериментов было выявлено, что для каверн конечного размера при значении числа Рейнольдса, стремящемся к бесконечности, формируется одно единственное невязкое ядро и значительно уменьшаются размеры угловых вихрей. В работе [3] был разработан численный метод для изучения двумерной квадратной каверны для Re до 10000. В работе выявлено, что в случае значительного преобладания инерционных сил над вязкими, ядро основного вихря смещается в направлении центра каверны, при этом нижний левый и правый вихри увеличиваются в размерах. Работа [4] содержит анализ стабильности течения неньютоновской жидкости в каверне с подвижной крышкой для двух различных значений параметра Г: 1 и 0,25. В качестве реологической модели используется модель Каро, в которой параметр нелинейности менялся от 0,4 до 1,4; 2=1, 10 и 100, где 1 - константа времени. В работе определены критические значения числа Рейнольдса, при которых двумерное течение превращается в нестабильное трехмерное. Тестовая задача о ламинарном течении степенной жидкости в каверне с подвижной крышкой была решена численно бессеточным методом в [5]. Были получены распределения функции тока, поле давления, профили составляющих вектора скорости в среднем сечении каверны и выполнено сравнение с результатами [6], показавшими качественное и количественное совпадение. В работе [7] можно найти подробный обзор моделей течения в квадратной каверне.
Реальные гидродинамические процессы реализуются в трех координатах и во многих случаях для получения информации об их протекании необходимо формулировать математические модели в трехмерной постановке. С развитием вычислительной техники появились ресурсы, позволяющие решать трехмерные задачи. J. Kim, P. Moin численно исследовали трехмерное течение в каверне с подвижной крышкой применяя периодические граничные условия [8]. В ходе проведенных экспериментов они выявили, что при Re порядка 900 образуется вторичное течение в пограничном слое вблизи поверхности. В работе [9] решена пространственная задача о течении жидкости в кубической каверне для больших значений числа Рейнольдса. Сравнение пространственного течения вязкой однородной несжимаемой жидкости в плоскости симметрии с двумерным течением приведено в работе [10]. Задача решалась как в естественных переменных, так и в переменных функция тока-вихрь.
Численное решение осуществлялось методом минимальных невязок. Для визуализации двумерных течений использовались изолинии функции тока, а в трехмерном случае - треки частиц. Характерной особенностью трехмерного течения является отсутствие застойных зон, что принципиально отличает картину течения от плоского случая.
Численное решение трехмерных задач до сих пор представляет собой достаточно сложную задачу. Правильное построение вычислительного алгоритма расчета является немаловажным аспектом в решении задач данного типа. Так как в дальнейшем это позволит находить решение, используя многопроцессорную машину - кластерного типа, в которой обмен информацией организован по принципу MPI.
Математическую основу рассматриваемой задачи образуют уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности. Задача формулируется в безразмерных переменных. В основе данной работы лежит метод конечных объемов. Определение стационарных полей скорости и давления осуществляется с использованием алгоритма SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation). Конвективные слагаемые в уравнениях движения аппроксимируются разностями против потока для больших значений числа Рейнольдса, в противном случае - с помощью экспоненциальной схемы; для аппроксимации уравнений движения и неразрывности вводится разнесенная разностная сетка. Кинематика течения описывается с помощью траекторий движения частиц в области каверны, для чего в поток помещается частица - маркер. Движение частицы описывается кинематическими уравнениями, которые решаются с помощью многошагового метода Адамса-Башфорта четвертого порядка точности. Для реализации алгоритма расчета течения жидкости используется язык программирования C++ в среде Microsoft Visual Studio.
Целью настоящей работы является приобретение навыков математического моделирования на примере решения задачи о течении, соблюдая следующие этапы: математическая постановка задачи, дискретизация области и основных уравнений, разработка алгоритма решения, написание программы для ЭВМ, проверка достоверности полученных результатов, проведение параметрических исследований.
В данной работе численно решались задачи о двумерном и пространственном течении ньютоновской несжимаемой жидкости в каверне с подвижной верхней стенкой. Эти задачи чаще всего решаются исследователями для проверки численного алгоритма расчета более сложных задач. Отметим, что решение двумерной задачи является хорошо изученным, что дает возможность сравнения с работами других авторов. Одни из первых результатов численного исследования течения в каверне с подвижной крышкой представлены в работе [1], в которой, используя релаксационный метод, выполнены расчеты для значений числа Рейнольдса: Re=0-400, и получены графики распределения функции тока, вихря, давления. В 1967 году группа ученых решала задачу о течении в каверне с помощью релаксационного метода в диапазоне значений числа Рейнольдса от 20 до 4000 [2]. Исследовался характер течения в зависимости от отношения
глубины каверны к длине движущейся крышки - Г, которое принимало значения от 0,25 до 5. В ходе численных экспериментов было выявлено, что для каверн конечного размера при значении числа Рейнольдса, стремящемся к бесконечности, формируется одно единственное невязкое ядро и значительно уменьшаются размеры угловых вихрей. В работе [3] был разработан численный метод для изучения двумерной квадратной каверны для Re до 10000. В работе выявлено, что в случае значительного преобладания инерционных сил над вязкими, ядро основного вихря смещается в направлении центра каверны, при этом нижний левый и правый вихри увеличиваются в размерах. Работа [4] содержит анализ стабильности течения неньютоновской жидкости в каверне с подвижной крышкой для двух различных значений параметра Г: 1 и 0,25. В качестве реологической модели используется модель Каро, в которой параметр нелинейности менялся от 0,4 до 1,4; 2=1, 10 и 100, где 1 - константа времени. В работе определены критические значения числа Рейнольдса, при которых двумерное течение превращается в нестабильное трехмерное. Тестовая задача о ламинарном течении степенной жидкости в каверне с подвижной крышкой была решена численно бессеточным методом в [5]. Были получены распределения функции тока, поле давления, профили составляющих вектора скорости в среднем сечении каверны и выполнено сравнение с результатами [6], показавшими качественное и количественное совпадение. В работе [7] можно найти подробный обзор моделей течения в квадратной каверне.
Реальные гидродинамические процессы реализуются в трех координатах и во многих случаях для получения информации об их протекании необходимо формулировать математические модели в трехмерной постановке. С развитием вычислительной техники появились ресурсы, позволяющие решать трехмерные задачи. J. Kim, P. Moin численно исследовали трехмерное течение в каверне с подвижной крышкой применяя периодические граничные условия [8]. В ходе проведенных экспериментов они выявили, что при Re порядка 900 образуется вторичное течение в пограничном слое вблизи поверхности. В работе [9] решена пространственная задача о течении жидкости в кубической каверне для больших значений числа Рейнольдса. Сравнение пространственного течения вязкой однородной несжимаемой жидкости в плоскости симметрии с двумерным течением приведено в работе [10]. Задача решалась как в естественных переменных, так и в переменных функция тока-вихрь.
Численное решение осуществлялось методом минимальных невязок. Для визуализации двумерных течений использовались изолинии функции тока, а в трехмерном случае - треки частиц. Характерной особенностью трехмерного течения является отсутствие застойных зон, что принципиально отличает картину течения от плоского случая.
Численное решение трехмерных задач до сих пор представляет собой достаточно сложную задачу. Правильное построение вычислительного алгоритма расчета является немаловажным аспектом в решении задач данного типа. Так как в дальнейшем это позволит находить решение, используя многопроцессорную машину - кластерного типа, в которой обмен информацией организован по принципу MPI.
Математическую основу рассматриваемой задачи образуют уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности. Задача формулируется в безразмерных переменных. В основе данной работы лежит метод конечных объемов. Определение стационарных полей скорости и давления осуществляется с использованием алгоритма SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation). Конвективные слагаемые в уравнениях движения аппроксимируются разностями против потока для больших значений числа Рейнольдса, в противном случае - с помощью экспоненциальной схемы; для аппроксимации уравнений движения и неразрывности вводится разнесенная разностная сетка. Кинематика течения описывается с помощью траекторий движения частиц в области каверны, для чего в поток помещается частица - маркер. Движение частицы описывается кинематическими уравнениями, которые решаются с помощью многошагового метода Адамса-Башфорта четвертого порядка точности. Для реализации алгоритма расчета течения жидкости используется язык программирования C++ в среде Microsoft Visual Studio.
Целью настоящей работы является приобретение навыков математического моделирования на примере решения задачи о течении, соблюдая следующие этапы: математическая постановка задачи, дискретизация области и основных уравнений, разработка алгоритма решения, написание программы для ЭВМ, проверка достоверности полученных результатов, проведение параметрических исследований.
В ходе работы над диссертацией был проведен литературный обзор по вопросу численного моделирования плоских и пространственных течений в замкнутых областях. Сформулированы математические постановки задач в размерной и безразмерной формах. Разработаны алгоритмы расчета двумерных и трехмерных течений, в основе которых лежит метод контрольного объема. Для удовлетворения уравнения неразрывности использовалась процедура SIMPLE. Написана программа реализации разработанных алгоритмов на ЭВМ, проведены параметрические расчеты, подтверждающие работоспособность написанных программ. Решена задача о течении ньютоновской жидкости в плоской и кубической кавернах с подвижной верхней стенкой. Построены картины течения, проведены параметрические расчеты, демонстрирующие влияние критериев подобия на распределения динамических и кинематических характеристик движения .
