Тема: Математическое моделирование систем обработки данных с двумя уровнями памяти

В настоящее время развитие теории массового обслуживания [4, 6, 16] обусловлено необходимостью поиска новых решений в различных прикладных областях - экономике, транспорте, технике, телекоммуникационных системах, сложных информационно-вычислительных комплексах, автоматизированных промышленных системах и др. В отличие от классических моделей массового обслуживания, в ряде приложений, таких как телекоммуникационные сети, возникает необходимость учитывать ситуации, при которых все обслуживающие устройства заняты, и вновь поступившая заявка не может немедленно приступить к обслуживанию. В таких случаях заявка может ожидать освобождения ресурса, чтобы быть обслуженной позже. В рамках теории массового обслуживания такие случаи моделируются с использованием систем с буферами, а также так называемых RQ-систем или систем с источником повторных вызовов (ИПВ) [47, 49].
Исследования RQ-систем начались еще в XX веке [31]. Основное отличие этих моделей заключается в том, что заявки, не получившие обслуживание при первом поступлении, не теряются, а после некоторой задержки повторно пытаются получить обслуживание. Подобные модели особенно актуальны для анализа процессов с повторными обращениями, таких как телефонные сети или распределенные вычислительные системы. С течением времени модели RQ-систем стали более сложными, учитывая реалистичные аспекты, включая различные режимы повторных попыток, приоритеты заявок, многоканальные схемы обслуживания и другие модификации.
Одной из таких модификаций является добавление буфера заявок перед
обслуживающим устройством [8, 10, 35, 36, 42]. Наиболее распространенным
принципом функционирования буферов в вычислительных системах является
FIFO (First In First Out), при котором заявки обслуживаются в порядке
поступления. Возможны также иные подходы к буферизации, включая
хранение вытесненных заявок [29], повторно обратившихся после завершения
3
обслуживания [41, 54] и др. Современные исследования в данной области уделяют значительное внимание методам определения оптимального объема буфера данных для системы обработки данных [2, 9, 33, 48, 51], что позволяет минимизировать потери заявок и их минимальную задержку перед обслуживанием. Это подчеркивает значимость использования буферов в математическом моделировании сетей связи.
В настоящей работе рассматривается система, сочетающая классическую RQ-модель с одним обслуживающим прибором и дополнительным буфером (бункером) для хранения ограниченного количества заявок, поступающих на обслуживание без обращения к орбите для ожидания. Следует отметить, что усложнение математических моделей систем массового обслуживания зачастую приводит к невозможности получения точных выражений для различных характеристик исследуемых систем. В таких случаях применяется инструмент асимптотических методов [3, 15, 19], которые позволяют при предельных условиях получить приближенные характеристики системы. Метод асимптотического анализа стал применяться с середины XX века [32, 38, 39], и его актуальность сохраняется до настоящего времени [5, 18, 25, 28, 50]. Также широко применяется и метод метод асимптотически-диффузионного анализа, основанный на использовании диффузионных аппроксимаций, обеспечивающий более высокую точность и расширенную область применимости. Примеры его использования можно найти в работах [7, 13, 14, 30]. Метод асимптотического анализа помимо нахождения распределения вероятностей состояний орбиты и прибора, может также быть применен для исследования времени ожидания заявки, которая сразу не была обслужена на приборе. Эта характеристика также является одной из важнейших при оценке качества работы системы обработки данных. Исследованию на эту тему можно увидеть в работах [45, 46, 52].
При получении приближенных асимптотических характеристик важным этапом является оценка точности и области применимости результатов. Для этого в теории массового обслуживания применяется метод имитационного моделирования [12, 24, 26], позволяющий численно оценить ключевые характеристики системы: среднее время ожидания заявки, вероятность занятости буфера и обслуживающего прибора и др.
Итак, целью данной работы является исследование математической модели системы обработки данных с двумя уровнями памяти в виде RQ- системы массового обслуживания M/M/1/N-1. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
1) построить математическую модель RQ-системы M/M/1/N-1;
2) получить распределение вероятностей состояния системы и орбиты методом асимптотического анализа;
3) получить распределение вероятностей состояния системы и орбиты методом асимптотически-диффузионного анализа;
4) исследовать время ожидания заявки на орбите;
5) разработать программу имитационного моделирования для исследуемой системы;
6) провести сравнительный анализ полученных асимптотических и имитационных результатов.
Купить

В результате работы была исследована математическая модель RQ- системы массового обслуживания с ожиданием заявок в бункере и на орбите. Для исследования распределения вероятностей состояния бункера с прибором и орбиты был применен метод асимптотического анализа, результатом которого является полученная гауссовская аппроксимация распределения вероятностей состояний орбиты. Также для исследования данных характеристик был применен метод асимптотически-диффузионного анализа, результатом которого является полученная диффузионная аппроксимация. Также для предложенной системы было исследовано время ожидания заявки до момента попадания в бункер или на прибор методом асимптотического анализа. Для полученных теоретических результатов был построен численный алгоритм вычисления исследуемых характеристик в программе Mathcad.
Для исследуемой системы была разработана программа имитационного моделирования на языке программирования C#. Разработанная программа может быть модифицирована для любых усложнений текущей системы: различные виды распределений для обслуживания и ожидания, деградация обслуживания, увеличение числа приборов и т.д. Была проведена оценка точности полученных асимптотических результатов. В результате было показано значительное влияние введенного параметра для объема бункера в системе: уменьшение числа заявок на орбите, снижение времени ожидания заявок на орбите. Была определена область применимости асимптотических результатов.
По итогам выпускной квалификационной работы были сделаны доклады на следующих научных конференциях:
- Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2023), XXII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова, 4-9 декабря 2023 г., г. Томск;
- Международная научная студенческая конференция 2024 (МНСК- 2024), 17-23 апреля 2024 г., г. Новосибирск;
- Системы управления, информационные технологии и математическое моделирование-2024 (СУИТИММ-2024), VI Всероссийская с международным участием научно-практическая конференция студентов, аспирантов и работников образования и промышленности, 13-17 мая 2024 г., г. Омск;
- 27th International Conference Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN-2024), 23-27 сентября 2024 г., г. Москва;
- Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2024), XXIII Международной конференции им. А. Ф. Терпугова, 20¬26 октября 2024 г., Республика Узбекистан, г. Карши;
- Школа теории массового обслуживания, 1-я Международная научная конференция, 21-26 апреля 2025 г., г. Томск.
Результаты проведенных исследований опубликованы в материалах научных конференций [20-23].
Купить