Тема: БУТСТРАП МЕТОДЫ ДЛЯ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Стремительное изменение современного мира, связанное с достижениями вычислительной техники и информационных технологий обеспечило возможность быстрого и точного анализа больших массивов данных. Доступное для всех программное обеспечение, а также высокоскоростные компьютеры позволяют показывать результаты наглядно с помощью графиков, а также в понятной информативной форме способами, ранее которые нельзя было получить используя ручку и бумагу. Часто на практике объем данных весьма ограничен, чтобы можно было делать достоверные выводы о них. Поэтому в последнее время получили развитие новые статистические методы под общим названием ресемплинг [1]. Методы ресемплинга включают три основных подхода, отличающихся по технике, но близкие по сути: метод "складного ножа", метод "рандомизации" и наиболее популярный - метод "бутстрап" [2]. Изначально алгоритм, предложенный М. Кенуем в 1949 г. [4], заключался в том, чтобы последовательно исключать из имеющейся выборки по одному наблюдению, обрабатывать все остальные данные и предсказывать результат в исключенной точке. Множество таких расхождений, полученных на основе данного алгоритма по всем точкам, несет в себе информацию о выборочном смещении, которой можно воспользоваться для уточнения параметров. Дж. Тьюки активно улучшил этот метод, назвав его "jackknife"(складной нож), и использовал для оценки дисперсии исследуемой совокупности и проверки нулевой гипотезы о том, что распределение некоторой статистики симметрично относительно заданной точки [4]. Пусть дана выборка x1,x2,...,xk_1,xk,xk+1,...,xn_l,xn.В вероятностно-статистической теории предполагается, что это - набор независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть нас интересует некоторая статистика fn(x,x2,...,xn) . Рассмотрим выборки
x2, Х3,..., xk _1, xk, xk+1,..., xn_i, xn;
X, x3,..., xk _1, xk, xk+1,..., xn_i, xn;
xi, x2, x4..., xk _1, xk, xk+1,..., V1>xn ;
x1, x2, x3..., xk _1, xk+1,..., xn_1, xn;
x1, x2, x3..., xk _1, xk, xk+1,..., xn_2, xn ; 
X1, X2, X3,,,, Xk _pXk, Xk+1V„, Xn_v
Всего имеем nразмноженных выборок объемом п — 1 каждая. По каждой из них можно рассчитать значение интересующей нас статистики (с уменьшенным на 1 объемом выборки):
fn-1,1 (^) fn-1(X2 , X3 , •••’ Xk-1 , Xk , Xk+1 ’ •••’ Xn-1 , Xn X
fn-1,2(®) fn-1(X1 , X3, •••, Xk-1, Xk , Xk+1 ’•••’ Xn-1 , Xn )’
fn-1,3 (®) fn-1 (X1, X2, X4 ,•••, Xk-1 , Xk , Xk+1 ’•"’ Xn-1 , Xn )’
fn-1,n-1И= fn-1(X1, X2, X3 fn-1,n(®) — fn-1(X1, X2, X3 ’ •••’ Xk-1, Xk, Xk+1, •••, Xn-1 )•
Полученные результаты позволяют судить о таких характеристиках как математическое ожидание, медиана, квантили, разброс, среднем квадратическом отклонении, а также о ее распределении в целом [5]. Как некоторое обобщение алгоритма "складного ножа" была предложена процедура-бутстрап (bootstrap), чтобы не уменьшать каждый раз число элементов по сравнению с первоначальной совокупностью данных [4]^ Предполагается, что слово "bootstrap"означает прикрепляемую к заднику походного ботинка кожаную полоску в виде петли, для облегчения его натягивания на ногу. Благодаря этому определению появилась английская поговорка 30-х годов: «Lift oneself by the bootstrap», что в переводе означает «Пробить себе дорогу благодаря собственным усилиям» (или подобно барону Мюнхгаузену вытянуть себя за шнурки от ботинок из болота) [6].
Профессор Стэнфордского университета Bradley Efron [12], известный американский статистик, который является автором статьи "Компьютеры и статистика: подумаем о невероятном" [3], дал объяснение развитию новой группы альтернативных компьютерно - интенсивных методов, включающих в себя рандомизацию и бутстрап. Бутстрап- это метод оценки или аппроксимации распределения статистики и ее характеристик. Бутстрап основан на методе передискретизации наблюдаемых данных. Эти технологии выполняют многократный анализ разных фрагментов исходного массива эмпирических данных, как бы рассматривая их под различными углами зрения и сравнивая полученные таким образом результаты, им не нужна никакая априорной информации о законе распределения исследуемой случайной величины.
Во многих временных рядах наблюдается непостоянная условная дисперсия (условная гетероскедастичность). Именно поэтому в последние годы нелинейные процессы, способные к моделированию такой изменчивости вызывают особый интерес в анализе временных рядов, особенно в эконометрике и финансах. Как раз таки для финансовых временных рядов часто используются модели авторегрессии условной гетероскедастичности (ARCH)и обобщенная модели ARCH (GARCH).Изменения в дисперсии имеют очень важное значение для понимания финансовых рынков, так как инвесторов интересует более высокая доходность в качестве компенсации рисковых активов.
Официальным названием для изменчивости дисперсии на разных интервалах наблюдения является гетероскедастичность.
Традиционные модели временных рядов, как ARMA,не всегда могут правильно учитывать характеристики, которыми обладают финансовые временные ряды. Соответственно, требуется расширение таких моделей и бутстрап методов к ним.
В настоящее время процесс AR/GARCHпредставляет собой отфильтрованную версию процесса GARCH(1,1).
Начиная с введений Эфрона получено много усовершенствований бутстрапа для классических моделей временных рядов, моделей ARCHи GARCH.Однако, система бутстрап реализаций для AR(p)/GARCH(p, q)неразвита.
Таким образом, цель данной работы заключается в построении алгоритма бутстрапирования временных рядов, которые можно описать моделями типа AR(p)/ GARCH(p,q).Основной задачей является оценивание неизвестных параметров для нескольких моделей AR(p)/GARCH(p, q),подбирается наилучшая модель, варьируя параметры p, q.После идентификации модели, возникает необходимость исследования качества уравнения в целом и качество прогноза. Качество оценивания напрямую зависит от того, как долго мы наблюдаем процесс Xt. И поскольку для этого требуется достаточно большие объемы данных, которые часто не доступны, то задача разработки бутстрап метода является актуальной. Проводится статистический анализ рассматриваемого процесса и на основе модифицированных данных устанавливается, что предлагаемый бутстрап метод позволяет повысить достоверность статистических выводов для AR/ GARCHмоделей.
Работа состоит из введения, 3 - х разделов, заключения, списка литературы и приложений. Раздел 1 посвящен методам статистической обработки и анализа временных рядов. В разделе 2 рассматриваются бутстрап-методы. В разделе 3 представлен численный анализ. Все расчеты и построение графиков проводились в пакете MATLAB и PYTHON
Купить

В настоящее время нет более надежного метода в оценивании степени устойчивости или неопределенности оценок относительно наблюдаемых, реальных данных, чем бутстрап. По сравнению с ранее существующими подходами бутстрап имеет следующие достоинства:
• Не требуется никакой априорной информации о законе распределения изучаемой случайной величины.
• Не требуется предположение о независимых и одинаково распределенных данных.
• Метод эффективно сохраняет временные взаимосвязи в исходных данных.
В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:
1. Построена стохастическая AR(1)/GARCH(1,1) модель динамики цен на нефть марки «WTI».
2. Был разработан качественный бутстрап-метод для анализа временных рядов, моделируемых нелинейными AR/GARCHпроцессами.
3. Был проведен статистический анализ рассматриваемого процесса и на основе полученных модифицированных данных подтверждается достоверность статистических выводов.
4. Устанавливается, что предлагаемый бутстрап-метод позволяет повысить достоверность статистических выводов для AR/GARCHмоделей.
Полученные результаты могут быть использованы в задачах управления и планирования ценообразования нефти.

Купить